第四章維納濾波和卡爾曼濾波

引言維納濾波器的離散形式——時域解離散維納濾波器的z域解維納預測卡爾曼(Kalman)濾波

引言信道s(n)x(n)s(n)：原始輸入（發射）信號，隨機平穩信道噪聲（測量噪聲）x(n)：接收（測量）信號，隨機平穩問題提出：準則：最大后驗準則。均方準則，最大似然準則，濾波器

h(n)x(n)s(n)FIR,IIR逼近（準則）已知：s(n),(n)的統計特性，要求：設計線性移不變濾波器h(n),從x(n)中恢復s(n)線性均方準則（最小二乘濾波）M個權系數（抽頭）的橫向濾波器

定義：：輸入信號：輸入向量2.橫向濾波器結構

:濾波器的權系數

:濾波器權向量

:期望響應:對期望響應的估計:估計誤差假設由信號與噪聲組成⑴如果，圖1的系統稱為濾波（filtering）；⑵如果，圖1的系統稱為預測（prediction）；⑶如果，圖1的系統稱為平滑（smoothing）。圖期望信號、估計值與誤差信號的幾何關系圖表明在濾波器處于最佳工作狀態時，估計值加上估計偏差等于期望信號，即注意我們所研究的是隨機信號，圖中各矢量的幾何表示應理解為相應量的統計平均或者是數學期望。再從能量的角度來看，假定輸入信號和期望信號都是零均值,應用正交性原理，則 ,因此在濾波器處于最佳狀態時，估計值的能量總是小于等于期望信號的能量。4.2維納濾波器的離散形式—時域解

最小均方誤差準則：（加性干擾）為此令e(n)和x(n-j)正交（且無關）是h最優的必要充分條件，即任何時刻估計誤差都與輸入數據正交。由正交方程可得：一、維納—霍夫方程定義可得維納—霍夫（Wiener-Holf)方程或標準方程求和范圍（i）隨濾波器的不同取不同區間一、維納—霍夫方程定義式可以寫成矩陣的形式，即對上式求逆，得到

上式表明已知期望信號與觀測數據的互相關函數及觀測數據的自相關函數時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解因果的維納濾波器，當選擇的濾波器的長度M較大時，計算工作量很大，并且需要計算Rxx

的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實現時，濾波器的長度是由實驗來確定的，如果想通過增加長度提高逼近的精度，就需要在新M基礎上重新進行計算。因此，從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法。假定所研究的信號都是零均值的，濾波器為FIR型，長度等于M，可以得到二、估計誤差的均方值若h(n)是維納霍夫方程解上式可以進一步化簡得到可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應是一個二次函數關系。由于單位脈沖響應h(n)為M維向量，因此均方誤差是一個超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點存在。當濾波器工作于最佳狀態時，均方誤差取得最小值。

例

設y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪聲，方差σ22=0.1。期望信號x1(n)的信號模型如圖(a)所示，其中白噪聲v1(n)的方差σ21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信號模型如圖（b）所示，b1=0.9458。假定v1(n)與v2(n)、x1(n)與y(n)不相關，并都是實信號。設計一個維納濾波器，得到該信號的最佳估計，要求濾波器是一長度為2的FIR濾波器。圖輸入信號與觀測數據的模型

解這個問題屬于直接應用維納-霍夫方程的典型問題，其關鍵在于求出觀測信號的自相關函數和觀測信號與期望信號的互相關函數。圖維納濾波器的框圖

根據題意，畫出這個維納濾波器的框圖，如圖所示。用H1(z)和H2(z)分別表示x1(n)和x(n)的信號模型，那么濾波器的輸入信號x(n)可以看作是v1(n)通過H1(z)和H２(z)級聯后的輸出，H1(z)和H２(z)級聯后的等效系統用H(z)表示，輸出信號y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求出輸出信號的自相關函數矩陣Ryy和輸出信號與期望信號的互相關矩陣Ryd是解決問題的關鍵。相關函數矩陣由相關函數值組成，已知x(n)與v2(n)不相關，那么

