8.3列聯表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯表前面兩節所討論的變量，如人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀錄和創紀錄的時間等，都是數值變量.數值變量的取值為實數，其大小和運算都有實際含義.在現實生活中，人們經常需要回答一定范圍內的兩種現象或性質之間是否存在關聯性或相互影響的問題.例如，就讀不同學校是否對學生的成績有影響，不同班級學生用于體育鍛煉的時間是否有差別，吸煙是否會增加患肺癌的風險，等等.本節將要學習的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案.在討論上述問題時，為了表述方便，我們經常會使用一種特殊的隨機變量，以區別不同的現象或性質，這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數表示，例如，學生所在的班級可以用1,2,3等表示，男性、女性可以用1,0表示，等等.在很多時候，這些數值只作為編號使用，并沒有通常的大小和運算意義.本節我們主要討論取值于{0,1}的分類變量的關聯性問題.1.分類變量問題為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經常性有影響，為此對學生是否經常鍛煉的情況進行了普查.全校學生的普查數據如下:523名女生中有331名經常鍛煉；601名男生中有473名經常鍛煉.你能利用這些數據，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經常性方面是否存在差異嗎?如何利用統計數據判斷一對分類變量之間是否具有關聯性呢?對于這樣的統計問題，有時可以利用普查數據，通過比較相關的比率給出問題的準確回答，但在大多數情況下，需要借助概率的觀點和方法.我們先看下面的具體問題.這是一個簡單的統計問題.最直接的解答方法是，比較經常鍛煉的學生在女生和男生中的比率.由已知數據，可得該校的女生和男生在體育鍛煉的經常性方面有差異，而且男生更經常鍛煉.上面的問題還可以通過建立一個古典概型，使用條件概率的語言，給出另外一種解答方法.用Ω表示該校全體學生構成的集合，則Ω為樣本空間，定義一對分類變量X和Y如下:對于Ω中的每一名學生，分別令下面我們利用已知數據分別來計算這兩個條件概率.若從該校女生和男生中各隨機選取一名學生，那么該女生屬于經常鍛煉群體的概率為而該男生屬于經常鍛煉群體的概率為為了清楚起見，我們用表格整理數據，如下表所示.性別鍛煉合計不經常(Y＝0)經常(Y＝1)女生(X＝0)192331523男生(X＝1)128473601合計3208041124∴在該校的學生中，性別對體育鍛煉的經常性有影響，即該校的女生和男生在體育鍛煉的經常性方面存在差異，而且男生更經常鍛煉.2.列聯表在實踐中，由于保存原始數據的成本較高，人們經常按研究問題的需要，將數據分類統計，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數據統計表稱為2×2列聯表.2×2列聯表給出了成對分類變量數據的交叉分類頻數.組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d用Ω表示兩所學校的全體學生構成的集合，則Ω為樣本空間，對于Ω中的每一名學生，定義分類變量X和Y如下：例1為比較甲、乙兩所學校學生的數學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生.通過測驗得到了如下數據:甲校43名學生中有10名數學成績優秀;乙校45名學生中有7名數學成績優秀.試分析兩校學生中數學成績優秀率之間是否存在差異.解：將所給數據整理成如下2×2列聯表.學校數學成績合計不優秀(Y＝0)優秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788學校數學成績合計不優秀(Y＝0)優秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788由等高堆積條形圖可知，可以認為兩校學生的數學成績優秀率存在差異，甲校學生的數學成績優秀率比乙校學生的高.由2×2列聯表可得，甲校學生中數學成績不優秀和數學成績優秀的頻率分別為乙校學生中數學成績不優秀和數學成績優秀的頻率分別為作出等高堆積條形圖如圖示.甲校乙校1.00.80.60.40.00.2優秀不優秀思考你認為“兩校學生的數學成績優秀率存在差異”這一結論是否有可能是錯誤的?事實上，“兩校學生的數學成績優秀率存在差異”這個結論是根據兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現這種情況:在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學生的數學成績優秀率實際上是沒有差別的.這就是說，樣本的隨機性導致了兩個頻率間出現較大差異.在這種情況下，我們推斷出的結論就是錯誤的.后面我們將討論犯這種錯誤的概率大小問題.變式網絡對現代人的生活影響較大，尤其是對青少年，為了解網絡對中學生學習成績的影響，某地區教育主管部門從轄區初中生中隨機抽取了1000人調查，發現其中經常上網的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用圖形判斷學生經常上網與學習成績有關嗎？解：根據題目所給的數據得到如下2×2列聯表：成績上網合計經常上網不經常上網不及格80120200及格120680800合計2008001000由此可得得到等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分，可以發現經常上網期末考試不及格的頻率明顯高于經常上網期末考試及格的頻率，因此可以認為經常上網與學習成績有關．課本127頁1.成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導出高水平學生的概率較大”，即老師的名聲與學生的水平之間有關聯.你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現象之間關聯的成語嗎?解：例如水漲船高、登高望遠等.課本127頁2.例1中的隨機抽樣數據是否足夠確定與X和Y有關的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因為隨機抽樣得到的樣本具有隨機性，根據樣本數據計算出來的頻率也具有隨機性.在統計推斷中，依據頻率穩定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機性，這種推斷可能犯錯誤.因此，隨機抽樣數據不足以確定與X和Y有關的所有概率和條件概率.課本127頁3.根據有關規定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.那么(1)吸煙是否對每位煙民一定會引發健康問題?(2)有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙.這種說法對嗎?解：(1)從已掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機因素的影響，它是很多因素共同作用的結果.吸煙導致患病的案例非常普遍，但也可以找到長壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關聯，即從統計意義上講，吸煙會損害健康，但不一定會對每位煙民都引起健康問題.(2)這種說法不正確.雖然吸煙不一定會對每個人都引起健康問題，但根據統計數據，吸煙比不吸煙引起健康問題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙”的說法是不對的.課本127頁4.假設在本小節“問題”中，只是隨機抽取了44名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯表:性別鍛煉合計不經常經常女生51520男生61824合計113344(1)據此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經常性；(2)說明你的推斷結論是否可能犯錯，并解釋原因.課本127頁性別鍛煉合計不經常(Y＝0)經常(Y＝1)女生(X＝0)51520男生(X＝1)61824合計113344(1)據此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經常性；(2)說明你的推斷結論是否可能犯錯，并解釋原因.解：(1)根據列聯表中的數據，計算得男女生中不經常鍛煉和經常鍛煉的頻率分別為通過對比發現，男生中不經常鍛煉和經常鍛煉的頻率與女生中不經常鍛煉和經常鍛煉的頻率分別相等，依據頻率穩定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認為性別對體育鍛煉的經常性沒有影響.(2)推斷可能犯錯誤.因為樣本是通過隨機抽樣得到的，頻率具有隨機性，因此推斷可能犯錯誤.小結：1.分類變量

用以區別不同的現象或性質的一種特殊的隨機變量，稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數表示，例如，學生所在的班級可