山西省臨汾市晉槐高級學校2021年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1..已知集合，，則（）A. B. C.

D.參考答案：B【分析】集合研究對象是定義域，集合的研究對象是值域，分別求得的范圍，由此得出選項.【詳解】集合研究對象是定義域，即，解得.集合的研究對象是值域，由于，即.所以集合是集合的子集.故選B.【點睛】本小題主要考查集合的研究對象，考查函數的定義域與函數的值域，還考查了子集的知識，屬于基礎題.2.正四面體ABCD的棱長為4，E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則截面面積的最小值是（）A．4π B．8π C．12π D．16π參考答案：A【考點】LR：球內接多面體．【分析】根據題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數據算出外接球半徑R，當球心O到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值．【解答】解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，∵正四面體ABCD的棱長為4，∴正方體的棱長為2，可得外接球半徑R滿足2R=2×，R=．E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，當球心O到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，可得截面圓的半徑為r=．得到截面圓的面積最小值為S=πr2=4π．故選：A．3.執行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為5，則輸出結果為（）A．5 B．6 C．11 D．16參考答案：C考點：循環結構．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的s，i的值，當i=6時，不滿足條件i≤n，退出循環，輸出s的值為11．解答：解：模擬執行程序框圖，可得n=5，i=1，s=1滿足條件i≤n，s=1，i=2滿足條件i≤n，s=2，i=3滿足條件i≤n，s=4，i=4滿足條件i≤n，s=7，i=5滿足條件i≤n，s=11，i=6不滿足條件i≤n，退出循環，輸出s的值為11．故選：C．點評：本題主要考查了循環結構的程序框圖，正確依次寫出每次循環得到的s，i的值是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．4.為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有的點（

）

A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度

C.向左平移1個單位長度

D.向右平移1個單位長度

參考答案：A略5.若，則復數（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：A6.某幾何體示意圖的三視圖如圖示，已知其主視圖的周長為8，則該幾何體側面積的最大值為A．π

B．2π

C．4π D．16π參考答案：C由三視圖知，該幾何體為圓錐，設底面的半徑為r，母線的長為，則，又S側=（當且僅當時“=”成立）.故選C.

7.一個平面封閉區域內任意兩點距離的最大值稱為該區域的“直徑”，封閉區域邊界曲線的長度與區域直徑之比稱為區域的“周率”，下面四個平面區域（陰影部分）的周率從左到右依次記為，則下列關系中正確的為參考答案：C略8.已知復數z滿足（i為虛數單位），則z=

（

）

A．-1+3i

B．-1-3i

C．1+3i

D．1-3i

參考答案：B9.已知函數f（x）滿足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．設H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的較大值，min（p，q）表示p，q中的較小值），記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則A﹣B=(

) A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16參考答案：C考點：函數最值的應用．專題：壓軸題；函數的性質及應用．分析：本選擇題宜采用特殊值法．取a=﹣2，則f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．畫出它們的圖象，如圖所示．從而得出H1（x）的最小值為兩圖象右邊交點的縱坐標，H2（x）的最大值為兩圖象左邊交點的縱坐標，再將兩函數圖象對應的方程組成方程組，求解即得．解答： 解：取a=﹣2，則f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．畫出它們的圖象，如圖所示．則H1（x）的最小值為兩圖象右邊交點的縱坐標，H2（x）的最大值為兩圖象左邊交點的縱坐標，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故選C．點評：本題主要考查了二次函數的圖象與性質、函數最值的應用等，考查了數形結合的思想，屬于中檔題．10.已知函數的大小關系為A. B.C. D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數f（x）的圖象過點（2，），則=_______________．參考答案：3略12.在中，若，則的大小為

.參考答案：或試題分析：由正弦定理得：，故或，當時，；當時，考點：解三角形13.已知某三棱錐的三視圖是如圖所示的三個直角三角形，那么這個三棱錐最小的一個面的面積是__________．參考答案：由三視圖可知，該幾何體如圖所示，且，，，∴，，，且，，，∴，故該三棱錐最小的一個面面積是．14.在△ABC中，D為AB的一個三等分點，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，則cosB=．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得關于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，則：AB=3，BC=3m，則利用余弦定理可得：．∴．故答案為：．15.非零向量，滿足||=||，且（﹣）⊥（2+3），則與夾角的大小為．參考答案：π【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】由已知可得與的關系，然后代入數量積公式求得與夾角．【解答】解：∵||=||，且（﹣）⊥（2+3），∴（﹣）?（2+3）=，即，∴cos＜＞=，∴與的夾角為．故答案為：．【點評】本題考查數量積求向量的夾角，向量垂直與數量積間的關系，是基礎題．16.函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則函數f（x）解析式

