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高階微分方程小結

第十二章2.

理解二階線性微分方程解的結構；3.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法；4.

掌握自由項為的二階常系數非齊次線性微分方程的特解形式．和一基本要求基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.線性方程5.伯努利方程變量代換可降階方程線性方程解的結構定理1;定理2定理3;定理4二階常系數線性方程解的結構特征方程及其根對應的通解形式f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數法特征方程法二內容提要1.可降階的高階微分方程的解法解法特點

型接連積分n次,得通解．

型解法

型解法2.線性微分方程解的結構(1)

二階齊次方程解的結構:解的疊加(2)

二階非齊次線性方程的解的結構:定理3

設y*是(2)的一個特解,Y是與(2)對應的齊次方程(1)的通解,是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.那么疊加3.二階常系數齊次線性方程解法二階常系數齊次線性方程解法

由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為微分方程特征方程為特征方程的根通解中的對應項推廣：

n階常系數齊次線性方程解法4.二階常系數非齊次線性微分方程解法通解

用待定系數法求特解設特解的形式答：選擇C問題1三問題與思考問題2.以為特解的二階常系數齊次線性微分方程為答：正確.例1解代入方程，得故方程的通解為四典型題目例2解方程兩邊求導兩邊再求導，得由原方程和(1)式,得初始條件求解初值問題例3

試確定以解

從而相應的二階常系數線性齊次微分方程為為特解的二階常系數齊次線性方程.例4解特征方程特征根對應的齊次方程的通解為設原方程的特解為設由解得故原方程的通解為由即例

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