12/122021北京高三二模數學匯編：計數原理與概率統計計數原理1.（豐臺區，9）某中學舉行“十八而志,青春萬歲”成人禮，現在需要從4個語言類節目和6個歌唱類節目中各選2個節目進行展演，則語言類節目A和歌唱類節目B至少有一個被選中的不同選法種數是（A）15（B）45（C）60（D）75二項式定理1.(海淀區，12)已知的展開式的二項式系數之和為16，則；各項系數之和為。(用數字作答)2.（西城區，12）在展開式中，常數項是.3.（昌平區，12）在的展開式中，的系數為________.（用數字作答）4.(房山區，13)已知的展開式中，二項式系數之和為，則其各項系數之和為．統計應用1.（東城區，10)素會影響某種產品的產量，分別是溫度(單位:℃)、時間(單位:min)催化劑用量(單位:g)，三個因素對產量的影響彼此獨立其中溫度有三個水平:80、85、90時間有三個水平:90、120、150，催化劑用量有三個水平:5、6、7.按全面實驗要求，需進行27種組合的實驗在數學上可以證叨:通過特定的9次實驗就能找到使產量達到最大的最優組合方案.下表給出了這9次實驗的結果：實驗號溫度(℃)時間(min)催化劑用量(g)產量(kg)180905312801206543801507384859065358512074968515054279090757890120562990150664根據上表，三因素三水平的最優組合方案為(A)85℃120min7g(B)90℃120min6g(C)85℃150min6g(D)90℃150min7g2.（昌平區，15）是國家統計局發布的2020年2月至2021年2月全國居民消費價格漲跌幅折線圖.說明：1.在統計學中，同比是指本期統計數據與上一年同期統計數據相比較，例如年2月與2020年2月相比較；環比是指本期統計數據與上期統計數據相比較，例如2020年4月與年3月相比較.2.,.給出下列三個結論：①2020年11月居民消費價格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消費價格持續增長；③2020年7月的消費價格低于2020年3月的消費價格.其中所有正確結論的序號是________.解答題1.（朝陽區，17）為迎接2022年冬奧會，某地區高一、高二年級學生參加了冬奧知識競賽．為了解知識競賽成績優秀（不低于85分）學生的得分情況，從高一、高二這兩個年級知識競賽成績優秀的學生中分別隨機抽取容量為15、20的樣本，得分情況統計如下圖所示（滿分100分，得分均為整數），其中高二年級學生得分按分組．（Ⅰ）從抽取的高二年級學生樣本中隨機抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（Ⅱ）從該地區高二年級參加知識競賽成績優秀的學生中隨機抽取3人，用頻率估計概率，記為取出的3人中得分不低于90分的人數，求的分布列及數學期望；（Ⅲ）由于高二年級學生樣本原始數據丟失，請根據統計圖信息，判斷高二年級學生樣本得分的最高分至少為多少分時，高二年級學生樣本得分的平均分一定超過高一年級學生樣本得分的平均分，并說明理由．2.（豐臺區，17）某公司開發了一款手機應用軟件，為了解用戶對這款軟件的滿意度，推出該軟件3個月后，從使用該軟件的用戶中隨機抽查了1000名，將所得的滿意度的分數分成7組：，，…，，整理得到如下頻率分布直方圖．根據所得的滿意度的分數，將用戶的滿意度分為兩個等級：滿意度的分數滿意度的等級不滿意滿意（Ⅰ）從使用該軟件的用戶中隨機抽取1人，估計其滿意度的等級為“滿意”的概率；（Ⅱ）用頻率估計概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機抽取2人，以表示這2人中滿意度的等級為“滿意”的人數，求的分布列和數學期望．3.（昌平區，17）某大學為了解學生對A，B兩本數學圖書的喜好程度，從這兩本數學圖書都閱讀過的學生中隨機抽取了50人，分別對這兩本圖書進行評分反饋，滿分為100分，得到的相應數據整理如下表.分數A圖書頻數B圖書頻數規定：學生對圖書的“評價指數”如下表.分數評價指數13（Ⅰ）從A，B兩本圖書都閱讀過的學生中任選1人，試估計其對A圖書“評價指數”為2的概率；（Ⅱ）從對B圖書“評價指數”為1的學生中任選3人進一步訪談，設為3人中評分在內的人數，求隨機變量的分布列及數學期望；（Ⅲ）試估計學生更喜好A,B哪一本圖書，并簡述理由.4.