第Page\*MergeFormat14頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁數列通項公式的六種求法-2023屆高三數學數列的通項公式是高考必考內容，經常出現在選擇題、填空題或解答題第一問的位置，其重要性不言而喻。只要掌握了數列的基本公式，學會求數列通項公式的各種方法，并且具備一定的靈活地應用知識解決問題的能力，即可正確解答數列通項公式的題。下面我們學習數列的通項公式的六種常用的求法。一、公式法：即若已知等差數列、等比數列，則直接求通項公式。例題1：（2021全國卷2）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】解：（1）由等差數列的性質可得：，則：，設等差數列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，所以，所以，數列的通項公式為：.（2）由（1）得：，，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數，故的最小值為.例題2．（2020全國卷2）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.【答案】解：（1）設等比數列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，解得或，因為，所以，，數列的通項公式為：.（2）由（1）得：，故：.二、法，法：即根據前項和，前項積，利用公式，（注意此時分母不能為0），可求出數列的通項公式.例題1：（2014廣東卷文）設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，，（1）求的值；（2）求數列的通項公式。【答案】解：（1），，令，得，即，解得或，因為數列的各項均為正數，所以。（2），所以，因為數列的各項均為正數，所以。當時，，又符合上式，所以，。例題2：（2021全國乙卷理）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列；（2）求的通項公式．【答案】解：（1）由已知得,且，,取,由得，解得,由于為數列的前n項積，所以，，即，，所以,由于，所以，即,其中所以數列是以為首項，以為公差的等差數列。（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.例題3：已知數列的前項和，（1）求與的關系；（2）求通項公式。【答案】解：（1）由，得，兩式作差得，，即，所以；（2）對，當時，，即，解得，將兩邊同乘以，得，所以，又，所以數列是首項為2，公差為2的等差數列。所以，所以。例題4：（2015浙江高考）已知數列和滿足，，，（1）求與；（2）記數列的前項和為，求。【答案】解：（1）由，，得；由題意知，當時，，故，當時，，兩式作差得，，所以，又，所以是首項為1，公比為1的等比數列，所以，所以。（2）由（1）知，。記數列的前項和為，則①，②，①－②得，，所以。三、累加法、累乘法：例題1：（2008江西卷文）在數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在數列中，，故選A.例題2：已知數列滿足，(，)，則數列的通項（）A．B．C．D．【答案】A【分析】數列滿足，，整理得，，，，所有的項相乘得：，整理得：，故選：．四、將遞推數列轉化為等差數列的方法當已知數列不是等差數列，但通過合適的變形可以構造成一個等差數列時，則可以使用此方法構造等差數列來解題。例題1：在數列中，若，且，則通項公式【答案】【分析】由，可得，轉化為等差數列求解。例題2：數列滿足，，，（1）設，證明數列是等差數列；（2）求數列的通項公式。【答案】解：（1）由，得，即，又，所以數列是首項為，公差為的等差數列；（2），所以，所以，，，…，，所以，所以，所以。例題3：已知數列滿足，，（1）證明數列是等差數列，并求的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和。【答案】（1）證明：因為，所以，所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列。所以，所以；（2）解：，所以，，所以，所以。五、將遞推數列轉化為等比數列的方法（待定系數法）當已知數列不是等比數列，但通過合適的變形可以構造成一個等比數列，則往往構造等比數列來解題。例題1：已知數列滿足=1，=()，則數列的通項公式.【答案】=【分析】構造新數列，其中p為常數，使之成為公比是的系數2的等比數列，即=，整理得：=使之滿足=∴p=1，即是首項為=2，q=2的等比數列∴=，=.例題2：在數列中，已知，且，則通項公式【答案】【分析】令，則，又，所以，解得，所以，又，所以數列是首項為1，公比為4的等比數列，所以，所以。例題3：已知數列滿足，，則數列的通項公式【答案】【分析】將兩邊同除以，可得，，所以，由于，所以數列是首項為，公比為的等比數列。所以，所以。例題4：在正項數列中，，，，求數列的通項公式。【答案】解：兩邊同時取常用對數，得，即，又，所以數列是首項為1，公比為的等比數列，所以，所以，，，……，，所以，所以，所以.例題5：（2013高考真題）已知數列滿足，，（1）證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）證明：。【答案】證明：（1）由，得，又，所以數列是首項為，公比為的等比數列，則，所以；（2）由（1）知，，因為當時，，所以，所以，所以，所以。六、觀察法例題1：根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式：①1，eq\f(1,3)，eq\f(9,35)，eq\f(17,63)，eq\f(33,99)，…，.②，…，.【答案】①；②【分析】①將數列寫成：，，，，，②分析：這是一個與有關的數列，可將數列寫成