(1)求出期望信號的方差。根據圖

(a)，期望信號的時間序列模型所對應的差分方程為x1(n)=v1(n)-b0x1(n-1)這里，b0=0.8458,由于x1(n)的均值為零，其方差與自相關函數在零點的值相等。

(2)計算輸入信號和輸出信號的自相關函數矩陣。根據自相關函數、功率譜密度和時間序列信號模型的等價關系，已知時間序列信號模型，就可以求出自相關函數。這里，信號的模型H(z)可以通過計算得到。這是一個二階系統，所對應的差分方程為x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值為零，因此，x(n)的均值為0。將方程兩邊同乘以x*(n-m)，并取數學期望，得rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0m＞0

(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=σ21

m=0

(2)對方程（1）取m=1,2，得到rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0 (4)方程(2)、(3)、(4)聯立求解，得至此，輸入信號的自相關矩陣Rxx可以寫出：

v2(n)是一個零均值的白噪聲，它的自相關函數矩陣呈對角形，且 ，因此，輸出信號的自相關Ryy為

(3)計算輸出信號與期望信號的互相關函數矩陣。由于兩個信號都是實信號，故ryd(m)=E［y(n)d(n-m)］=E［y(n)x1(n-m)］

=E［(x(n)+v2(n))x1(n-m)］

=E［x(n)x1(n-m)］

m=0,1根據系統H2(z)的輸入與輸出的關系，有x1(n)-b1x(n-1)=x(n)推出x1(n)=x(n)+b1x(n-1)這樣ryd(m)=E［x(n)x1(n-m)］

=E［x(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m))］

=rxx(m)+b1rxx(m-1)將m=0,m=1代入上式,得ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.9458×0.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.9458×1=-0.4458因此，輸出信號與期望信號的互相關Ryd為求出輸出信號自相關的逆矩陣,并乘以Ryd,就可以得到維納濾波器的最佳解Wopt:可以計算出該維納濾波達到最佳狀態最小值E［|e(n)|2］min：

若不考慮濾波器的因果性，維納濾波式可以寫為設d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)2.3離散維納濾波器的z域解假設信號和噪聲不相關，即rsv(m)=0，則Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)則有當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號的頻譜用Pss(ejω)表示，噪聲的頻譜用Pvv(ejω)表示，那么非因果的維納濾波器的傳輸函數Hopt(ejω)的幅頻特性如圖所示。Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)=0Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)≠0Pss(ejω)=0,Pvv(ejω)≠0然而實際的系統都是因果的。對于一個因果系統，不能直接轉入頻域求解的原因是由于輸入信號與期望信號的互相關序列是一個因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉化為非因果問題，求解方法將大大簡化。那么怎樣把一個因果序列轉化為一個非因果序列呢？圖非因果維納濾波器的傳輸函數的幅頻特性

回顧前面講到的時間序列信號模型，假設x(n)的信號模型B(z)已知（如圖(a)所示），求出信號模型的逆系統B-1(z)，并將x(n)作為輸入，那么逆系統B-1(z)的輸出ω(n)為白噪聲。一般把信號轉化為白噪聲的過程稱為白化，對應的濾波器稱為白化濾波器（如圖(b)所示）。圖x(n)的時間序列信號模型及其白化濾波器具體思路如圖所示。用白噪聲作為待求的維納濾波器的輸入，設定1/B(z)為信號x(n)的白化濾波器的傳輸函數，那么維納濾波器的傳輸函數G(z)的關系為因此，維納濾波器的傳輸函數H(z)的求解轉化為G(z)

的求解。圖維納濾波解題思路

假設待求維納濾波器的單位脈沖響應為ω(n)，期望信號d(n)=s(n)，系統的輸出信號y(n)=s(n)，g(n)是G(z)的逆Z變換，如圖所示。一非因果維納濾波器的求解可以看出，均方誤差的第一項和第三項都是非負數,要使均方誤差為最小，當且僅當