（門頭溝，17）京西某地到北京西站有阜石和蓮石兩條路，且到達西站所用時間互不影響．如表是該地區經這兩條路抵達西站所用時長的頻率分布表：時間（分鐘）10～2020～3030～4040～5050～60蓮石路（L1）的頻率0.10.20.30.20.2阜石路（L2）的頻率00.10.40.40.1若甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘的時間趕往西站（將頻率視為概率）．（Ⅰ）甲、乙兩人應如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）按照（Ⅰ）的方案，用X表示甲、乙兩人按時抵達西站的人數，求X的分布列和數學期望．5.(東城區，18)某市2019年一季度全市居民人均消費支出情況如下表所示.全市居民分為城鎮居民和農村居民，人均消費支出分為食品煙酒、衣著、居住、生活用品及服務、交通和通信、教育文化和娛樂、醫療保健、其他用品及服務共8類。2019年一季度單位:元指標名稱全市居民城鎮居民2019年一季度增速(%)2019年一季度增速(%)人均消費支出106377.4114407.4食品煙酒22928.224018.2衣著6280.0670-1.0居住38465.742005.6生活用品及服務5466.85888.3交通和通信121911.0130310.5教育文化和娛樂92710.5102011.0醫療保健87414.292013.6其他用品及服務3051.03382.7(Ⅰ)從全市居民的8類人均消費支出中隨機選取1類，求這類人均消費支出超過1000元的概率；(Ⅱ)從城鎮居民的8類人均消費支出中隨機選取3類，記X表示其中不超過2000元數，求X的分布列及數學期望；(Ⅲ)請直接寫出這8類人均消費支出中，農村居民人均消費支出增速大于城鎮居民人均消費支出增速的類別。6.（西城區，18）在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學開展了“優化線上教育與學生線下學習相結合”的教育教學實踐活動.為了解某區教師對五類線上教育軟件的使用情況（每位教師都使用這五類教育軟件中的某一類且每位教師只選擇一類教育軟件），從該區教師中隨機抽取了人，統計數據如下表，其中，.教育軟件類型選用教師人數假設所有教師選擇使用哪類軟件相互獨立．（Ⅰ）若某校共有名教師，試估計該校教師中使用教育軟件或的人數；（Ⅱ）從該區教師中隨機抽取人，估計這人中至少有人使用教育軟件的概率；（Ⅲ）設該區有名教師，從中隨機抽取人，記該教師使用教育軟件或的概率估計值為；該區學校有名教師，其中有人使用教育軟件，人使用教育軟件，從學校中隨機抽取人，該教師使用教育軟件或的概率值為；從該區其他教師（除學校外）中隨機抽取人，該教師使用教育軟件或的概率估計值為.試比較，和之間的大小.（結論不要求證明）

7.(海淀區，18)為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某地區小學聯合開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了30名學生，將他們的競賽成績(單位：分)用莖葉圖記錄如下：(Ⅰ)從該地區參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；(Ⅱ)從該地區參加該活動的全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取2人，估計這4人中男生競賽成績在90分以上的人數比女生競賽成績在90分以上的人數多的概率；(Ⅲ)為便于普及冬奧知識，現從該地區某所小學參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機選取10名男生、10名女生作為冬奧宜傳志愿者.記這10名男生競賽成績的平均數為，這10名女生競賽成績的平均數為，能否認為，說明理由.8.（房山區，18）為了提高中小學生的身體素質，某地區開展了中小學生跳繩比賽系列活動.活動結束后，利用簡單隨機抽樣的方法，抽取了部分學生的成績，按照不同年齡段分組記錄如下表：組別男生女生合格不合格合格不合格第一組第二組第三組第四組第五組合計假設每個中小學生跳繩成績是否合格相互獨立.（Ⅰ）從樣本中的中小學生隨機抽取人，求該同學跳繩成績合格的概率；（Ⅱ）從該地區眾多中小學的男生、女生中各隨機抽取人，記這人中恰有人跳繩成績合格，求的分布列與數學期望；（Ⅲ）假設該地區中小學生跳繩成績合格的概率與表格中該地區中小學生跳繩成績合格的頻率相等，用“”表示第組的同學跳繩成績合格，“”表示第組的同學跳繩成績不合格()，試確定方差中哪個最大？哪個最?。浚ㄖ恍鑼懗鼋Y論）．

