計算傳熱學第5講離散方程的求解SolutionofDifferenceEquations第一頁，共六十頁。本講內容：引言幾個基本事實基本迭代法加速收斂技術－塊迭代法加速收斂技術－多重網格法加速收斂技術－塊修正法加速收斂技術－其它方法收斂判據、收斂速度的控制及其它第二頁，共六十頁。閱讀要求陶文銓《數值傳熱學》第4章第4.4節第7章第三頁，共六十頁。5.1離散化方程的求解必須講求方法離散化代數方程的求解不論何種方法不論問題的性質如何且一般是非線性的具有基本重要性不可或缺第四頁，共六十頁。離散化方程的求解必須講求方法直接方法（或精確解法）directsolution未知數個數巨大計算工作量太大，根本得不到解舍入誤差（round-offerror)得不到“精確解”精確解法的結果往往是錯誤的只能采用迭代法（iterationmethod）在數值傳熱學中：基本重要性普通迭代法效率低收斂速度慢采用加速收斂方法（accelerationmethods）第五頁，共六十頁。5.2幾個基本事實離散化方程的形式：對于二維問題，對于一維問題，或者寫成，

39第六頁，共六十頁。幾個基本事實離散化方程的形式對于一維問題，它是一個三對角方程，TDMA法對于多維問題：大型稀疏系數矩陣不能形成“對角”方程對角方程：高效的求解方法聰明的節點編號：“對角方程”第七頁，共六十頁。幾個基本事實迭代法是近似法理論上：給出任意指定精度的近似解迭代法的收斂速度問題的性質結點數目增加，收斂速度迅速降低Recall：數值解的精度與子區域的大小有關實際問題：結點數目非常大為什么節點數增加，收斂速度下降？邊界條件信息向區域內部的傳遞速度第八頁，共六十頁。節點多了，層次多了，“路徑”長了，收斂速度慢了！第九頁，共六十頁。特別提示加速邊界信息的傳遞，必然會提高收斂速度加速收斂的主要思路之一第十頁，共六十頁。幾個基本事實收斂速度與邊界條件的類型有關第一類邊界：邊界信息最為確定，收斂速度最快第三類邊界：邊界信息較確定，收斂速度較快第二類邊界：邊界信息最不確定，收斂速度最慢第十一頁，共六十頁。幾個基本事實收斂速度與問題的類型有關：擴散型方程易于收斂對流－擴散方程收斂慢層流比紊流問題收斂更困難線性問題比非線性問題容易收斂收斂速度與迭代順序有關設定邊界條件時一定要慎重確定的待求變量數值第十二頁，共六十頁。幾個基本事實三對角方程：可以高效直接求解直接解法可以一次性傳遞邊界信息迭代過程中要盡可能多地采用直接法第十三頁，共六十頁。5.3基本迭代法－松弛法松弛法（Relaxationmethod)用上次迭代值（0）和本次迭代值構造本輪迭代解，即，從方程（1）中解出P代入（4），有，第十四頁，共六十頁。松弛法（Relaxationmethod)是松弛因子，relaxationfactor0<<2=1:Gauss-Seidel迭代法<1:亞松弛（Underrelaxation）～>1:超松弛（Overrelaxation）～第十五頁，共六十頁。松弛法（Relaxationmethod)最佳松弛因子opt:獲得最快的收斂速度不能事先預測對于擴散型問題：超松弛可以加速收斂亞松弛：改善收斂特性，抑制發散復雜問題一般用亞松弛公式(5):點迭代（stepwiseiteration)程序簡單收斂速度慢計算機速度的提高：點迭代的可能性第十六頁，共六十頁。松弛法（Relaxationmethod)松弛法的基本思想：具有重要意義點迭代線迭代源項等的處理：對于強源項問題，第十七頁，共六十頁。5.4加速收斂技術為什么一定要采用加速收斂方法？