-∞＜k＜∞因此g(n)的最佳值為

-∞＜k＜∞對上式兩邊同時做Z變換，得到這樣，非因果維納濾波器的最佳解為因為s(n)=s(n)*δ(n)，且x(n)=ω(n)*b(n)，根據相關卷積定理，得到rxs(m)=rωs(m)*b(-m)對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Sωs(z)B(z-1)因此根據x(n)的信號模型，得到非因果的維納濾波器的復頻域最佳解的一般表達式假定信號與噪聲不相關，即當E［s(n)v(n)］=0時，有rxs(m)=E［(s(n)+v(n))*s(n+m)］=rss(m)rxx(m)=E［(s(n)+v(n))*(s(n+m)+v(n+m))］

=rss(m)+rvv(m)對上邊兩式做Z變換，得到Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)信號和噪聲不相關時，非因果維納濾波器的復頻域最佳解和頻率響應分別為濾波器的最小均方誤差E［|e(n)|2］min的計算，根據圍線積分法求逆Z變換的公式，rss(m)用下式表示:得出

由復卷積定理

取y(n)=x(n)，有

因此

因為實信號的自相關函數是偶函數，即rss(m)=rss(-m)，因此

Sss(z)=Sss(z-1)假定信號與噪聲不相關，E［s(n)v(n)］=0，

則

若維納濾波器是一個因果濾波器，

要求

g(n)=0n＜0則濾波器的輸出信號

估計誤差的均方值

E［|e(n)|2］=E［|s(n)-y(n)|2］

得到

二因果維納濾波器的求解要使均方誤差取得最小值，

當且僅當

令

所以因果維納濾波器的復頻域最佳解為

維納濾波的最小均方誤差為

比較可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的形式相同，但公式中的Hopt(z)的表達式不同。前面已經導出，對于非因果情況，對于因果情況，比較兩式，它們的第二項求和域不同，因為因果情況下,k=0~+∞，因此可以說明非因果情況的E［|e(n)|2］min一定小于等于因果情況E［|e(n)|2］min。在具體計算時,可以選擇單位圓作為積分曲線，應用留數定理，計算積分函數在單位圓內的極點的留數來得到。因果維納濾波器設計的一般步驟：

(1)根據觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應的信號模型的傳輸函數，即采用譜分解的方法得到B(z)。具體方法為Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，把單位圓內的零極點分配給B(z)，單位圓外的零極點分配給B(z-1)，系數分配給σ2ω。

(2)求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得

(3)計算Hopt(z)，E［|e(n)|2］min。例

已知信號和噪聲不相關，即rsv(m)=0，噪聲v(n)是零均值、單位功率的白噪聲（σ2v=1，mv=0)，求Hopt(z)和E［|e(n)|2］min。

解根據白噪聲的特點得出Svv(z)=1，由噪聲和信號不相關，得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。對上式兩邊做Z變換，并代入已知條件，對x(n)進行功率譜分解:考慮到B(z)必須是因果穩定的系統，得到連

(1)首先分析物理可實現情況，應用公式（2.3.38）:令

F(z)的極點為0.8和2，考慮到因果性、穩定性，僅取單位圓內的極點zi=0.8，f(n)為F(z)的Z反變換。用Res表示留數，應用留數定理，有取因果部分，

f+(n)=0.6×0.8n×u(n)令

單位圓內只有極點zi=0.5，未經濾波器的均方誤差

(2)對于非物理可實現情況，有

令

單位圓內有兩個極點0.8和0.5，應用留數定理，有

比較兩種情況下的最小均方誤差,可以看出非物理可實現情況的最小均方誤差小于物理可實現情況的均方誤差。

3.4.1維納預測的計算在維納濾波中，期望的輸出信號yd(n)=s(n)，實際的輸出為y(n)=s(n)。在維納預測中，期望的輸出信號yd(n)=s(n+N)，實際的輸出y(n)=s(n+N)。前面已經推導得到維納濾波的最佳解為^^其中,Sxx(z)是觀測數據的功率譜;Sxyd(z)是觀測數據與期望信號的互功率譜，即互相關函數rxyd(k)的傅里葉變換4.4維納預測對應于維納預測器，其輸出信號y(n)和預測誤差信號e(n+N)分別為

