第二章推理與證明第一節合情推理和演繹推理第二課時類比推理一、課前準備1．課時目標（1）、了解類比推理的含義、特點，能利用類比進行簡單的推理；（2）、能利用類比進行簡單的推理；（3）、通過生活和學習中的實例創設情境、進行探究，提高學生觀察猜想、抽象概括的能力，滲透類比的思想方法，體會并認識類比推理在數學發現和生活中的作；（4）、找到合適的類比對象，分析兩類事物在結構或功能等方面的關系，正確運用類比推理的思想方法.2．基礎預探（1）．類比推理：由兩類對象具有某些 特征和其中一類對象的某些 ，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．簡言之，類比推理是由 到 的推理．（2）．合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過 ，再進行 ，然后提出 的推理，我們把它們統稱為合情推理．（3）“三角形是平面內由線段所圍成的最簡單的封閉圖形”，可類比為：“四面體是由所圍成的最簡單的封閉圖形”。（4）合情推理的大致步驟為①②③④（5）類比推理的一般步驟:①②③。二、學習引領1.類比推理的特點（1）.類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎,類比出新的結果.（2）.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.（3）.類比的結果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發現的功能.2.歸納推理與類比推理聯系與區別（1）聯系：歸納推理與類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理．由這兩種推理得到的結論都不一定正確,其正確性有待進一步證明.（2）區別：歸納推理是從個別事實中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法，類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式．類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物,同時,類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創造性.人類在科學研究中建立的不少假說和教學中許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的,工程技術中許多創造和發明也是在類比推理的啟迪下而獲得的．因此，類比推理已成為人類發現發明的重要工具.3.合情推理的理解合情推理是指“合乎情理”的推理．數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發現結論；證明一個數學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．三、典例導析題型一類比概念的理解例1定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和．已知數列是等和數列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數列的前n項和的計算公式為_________．思路導析:解決本題的關鍵是理解即時定義“等和數列”．解：由等和數列的定義，知a1＋a2＝a2＋a3＝a3＋a4＝…，即有a1＝a3＝a5＝…，a2＝a4＝a6＝…．又a1＝2，公和為5，得a18＝a2＝5－2＝3．即有an＝，故當n為偶數時，；當n為奇數時，．規律總結:類比某些熟悉的概念，產生的類比推理型試題；在求解時可以借助原概念所涉及的基本方法與基本思路．變式練習1“在平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓”，類比上述圓的定義，在空間中可得到類比命題是_________________________,它是_________(真、假)命題.題型二類比性質的應用例2在等差數列中，若，則等式成立，類比上述性質，相應地：在等比數列中，若，則有等式成立．思路導析:本題是已知等差數列的性質，類比推理等比數列的性質．解：由題設，應該有如果，則等式：成立，我們知道，如果，其中是自然數，對于等差數列，則有，而對于等比數列則有，所以可以得出結論：若，則等式成立．在本題中，故填．規律總結:從一個特殊式子的性質、一個特殊圖形的性質入手，產生類比推理型問題．求解時要認真分析兩者之間的聯系與區別，深入思考兩者的轉化過程是求解的關鍵．變式練習2：若數列{an}(n∈N*)是等差數列，則有數列(n∈N*)也是等差數列，類比上述性質，相應地：若數列{cn}是等比數列，且cn＞0(n∈N*)，則有dn＝_________(n∈N*)也是等比數列．題型三類比方法的應用例3設f(x)＝，利用課本推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為_______．思路導析:本題是類比數學方法，即利用倒序相加法，通過類比方法即可解決．解：由f(x)＋f(1－x)＝＋＝．設S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝．即S＝3，故填3．規律總結:有一些處理問題的方法，具有類比性，結合這些方法產生的問題，在求解時，要注意知識的遷移．變式練習3在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則cosA＋cosB＝1，則在立體幾何中，給出四面體性質的猜想．題型四情景類比例4定義一種運算“*”，對于正整數n滿足以下運算性質：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝3(n*1)．則n*1用含n的代數式表示是_________．思路導析:本題是新定義一種運算，此運算類比數列通項的情景而命題，故轉化為數列的通項問題，即可解決．解：設n*1＝an，則(n＋1)*1＝，由條件可得a1＝1，＝3an，從而有{an}是以1為首項，公比為3的等比數列．