收斂速度成為制約因素加速收斂的基本出發點：加速邊界信息的傳遞增加直接求解的份額最大限度地減少待求變量的數目第十八頁，共六十頁。塊迭代法塊迭代法：Blockiteration將求解區域分成若干塊（大的子區域）未知數個數巨大塊：一條線和數條網格線組成同一塊上的待求變量用直接法求解不同塊之間用迭代法求解這相當于：代數方程可以分區域求解各個區域間用迭代法完成第十九頁，共六十頁。5.4.1塊迭代法最常用的方案：線迭代(lineiteration)對于二維問題，參見方程（2）：改寫：方程（7）形式上變為一維問題第二十頁，共六十頁。線迭代法說明：形式上變為一維問題b’中的S和N是未知的：上次迭代值在同一條線上求解逐線求解，直到覆蓋整個求解區域。第二十一頁，共六十頁。掃描方向第二十二頁，共六十頁。掃描方向第二十三頁，共六十頁。線迭代法當然，將方程（2）還可以這樣改寫，顯然，它給出了豎直線之間的迭代。第二十四頁，共六十頁。掃描方向第二十五頁，共六十頁。掃描方向第二十六頁，共六十頁。線迭代法－說明交替方向法(ADI,AlternativeDirectionIteration)特點：增加了直接求解的份額加速了邊界信息的傳遞速度大幅度地提高了收斂速度（與點迭代相比）程序仍然相對簡單內存占用增加不多屬于必須掌握的方法第二十七頁，共六十頁。線迭代法－說明分類Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代松弛迭代系數一定要采用Jacobi迭代，否則擴散系數計算的不一致導致違反流的相容性原則迭代過程發散第二十八頁，共六十頁。線迭代法－說明掃描方向與掃描起始線對收斂速度的影響比較大有確定信息的邊界作為掃描起始線掃描方向：對著邊界信息較確定的邊界各邊界信息量相同時：“短路徑”原則1st3rd2nd2nd掃描方向第二十九頁，共六十頁。yx線迭代法－說明程序中掃描方向的設計最佳方案：每個坐標方向上各進行來回兩次掃描簡化方案：每個坐標方向上各進行一次掃描對坐標系進行調整，起始線：確定信息2nd1st2nd3rdyx2nd1st2nd3rd第三十頁，共六十頁。5.4.2多重網格法Multi-gridmethod的依據影響收斂速度的關鍵因素：邊界信息的傳遞節點數目增加，收斂速度降低節點數目增加，邊界到內部的相對路徑增加，層次增多網格加密不利于誤差矢量長波分量的衰減方案:在粗網格上求解：加速邊界相息的傳遞在密網格上求解：得到滿足精度要求的解第三十一頁，共六十頁。多重網格法由疏到密的過程第三十二頁，共六十頁。多重網格法由密到疏的過程第三十三頁，共六十頁。多重網格法實際操作時：先由密到疏，再由疏到密細網格：衰減誤差的短波分量粗網格：衰減誤差的長波分量迭代：控制迭代次數，監視迭代誤差盡可能采用直接法求解最細層次網格上的迭代：控制迭代精度，監視迭代次數第三十四頁，共六十頁。多重網格法兩層網格之間：有盡可能多的“繼承關系”減少插值（由細到粗）簡化由粗到細網格的插值（插值方法在這里是關鍵技術）第三十五頁，共六十頁。多重網格法在精度要求不是特別高時，可以明顯加快收斂過程如果精度要求非常高，效果不明顯1迭代次數n12n23n3第三十六頁，共六十頁。多重網格法缺點：程序復雜化專業程序開發人員第三十七頁，共六十頁。5.4.3塊修正法Block-correctiontechnique基本出發點：減少結點數目加快邊界信息向求解區域傳遞基本思想：把求解區域分為若干個“大的塊兒”在進行下一次迭代前對迭代初值進行估算：下次迭代值＝上次迭代值＋修正值假定同一塊上的節點有相同的修正值第三十八頁，共六十頁。