．參考答案：f（x）=2sin（2x﹣）【考點】正弦函數的圖象．【分析】由最值求出A，由周期求出ω，代入特殊點坐標求出φ．【解答】解：由圖象可知f（x）的最大值為2，周期T=2（）=π，∴ω=．∵f（）=2，∴2sin（φ）=2，∴+φ=，即φ=﹣+2kπ．∵﹣＜φ＜，∴k=0時，φ=﹣．故答案為：f（x）=2sin（2x﹣）．17.在一個長方體的三條棱長分別為3、8、9，若在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化，則圓孔的半徑為

．參考答案：3【分析】設半徑為r，由題意得減少的2個圓的面積=圓柱的側面積，由此列出方程能求出圓孔的半徑．【解答】解：設半徑為r，∵在一個長方體的三條棱長分別為3、8、9，在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化，∴減少的2個圓的面積=圓柱的側面積，∴2πr2=2πr×3，解得r=3．∴圓孔的半徑為3．故答案為：3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分15分）已知函數．（1）求函數的圖像在點處的切線方程；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；參考答案：（1）解：因為，所以，函數的圖像在點處的切線方程；…………5分（2）解：由（1）知，，所以對任意恒成立，即對任意恒成立．…………7分令，則，……8分令，則，所以函數在上單調遞增．………9分因為，所以方程在上存在唯一實根，且滿足．當，即，當，即，…13分所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．所以．…………14分所以．故整數的最大值是3．………15分略19.在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．（1）求證：AB⊥CD；（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）利用面面垂直的性質定理即可得出；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計算公式sinθ=|cos|=即可得出．【解答】（1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．設平面BCM的法向量=（x，y，z），則，令y=﹣1，則x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．設直線AD與平面MBC所成角為θ．則sinθ=|cos|===．20.（本小題滿分14分）已知向量，函數·，且最小正周期為．（1）求的值；

（2）設，求的值．（3）若，求函數f(x)的值域；參考答案：解:（1）由已知，易得

………2分F(x)的最小正周期為，即，解得

………4分（2）由（1），知，則

所以，又，所以

………6分同理所以，又，所以

………8分所以=

………10分（3）當時，,令t=，則，原函數可化為，

………11分當;

………12分當

………13分所以，函數f(x)的值域為：

………14分

21.（12分）甲居住在城鎮的處，準備開車到單位處上班，若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率如圖（例如，→→算作兩個路段：路段發生堵車事件的概率為，路段發生堵車事件的概率為，且甲在每個路段只能按箭頭指的方向前進）．(Ⅰ）請你為其選擇一條由到的路線，使得途中發生堵車事件的概率最小；（Ⅱ）若記路線→→→中遇到堵車次數為隨機變量，求的分布列及．參考答案：解：（Ⅰ）記路段發生堵車事件為，各路段發生堵車事件的記法與此類同.因為各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，所以路線→→→中遇到堵車的概率為

……………………2分同理：路線→→→中遇到堵車的概率為1－(··）=（小于）

………………………4分路線→→→中遇到堵車的概率為（大于）顯然要使得由到的路線途中發生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇.因此選擇路線→→→，可使得途中發生堵車事件的概率最小

…………6分（Ⅱ）路線→→→中遇到堵車次數可取值為0，1，2，3．，，，.所以的分布列為

…………9分∴=

………………12分22.某校為緩解高三學生的高考壓力，經常舉行一些心理素質綜合能力訓練活動，經過一段時間的訓練后從該年級800名學生中隨機抽取100名學生進行測試，并將其成績分為A、B、C、D、E五個等級，統計數據如圖所示（視頻率為概率），根據以上抽樣調查數據，回答下列問題：（1）試估算該校高三年級學生獲得成績為B的人數；（2）若等級A、B、C、D、E分別對應100分、90分、80分、70分、60分，學校要求平均分達90分以上為“考前心理穩定整體過關”，請問該校高三年級目前學生的“考前心理穩定整