同理，要使預測誤差的均方值為最小，須滿足

其中，hk表示h(k)。

觀測數據與期望的輸出的互相關函數rxyd(k)和互譜密度Sxyd(z)分別為這樣，非因果維納預測器的最佳解為

因果維納預測器的最佳解為

維納預測的最小均方誤差為

從上面分析可以看出，

維納預測的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。

假設x(n)=s(n)+v(n)，式中v(n)是噪聲，且v(n)=0，期望信號為s(n+N)，N＞0，此種情況稱為純預測。假定維納預測器是因果的，仍設s(n)與v(n)不相關，純預測情況下的輸入信號的功率譜及維納預測器的最佳解分別為二、純預測純預測器的最小均方誤差為

應用復卷積定理

取y(n)=x(n)

并考慮到b(n)是因果系統，得到

可以看到，隨著N增加，E［|e(n+N)|2］min也增加。這一點也容易理解，當預測的距離越遠，預測的效果越差，偏差越大，因而E［|e(n+N)|2］min越大。例

已知其中-1＜a＜1，求:(1)最小均方誤差下的s(n+N)；

(2)E［|e(n+N)|2］min。^解首先對Sxx(z)進行功率譜分解。因為所以其次，求出B(z)的Z反變換

然后，應用Z變換的性質，得到

圖4.4.1純預測維納濾波器由Hopt(z)=aN，此時可以把純預測的維納濾波器看作是一個線性比例放大器（如圖4.4.1所示）。根據x(n)的信號模型可以寫出x(n)的時間序列模型所對應的輸入輸出方程x(n)=ω(n)+ax(n-1)將信號x(n)通過純預測維納濾波器，隨著時間的遞增，可以得到當N=1時，x(n+1)=ax(n)=as(n)當N=2時，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n)當N=N時，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(n)…以上推導結果相當于在n+N時刻，ω(n+N)=0，即去掉噪聲時的結果。設N＞0時，ω(n+N)=0，則x(n+N)=ax(n+N-1)此時，從統計意義上講，當N＞0時，白噪聲信號ω(n+N)對x(n)無影響。這一結論還可以推廣，對于任何均值為零的x(n)，要估計s(n+N)時，只需要考慮B(z)的慣性，即可認為ω(n+N)=0，N＞0，這樣估計出來的結果將有最小均方誤差。^表明一個信號的功率譜在單位圓上沒有極點與信號均值等于0等價，因此對于功率譜在單位圓上沒有極點的信號，要估計s(n+N)時，可認為ω(n+N)=0,N＞0，即僅需要考慮B(z)的慣性，這樣估計出來的結果將有最小均方誤差。^終值定理

已知x(n-1),x(n-2)，…，x(n-p)，預測x(n)，假設噪聲v(n)=0，這樣的預測稱為一步線性預測。設定系統的單位脈沖響應為h(n)，根據線性系統的基本理論，輸出信號令apk=-h(k)，則

預測誤差

三、一步線性預測的時域解其中，ap0=1,要使均方誤差為最小值，要求

同維納濾波的推導過程一樣,可以得到

E［e*(n)x(n-l)］=0l=1,2,…,p

l=1,2,…,p

由于預測器的輸出是輸入信號的線性組合，

得到

說明誤差信號與輸入信號滿足正交性原理預測誤差與預測的信號值同樣滿足正交性原理。預測誤差的最小均方值得到下面的方程組：

將方程組寫成矩陣形式

這就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特點：

(1)除了第一個方程外，其余都是齊次方程;(2)與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測數據x(n)與期望信號s(n)的互相關函數。該方程組有p+1個方程，對應地，可以確定apk，k=1,2,…，p和E［e2(n)］min，共計p+1個未知數，因此可用來求解AR模型參數。這就是后面要介紹的AR模型法進行功率譜估計的原理，它再一次揭示了時間序列信號模型、功率譜和自相關函數描述一個隨機信號的等價性。例