塊修正法對于二維問題，將方程（2）改寫：經過若干次迭代后，得到了近似解*i,j在此基礎上，估算新的迭代值：第三十九頁，共六十頁。塊修正法這相當于假定i,j（j＝1,2,3,…,M）這M個待求變量可以在上次迭代值*i,j的基礎上加上同一個修正值得到。將方程（12）代入方程（11）第四十頁，共六十頁。塊修正法整理后得到:其中，第四十一頁，共六十頁。塊修正法將方程（14）對j求和，令，第四十二頁，共六十頁。塊修正法于是有，求解上述方程，得到修正量，代入方程（12），得到新的迭代值。第四十三頁，共六十頁。塊修正法收斂時，必然有[參見方程（11）]，于是，從而，第四十四頁，共六十頁。塊修正法所以，方程（17）當迭代收斂時有0解：當迭代沒有收斂時，利用方程（17）和方程（12）可以得到更好的試探值第四十五頁，共六十頁。塊修正法說明：它不是一種獨立的解法它只能提供“較好”的迭代試探值程序的復雜化為了提高試探值的精度，可以采用多塊修正法也就是多重網格法第四十六頁，共六十頁。5.4.4TDMA的擴展增加直接求解的份額可以提高收斂速度沿邊界逐層構造方程組進行求解第四十七頁，共六十頁。第四十八頁，共六十頁。TDMA的擴展優點最大限度地應用了TDMA方法增加了直接求解的份額提高了收斂速度缺點程序大大復雜化在計算機上的實現很困難文獻中很少采用第四十九頁，共六十頁。5.5加速收斂的其它方法邊界節點消去法（附加源項法）消去邊界節點待求變量明顯減少待求變量的數量正方形平面區域，邊界節點所占份額＝4（N1/2-1)/NN=1000,12.25%N=10000,3.92%立方體區域，邊界節點所占份額＝（6N2/3-11N1/3+8)/NN=1000,49.8%N=10000,25.6%N=100000,12.4%求解區域縮小，邊界內移，提高收斂速度第五十頁，共六十頁。加速收斂的其它方法調整步長和精度控制盡可能采用較大的步長較低的精度控制前提：獲得精度控制及步長無關解第五十一頁，共六十頁。5.6收斂判據與收斂速度的控制收斂判據：精度無關解最大相對誤差：max{(-*)/}最大絕對誤差:max{-*}余量范數:最大迭代次數：第五十二頁，共六十頁。收斂判據與收斂速度的控制收斂速度的控制求解穩態問題的非穩態方法欠松弛法源項松弛源項逐步加大法網格尺寸的確定：網格無關解等步長與變步長計算：均勻網格優先原則第五十三頁，共六十頁。簡單的算例求解下面的一維穩態導熱問題：第五十四頁，共六十頁。節點數目對求解結果的影響精度控制：0.5×10－5第五十五頁，共六十頁。節點數量對迭代次數的影響第五十六頁，共六十頁。精度控制對迭代次數的影響N＝300第五十七頁，共六十頁。精度控制對計算結果的影響N＝300第五十八頁，共六十頁。EndofThisLecture5THANKYOU第五十九頁，共六十頁。內容梗概計算傳熱學第5講。收斂判據、收斂速度的控制及其它。第4章第4.4節。精確解法的結果往往是錯誤的。對于一維問題，它是一個三對角方程，TDMA法。Recall：數值解的精度與子區域的大小有關。節點多了，層次多了，“路徑”長了，收斂速度慢了。邊界信息較確定，收斂速度較快。線性問題比非線性問題容易收斂。是松弛因子，relaxationfactor。=1:Gauss-Seidel迭代法。<1:亞松弛（Underrelaxation）～。>1:超松弛（Overrelaxation）～。公式(5):點迭代（stepwiseiteration)。計算機速度的提高：點迭代的可能性。將求解區域分成若干塊（大的子區域）