∴an＝．故填．規律總結:借助類比推理進行命題是命題改革產生的一類新型試題，應要注意對課本知識的聯想及遷移．變式練習4類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推知四面體的下列一些性質，你認為比較恰當的是（）①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角相等；②各個面是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點的任何兩條棱的夾角都相等.（A）①（B）①②（C）①②③（D）③四、隨堂練習1.下列說法中正確的是（）.A.合情推理是正確的推理B.合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理D.類比推理是從特殊到特殊的推理2.一同學在電腦中打出如下若干個圓若將此若干個圓按此規律繼續下去，得到一系列的圓，那么在前2023個圓中有個黑圓.3.在數列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.4.已知：等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，有如下的性質：(1)an＝am＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數列．類比上述性質，在等比數列{bn}中，寫出相類似的性質．五、課后作業1．類比推理和歸納推理的相同點是 ()A．從一般到一般B．前提蘊涵結論C．結論都是或然的D．從個別到一般2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2)D．不可類比3．下列哪個平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對象較合適 ()A．三角形B．梯形C．平行四邊形D．矩形4．醫藥研究中，研制新藥初期，常用一些動物作藥性、藥理試驗，最后才作臨床試驗與應用，通過對動物的觀察，得出對人應用的一些結論，所用推理為_______________．5．等差數列{}中，>0，公差d>0，則有·>·，類比上述性質，在等比數列{}中，若>0，q>1，寫出，，，的一個不等關系________．6.如圖，已知O是△ABC內任意一點，連結AO、BO、CO并延長交對邊分別于A′、B′、C′，則eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采用“面積法”．eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1請運用類比思想，對于空間中的四面體V－BCD，存在什么類似的結論？并用“體積法”證明．第二課時類比推理答案解析一、基礎預探（1）答案：類似；已知特征；特殊；特殊。（2）答案：觀察、分析、比較；聯想、歸納；猜想。（3）答案：空間中；平面。（4）答案：從具體問題出發;觀察，分析，比較，聯想;歸納類比;提出結論（5）答案：觀察、比較；聯想、類推；猜想新結論三．典例導析變式訓練1.在空間中到定點的距離等于定長的點的軌跡是球面.真2.解：在類比等差數列的性質推理等比數列的性質時，由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術平均數類比推理為幾何平均數等，則對于，則數列{}也是等差數列．類比推斷：若數列{}是各項均為正數的等比數列，則當=eq\r(n,c1·c2·…·cn)時，數列{}也是等比數列．答案：eq\r(n,c1·c2·…·cn)3.解：cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把結論類比到四面體P－A′B′C′中，我們猜想，三棱錐P－A′B′C′中，若三個側面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.4.（C）解析：由合情推理可知①②③全部正確.四、隨堂練習1.D.提示：由歸納推理和類比推理的定義容易判斷。2.答案：61.觀察一下，以“實心個數加空心個數”為一組，這樣圓的總數是：2+3+4+…+=2023而（2+63）2/2=2023說明第2023個圓在第62組中，因實心圓排在每一組的末尾，所以第62組沒有實心圓．空心圓的個數等于組數2023個球中空心的有：61個．故答案是61．3.答案：21。規律：從第三個數開始，每個數是前兩個數的和。故x=8+13=21.4.解：等比數列{bn}中，公比q，前n項和Sn.(1)通項an＝am·qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，則am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，則aeq\o\al(2,p)＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數列．五、課后作業1.C由類比推理和歸納推理的定義可知，兩者的結論都是猜測性的，其正確性有待于證明．故應選C.2.C三角形的高對應扇形的半徑，三角形的底對應扇形的弧長，所以可猜測S扇＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(lr,2).故應選C.3.C從構成幾何圖形的幾何元素的數目、位置關系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對象較為合適．4.答案：類比推理符合類比推理的方法，故應為類比推理．5.答案：＋>＋將乘積與和對應，再注意下標的對應，有＋>＋.6.解：在四面體V－BCD中，任取一點O，連結VO，DO，BO，CO并延長分別交四個面于E，F，G，H點，則eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.證明：在四面體O－BCD與V－BCD中，eq\f(OE,VE)＝eq\f(h1,h)＝＝eq\f(\f(1,3