已知x(n)為AR模型，求AR模型參數。

解求解AR模型參數包括確定AR模型的階數p及系數ap1，ap2，…，app。首先對Sxx(z)做傅里葉反變換，得到x(n)的自相關函數rxx(m),rxx(m)=0.8|m|

采用試驗的方法確定模型階數p。首先取p=2，各相關函數值由上式計算，并代入(3.4.29)式，可得計算得到a1=-0.8，a2=0,σ2ω=0.36

如果取p=3，可計算出a1=-0.8,a2=a3=0,σ2ω=0.36，說明AR模型的階數只能是一階的。采用譜分解的方法，即對Sxx(z)進行譜分解，得到的模型也是一階的，其時間序列模型和差分方程為卡爾曼濾波是用狀態空間法描述系統的，由狀態方程和量測方程所組成。卡爾曼濾波用前一個狀態的估計值和最近一個觀測數據來估計狀態變量的當前值，并以狀態變量的估計值的形式給出。卡爾曼濾波具有以下的特點：

(1)算法是遞推的，且狀態空間法采用在時域內設計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；離散型卡爾曼算法適用于計算機處理。

(2)用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態方程描述狀態變量的動態變化規律，因此信號可以是平穩的，也可以是非平穩的，即卡爾曼濾波適用于非平穩過程。

(3)卡爾曼濾波采取的誤差準則仍為均方誤差最小準則。4.5卡爾曼(Kalman)濾波假設某系統k時刻的狀態變量為xk，狀態方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為(4.5.1a)(4.5.1b)其中，k表示時間，這里指第k步迭代時，相應信號的取值；輸入信號ωk是一白噪聲，輸出信號的觀測噪聲vk

也是一個白噪聲，輸入信號到狀態變量的支路增益等于1，即B=1；一、卡爾曼濾波的狀態方程和量測方程

A表示狀態變量之間的增益矩陣，可以隨時間發生變化，用Ak表示第k步迭代時，增益矩陣A的取值；C表示狀態變量與輸出信號之間的增益矩陣，可以隨時間變化，第k步迭代時，取值用Ck表示，其信號模型如圖4.5.1所示。將狀態方程中時間變量k用k-1代替，得到的狀態方程和量測方程如下所示：xk=Ak-1xk-1+ωk-1

yk=Ckxk+vk

其中，xk是狀態變量;ωk-1表示輸入信號是白噪聲;vk是觀測噪聲;yk是觀測數據。圖

4.5.1卡爾曼濾波器的信號模型

其中

為了后面的推導簡單起見，假設狀態變量的增益矩陣A不隨時間發生變化，ωk，vk都是均值為零的正態白噪聲，方差分別是Qk和Rk，并且初始狀態與ωk，vk都不相關，表示相關系數。即

卡爾曼濾波是采用遞推的算法實現的，其基本思想是先不考慮輸入信號ωk和觀測噪聲vk的影響，得到狀態變量和輸出信號（即觀測數據）的估計值，再用輸出信號的估計誤差加權后校正狀態變量的估計值，使狀態變量估計誤差的均方值最小。因此,卡爾曼濾波的關鍵是計算出加權矩陣的最佳值。當不考慮觀測噪聲和輸入信號時，狀態方程和量測方程為(4.5.4)(4.5.5)二卡爾曼濾波的遞推算法顯然，由于不考慮觀測噪聲的影響，輸出信號的估計值與實際值是有誤差的，用表示

(4.5.6)為了提高狀態估計的質量，用輸出信號的估計誤差來校正狀態變量

(4.5.7)其中，Hk為增益矩陣，實質是一加權矩陣。經過校正后的狀態變量的估計誤差及其均方值分別用和Pk表示，把未經校正的狀態變量的估計誤差的均方值用表示(4.5.8)(4.5.9)(4.5.10)