2021北京高三二模數學匯編：計數原理與概率統計參考答案計數原理1、C二項式定理1、4，812、-63、-804、243統計應用1、B2、①②解答題1、解：（Ⅰ）設事件：從抽取的高二年級學生樣本中隨機抽取一人，其得分不低于90分，則．所以從抽取的高二年級學生樣本中隨機抽取一人，其得分不低于90分的概率為． 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，從該地區高二年級參加知識競賽成績優秀的學生中隨機抽取1人，其得分不低于分的概率估計為．由題意可知，，的可能取值為．所以；；；．所以的分布列為0123所以的數學期望為． 10分（Ⅲ）由題意可知，高一年級學生樣本得分的平均分為．設高二年級學生樣本得分的最高分為．由圖可知，要使得高二年級學生樣本得分的平均分一定超過高一年級學生樣本得分的平均分，只需．解得．所以當高二年級學生樣本得分的最高分至少是分時，高二年級學生樣本得分的平均分一定超過高一年級學生樣本得分的平均分． 14分2、解：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖可知，樣本中的頻率為：，所以從使用該軟件的用戶中隨機抽取1人，其滿意度的等級為“滿意”的概率約為.（Ⅱ）用頻率估計概率，則“滿意”的概率為，“不滿意”的概率為.的所有可能取值為0,1,2.；；所以的分布列為012數學期望…………14分3、解：（Ⅰ）由評分頻數分布表可知，對A圖書評分的學生中，“評價指數為2”的學生所占的頻率為，所以從A，B兩本圖書都閱讀過的學生中任選1人，估計其對A圖書“評價指數”為2的概率為.………………4分（Ⅱ）由題意，所以的所有可能值為.，所以的分布列為所以的數學期望為.…………10分（Ⅲ）設學生對A圖書的“評價指數”為，對B圖書的“評價指數”為．由題意，從閱讀過兩本圖書的學生中任取一位，估計的分布列分別為所以.估計的分布列分別為所以.因為，所以學生更喜好圖書A.………………13分4、無5、解:（Ⅰ）記事件A為“從全市居民的8類人均消費支出中隨機選取1類,這類人均消費支出超過1000元”。從全市居民的8類人均消費支出中隨機選取1類,共有8種等可能的取法,其中有3類人均消費支出超過1000元。所以 4分（Ⅱ）X所有可能的取值為1,2,3.則X的分布列為X123P 11分（Ⅲ）衣著、居住、交通和通信、醫療保健. 14分6、解:（Ⅰ）從表格數據可知，，則，所以樣本中教師使用教育軟件或的人數為人， …………2分故估計該校教師中使用教育軟件或的人數為人.……4分（Ⅱ）設事件為“從該區教師中隨機抽取人，至少有人使用教育軟件”．由題意,樣本中的名教師使用軟件的頻率為.用頻率估計概率，從該區教師中隨機抽取一名教師，估計該教師使用教育軟件的概率為. ……………5分記被抽取的人中使用軟件的人數為，則. ………7分所以， ……………8分， ……………9分所以. ……………11分（Ⅲ）. ……………14分7、解：（Ⅰ）由莖葉圖可知，隨機抽取的30名學生中男生有15名，其中競賽成績在分以上的學生有5名.所以隨機抽取的15名男生中競賽成績在90分以上的頻率為.所以從該地區參加該活動的男生中隨機抽取1人，該男生的競賽成績在90分以上的概率估計為.（Ⅱ）記表示“第i名男生的競賽成績在90分以上”，表示“第j名女生的競賽成績在90分以上”，C表示“4人中男生競賽成績在90分以上的人數比女生競賽成績在90分以上的人數多”.同（Ⅰ），從該地區參加該活動的女生中隨機抽取1人，該女生競賽成績在90分以上的概率估計為，則（Ⅲ）參考答案：不能確定是否有上述10名男生，10名女生競賽成績的數據是隨機的，所以是隨機的.所以不能確定是否有8、解：（Ⅰ）設事件=“從樣本中的中小學生隨機抽取1人，該同學跳繩成績合格”………1分樣本中男生跳繩成績合格的有：人，樣本中女生跳繩成績合格的有：人，…………