第五章留數§2留數的一般理論一、定義定義如果函數f(z)在z0的鄰域D內解析,那么根據柯西積分定理

但是,如果z0為f(z)的一個孤立奇點,則沿在z0的某個去心鄰域0<|z-z0|<R內包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項積分:稱C-1為f(z)在z0的留數,記作Res[f(z),z0],即

如果z0是f(z)的可去奇點,則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點,則只好將其按洛朗級數展開.如果z0是極點,則有一些對求c-1有用的規則.

求函數在孤立奇點z0處的留數即求它在洛朗級數中

(z-z0)-1項的系數c-1即可.但如果知道奇點的類型,對求留數可能更有利.證明由于z0是f(z)的1階極點，所以在z0的某個去心鄰域內的Laurent級數展開式為故所以二.留數的計算規則

規則1

如果z0為f(z)的一階極點,則規則2

如果z0為f(z)的m階極點,則事實上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規則2,當m=1時就是規則1。例求和在孤立奇點處的留數.

z=0是g(z)的1階極點，于是易知z=1和z=2都是f(z)的1階極點，故例求在孤立奇點處的留數.處解析，且所以是f(z)的1階極點，并且顯然和都在例求在z=0處的留數.可知,z=0是f(z)的3階極點,定理一(留數定理)

設函數f(z)在區域D內除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC三、留數定理[證]把在C內的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據復合閉路定理有注意定理中的條件要滿足。例如不能應用留數定理。由規則1,得我們也可以用規則3來求留數:這比用規則1要簡單些.例4

解：所以原式=定義

設函數f(z)在圓環域R<|z|<(R≥0)內解析,即無窮遠點為f(z)的孤立奇點。C為圓環域內繞原點的任何一條簡單閉曲線,則積分四、在無窮遠點的留數理解為C的負方向。的值與C無關,稱其為f(z)在點的留數,記作f(z)在圓環域R<|z|<內解析，則洛朗展開式為：

這就是說,f(z)在點的留數等于它在點的去心鄰域R<|z|<+內洛朗展開式中z-1的系數相反數.定理二

如果f(z)在擴充復平面內只有有限個孤立奇點,那么f(z)在所有各奇點(包括點)的留數總和必等于零.證：除點外,設f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,...,n