卡爾曼濾波要求狀態變量的估計誤差的均方值Pk為最小，因此卡爾曼濾波的關鍵就是要得到Pk與Hk的關系式，即通過選擇合適的Hk,使Pk取得最小值。首先推導狀態變量的估計值和狀態變量的估計誤差，然后計算的均方值Pk

，并通過化簡Pk，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。將（4.5.3）、

(4.5.5)式代入（4.5.7）式

(4.5.11)同理，狀態變量的估計誤差為

(4.5.12)由上式可以看出，狀態變量的估計誤差由三部分組成，可記為其中(4.5.13b)(4.5.13c)(4.5.13d)那么，狀態變量的估計誤差的均方值Pk就由9項組成:(4.5.14a)其中

(4.5.14b)(4.5.14d)(4.5.14c)

下面化簡Pk的表達式，根據假設的條件，狀態變量的增益矩陣A不隨時間發生變化，起始時刻為k0，則（4.5.2）式經過迭代，得到令l=k-k0-j，得到取k0=0，k=k-1，得到(4.5.15)所以xk-1僅依賴于x0,ω0,ω1,…,ωk-2,與ωk-1不相關，即(4.5.16)又據(4.5.7)式和(4.5.3)式，得(4.5.17)所以僅依賴于xk-1,vk-1，而與vk不相關，即(4.5.18)(4.5.19)

把（4.5.15）～（4.5.19）式代入(4.5.14)式,Pk中的9項可以分別化簡為(4.5.20a)(4.5.20b)(4.5.20c)(4.5.20d)(4.5.20e)(4.5.20f)(4.5.20g)(4.5.20h)(4.5.20j)也就是說，Pk僅有其中的三項不為零，化簡成(4.5.21)為了進一步化簡Pk，推導未經誤差校正的狀態估計誤差的均方值Pk′，由下面推導結果可以看出，Pk′是一對稱矩陣，滿足Pk′=(Pk′)T。(4.5.22)將(4.5.22)式代入(4.5.21)式，即把Pk′代入Pk,(4.5.23)其中, 是正定陣，記

(4.5.24)令

(4.5.25)將上式代入（4.5.23）式，得(4.5.26)將(4.5.26)式后三項配對(4.5.27)第二項和第三項均與Hk無關，第一項為一半正定陣，因此使Pk最小的Hk應滿足(4.5.28)(4.5.29)將Hopt代入Pk，得到最小均方誤差陣將(4.5.7)、(4.5.22)、(4.5.29)式和(4.5.30)式聯立，得到一組卡爾曼遞推公式(4.5.30)(4.5.31a)(4.5.31b)(4.5.31c)(4.5.31d)假設初始條件Ak,Ck,Qk,Rk,yk,xk-1,Pk-1已知，其中x0=E［x0］,P0=var［x0］,那么，遞推流程見圖4.5.2。^^圖

4.5.2卡爾曼濾波遞推流程

例

已知信號與噪聲不相關，yk=xk+vk,求卡爾曼信號模型中的Ak和Ck。

解由yk=xk+vk知道，Ck=1。

對Sxx(z)進行譜分解，確定x(n)的信號模型B(z)，從而確定Ak。根據Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，得出

上式與卡爾曼狀態方程相比，不同之處在于輸入信號ω(n)的時間不同，因此將Sxx(z)改寫為再對Sxx(z)進行譜分解，得到

(解畢)

卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準則來實現信號濾波的，但維納濾波是在信號進入了穩態后的分析，卡爾曼濾波是從初始狀態采用遞推的方法進行濾波。對于平穩隨機信號，當過渡過程結束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結果間存在什么關系呢?下面舉一例說明。

