§1.2解的存在惟一性對于給定的微分方程，它的通解一般有無限多個，而給定初始條件后，其解有時惟一，有時不惟一.給定初始條件的微分方程解的存在惟一性?(一)它是數值解和定性分析的前提;(二)若實際問題中建立的方程模型的解不是存在且惟一的，該模型就是一個壞模型.1§1.2解的存在惟一性對于給定的微分方程，它的通例1:初值問題有解:

.它的存在區間為例2:初值問題的解為:存在區間為初值問題的解:

2例1:初值問題例3:初始值問題:有無窮多解,存在區間為:3例3:初始值問題:有無窮多解,存在區間為:31.2.1例子和思路例4:證明初值問題的解存在且惟一。證：若是初始值問題的解,兩端積分滿足反之，若一個連續函數滿足則它是的解。41.2.1例子和思路的解存在且惟一。證：若是初始值問題的解,……取來證明構造迭代序列有解．5……取來證明構造迭代序列有解．5由于收斂，且代入驗證函數為初值問題的解,這就得到解的存在性。惟一性證明:設有兩個解則可微，且滿足這就證明了惟一性。6由于收斂，且代入驗證函數為初值問題的解,這就得到解的存在1.2.2存在惟一性定理及其證明設在矩形區域上連續，如果有常數L>0,使得對于所有的都有:考慮微分方程:Lipschitz條件:(1.2.3)71.2.2存在惟一性定理及其證明設在矩形區域上連續，如果有L稱為Lipschitz常數。則稱在R上關于y滿足Lipschitz條件。注:若關于y的偏導數連續,則在R上關于y滿足Lipschitz條件。8L稱為Lipschitz常數。則稱在R上關于y滿足L一的解，其中上存在惟證明：定理1:在R上連續且關于y滿足若（１）將初值問題解的存在惟一性化為積分方程解的存在惟一性．思路：在區間Lipschitz條件，則初值問題(1.2.3)9一的解，其中上存在惟證明：定理1:在R上連續且關于y滿足若（２）構造積分方程迭代函數序列.（４）證明該序列的極限是積分方程的解．（５）證明惟一性．僅考慮上存在.詳細證明：(1)等價積分方程的解等價。初值問題與積分方程(1.2.3)（３）證明該迭代序列收斂．10（２）構造積分方程迭代函數序列.（４）證明該序列的極限是積分（2）構造Picard迭代數列這樣就得到一個連續函數列Picard迭代序列。它稱為11（2）構造Picard迭代數列這樣就得到一個連續函數（3)Picard序列的收斂性引理1.1對于一切續且滿足連.則證明:顯然對一切的都有有定義且上滿足:設在區間連續,12（3)Picard序列的收斂性引理1.1對于一切續證明：考慮函數項級數估計級數通項:于是的一致收斂性與級數的一致收斂性等價。引理1.2上一致收斂。函數列它的前項的部分和為:13證明：考慮函數項級數估計級數通項:于是的一致收斂性與級數的一其中第二個不等式由Lipschitz條件可以得到，設：對有14其中第二個不等式由Lipschitz條件可以得到，設：對有1于是，由數學歸納法得，對于所有自然數k，有級數在上一致收斂。因為正項級數收斂,由Weiestrass判別法知，設:由的連續性和一致收斂性可得:在上連續.15于是，由數學歸納法得，對于所有自然數k，有級數在上一致收斂。（4）Picard迭代數列的極限函數就是積分方程的連續解。引理1.3

是積分方程定義于上的連續解。

證明：由Lipschitz條件以及在上的一致收斂，得出函數序列在一致收斂于函數.上16（4）Picard迭代數列的極限函數就是積分方程的連續解。因而對取極限，得即這表明是積分方程的連續解。17因而對取極限，得即這表明是積分方程的連續解。17（5）解的惟一性證明：則引理1.4上的連續解，則必有是積分方程在設和令18（5）解的惟一性證明：則引理1.4上的連續解，則必有是1919注1:定理中的幾何意義:故取.注2:函數的連續性保證解的存在性,Lipschitz條件保證解的惟一性．注３:定理的結論只是在局部范圍內給出解的存在惟一性．可反復使用該定理，使解的范圍延拓到最大的區間．在解有可能跑到之外．20注1:定理中的幾何意義:故取.注2:函數的連續性保證解的存在的解證明：取在矩形區域：連續，且它關于y有連續的偏導數。例５證明初始值問題：計算21的解證明：取在矩形區域：連續，且它關于y有連續的偏導數。例５對等價的積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的內存在唯一。當然也在內存在唯一，解22對等價的積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的內內連續，且對有連續的偏導數．因任意．先取使最大．對于任意的正數函數在解：的解存在唯一的區間．例６討論初始值問題23內連續，且對有連續的偏導數．因任意．先取使最大．對于任意的正顯然使得最大，且取則由定理得解的存在惟一區間為：再使用依次存在惟一性定理：，以令為區域的中心，討論新的初始值問題：24顯然使得最大，且取則由定理得解的存在惟一區間為：再使用依次存當時，取得最大值此時故取可得到解在上存在，事實上，初值問題的解是：存在區間為：25當時，取得最大值此時故取可得到解在上存在，事實上，初值問題的2626內容小結微分方程解的存在惟一性P.222，3（1，4）作業迭代法構造解的思想27內容小結微分方程解的存在惟一性P.222，3（§1.2解的存在惟一性對于給定的微分方程，它的通解一般有無限多個，而給定初始條件后，其解有時惟一，有時不惟一.給定初始條件的微分方程解的存在惟一性?(一)它是數值解和定性分析的前提;(二)若實際問題中建立的方程模型的解不是存在且惟一的，該模型就是一個壞模型.28§1.2解的存在惟一性對于給定的微分方程，它的通例1:初值問題有解:

.它的存在區間為例2:初值問題的解為:存在區間為初值問題的解:

29例1:初值問題例3:初始值問題:有無窮多解,存在區間為:30例3:初始值問題:有無窮多解,存在區間為:31.2.1例子和思路例4:證明初值問題的解存在且惟一。證：若是初始值問題的解,兩端積分滿足反之，若一個連續函數滿足則它是的解。311.2.1例子和思路的解存在且惟一。證：若是初始值問題的解,……取來證明構造迭代序列有解．32……取來證明構造迭代序列有解．5由于收斂，且代入驗證函數為初值問題的解,這就得到解的存在性。惟一性證明:設有兩個解則可微，且滿足這就證明了惟一性。33由于收斂，且代入驗證函數為初值問題的解,這就得到解的存在1.2.2存在惟一性定理及其證明設在矩形區域上連續，如果有常數L>0,使得對于所有的都有:考慮微分方程:Lipschitz條件:(1.2.3)341.2.2存在惟一性定理及其證明設在矩形區域上連續，如果有L稱為Lipschitz常數。則稱在R上關于y滿足Lipschitz條件。注:若關于y的偏導數連續,則在R上關于y滿足Lipschitz條件。35L稱為Lipschitz常數。則稱在R上關于y滿足L一的解，其中上存在惟證明：定理1:在R上連續且關于y滿足若（１）將初值問題解的存在惟一性化為積分方程解的存在惟一性．思路：在區間Lipschitz條件，則初值問題(1.2.3)36一的解，其中上存在惟證明：定理1:在R上連續且關于y滿足若（２）構造積分方程迭代函數序列.（４）證明該序列的極限是積分方程的解．（５）證明惟一性．僅考慮上存在.詳細證明：(1)等價積分方程的解等價。初值問題與積分方程(1.2.3)（３）證明該迭代序列收斂．37（２）構造積分方程迭代函數序列.（４）證明該序列的極限是積分（2）構造Picard迭代數列這樣就得到一個連續函數列Picard迭代序列。它稱為38（2）構造Picard迭代數列這樣就得到一個連續函數（3)Picard序列的收斂性引理1.1對于一切續且滿足連.則證明:顯然對一切的都有有定義且上滿足:設在區間連續,39（3)Picard序列的收斂性引理1.1對于一切續證明：考慮函數項級數估計級數通項:于是的一致收斂性與級數的一致收斂性等價。引理1.2上一致收斂。函數列它的前項的部分和為:40證明：考慮函數項級數估計級數通項:于是的一致收斂性與級數的一其中第二個不等式由Lipschitz條件可以得到，設：對有41其中第二個不等式由Lipschitz條件可以得到，設：對有1于是，由數學歸納法得，對于所有自然數k，有級數在上一致收斂。因為正項級數收斂,由Weiestrass判別法知，設:由的連續性和一致收斂性可得:在上連續.42于是，由數學歸納法得，對于所有自然數k，有級數在上一致收斂。（4）Picard迭代數列的極限函數就是積分方程的連續解。引理1.3

是積分方程定義于上的連續解。

證明：由Lipschitz條件以及在上的一致收斂，得出函數序列在一致收斂于函數.上43（4）Picard迭代數列的極限函數就是積分方程的連續解。因而對取極限，得即這表明是積分方程的連續解。44因而對取極限，得即這表明是積分方程的連續解。17（5）解的惟一性證明：則引理1.4上的連續解，則必有是積分方程在設和令45（5）解的惟一性證明：則引理1.4上的連續解，則必有是4619注1:定理中的幾何意義:故取.注2:函數的連續性保證解的存在性,Lipschitz條件保證解的惟一性．注３:定理的結論只是在局部范圍內給出解的存在惟一性．可反復使用該定理，使解的范圍延拓到最大的區間．在解有可能跑到之外．47注1:定理中的幾何意義:故取.注2:函數的連續性保證解的存在的解證明：取在矩形區域：連續，且它關于y有連續的偏導數。例５證明初始值問題：計算48的解證明：取在矩形區域：連續，且它關于y有連續的偏導數。例５對等價的積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的內存在唯一。當然也在內存在唯一，解49對等價的積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的內內連續，且對有連續的偏導數．因任意．先取使最大．對于任意的正數函數在解：的解存在唯一的區間．例６討論初始值問題50內連續，且對有連續的偏導數．因任意．先取使最大．對于任意的正顯然使得