例

已知在k=0時開始觀察yk,yk=xk+vk，用卡爾曼過濾的計算公式求xk，并與維納過濾的方法進行比較。

解(1)由x(n)功率譜及量測方程，確定卡爾曼遞推算法。首先對Sxx(z)進行功率譜分解，由例4.5.1的結果，得到卡爾曼濾波的狀態方程為xk=0.8xk-1+ωk-1,確定Ak=0.8由量測方程yk=xk+vk,確定Ck=1，將參數矩陣Ak,Ck,Rk代入卡爾曼遞推公式（4.5.30），得到(4.5.32a)(4.5.32b)(4.5.32c)(4.5.32d)

(2)求出卡爾曼濾波的輸出。由卡爾曼遞推公式，以及 ，P0=var［x0］=1,可得到Pk′,Hk,Pk及xk（k表示迭代次數），迭代流程為： 由具體迭代結果可以看出，原先的增益矩陣Ak,由于只選擇了一個狀態變量，變成了加權系數。見表4.5.1。表4.5.1Kalman濾波迭代結果

(3)求出卡爾曼濾波的穩態解。將(4.5.32b)式代入方程(4.5.32d),得到第5個方程(4.5.32e)將方程(4.5.32c)、(4.5.32e)代入方程(4.5.32d),消去Pk′，可以得到Pk的遞推關系:Pk=(1-Pk)［0.64Pk-1+0.36］

=0.64Pk-1-0.64Pk

-1

Pk+0.36-0.36Pk

化簡上式，得到

1.36Pk+0.64Pk-1Pk=0.64Pk-1+0.36要求的是穩態解，因此將Pk,Pk-1都用P∞代替,得到

根據P∞，可以確定達到穩態后的卡爾曼濾波的狀態方程:(4.5.33)

(4)用維納濾波的方法分析。采用功率譜分解的方法，得到x(n)的時間序列信號模型的傳輸函數H(z):上式說明x是一階AR模型，對H(z)做Z反變換得到(4.5.34)比較（4.5.33）式和（4.5.34）式，可以看出卡爾曼濾波的穩態解與維納解是相等的。(解畢)通過上面的例題，可以看出維納濾波是已知前p個觀測數據及信號與噪聲的相關函數，通過建立模型的方法分析的。卡爾曼濾波要求已知前一個時刻的狀態估計值x(k-1)和當前的觀測值yk，由狀態方程和量測方程遞推得到結果。維納濾波的解以H(z)的形式給出，卡爾曼濾波是以狀態變量的估計值給出解的形式。它們都采用均方誤差最小的準則,但卡爾曼濾波有一個過渡過程，其結果與維納濾波不完全相同，但到達穩態后，結果相同。^下面舉一個雷達跟蹤目標物的例子說明卡爾曼濾波的應用。雷達跟蹤目標的基本原理是通過發射脈沖，根據接收到的脈沖與發射脈沖的時間間隔，來確定目標物的距離和速度。由于干擾的影響，接收到的脈沖波形變化很大，那么一次的測量結果可能存在很大的誤差。為了減小誤差，往往采取發射一串脈沖的方法進行測量。

三、應用舉例我們知道，空間中的一點需要由徑向距離和方位角來確定。假設雷達跟蹤的目標為飛行器，發射的脈沖時間間隔為T，在時間k，徑向距離為R+ρ(k)，在時間k+1，距離為R+ρ(k+1)，兩者之間有秒的延時，因此T表示空間一次掃描的時間間隔。平均距離用R表示，ρ(k)和ρ(k+1)表示對平均值的偏差。假定偏差是統計隨機的，均值為零,那么可以寫出距離方程式中，表示速度。用u表示加速度，則可以得到加速度方程假定加速度u(k)是零均值的平穩白噪聲，即滿足為了后面敘述方便，定義x(k)表示第k個雷達回波脈沖獲得的目標距離，z(k)表示在第k個雷達脈沖進行數據處理之后的目標距離估計，z(k)表示在第k個雷達脈沖進行數據處理之后的目標速度估計。設定狀態變量為x(k)，選擇的狀態變量有4個，分別表示徑向距離、徑向速度、方位角和方位角速度，即

.（4.5.35）

根據狀態變量的物理含義，得到以下方程：

式中，u1