五

四邊形第22課時

平行四邊形五四邊形1課時目標1.掌握平行四邊形的概念，探索并證明平行四邊形的性質、判定定理，會運用平行四邊形的性質和判定定理進行有關的計算和證明．2.理解三角形中位線的概念及性質，并用它們去解決線段平行和長度的問題.課時目標2知識點1平行四邊形的概念及性質1.概念：兩組對邊分別________的四邊形叫做平行四邊形．2.性質：(1)對邊平行且_______ABCD，AD

BC(2)對角________∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC(3)鄰角互補∠DAB＋∠ABC＝180°，∠DAB＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠ADC＝180°(4)對角線互相_______AO＝CO，DO＝BO(平行四邊形的兩條對角線將平行四邊形分成四個面積相等的三角形，即S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD)(5)平行四邊形是中心對稱圖形，____________是它的對稱中心(6)面積：S＝底×高＝AB·DE[同底(等底)等高(同高)的平行四邊形面積相等]平行相等相等平分對角線交點知識點1平行四邊形的概念及性質(1)對邊平行且_____3知識點2平行四邊形的判定邊兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且________的四邊形是平行四邊形對角線對角線互相________的四邊形是平行四邊形知識點3中位線定義及性質1.三角形的中位線：

連接三角形___________的線段叫做三角形的中位線．2.三角形中位線的性質：

三角形的中位線____________三角形的第三條邊，且等于

_______________．平行相等相等平分兩邊中點平行于第三條邊的一半知識點2平行四邊形的判定邊兩組對邊分別________的四4考點一平行四邊形的性質例1(2019·遂寧中考)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OE⊥BD交

AD于點E，連接BE.若?ABCD的周長為28，則△ABE的周長為(

)A.28 B.24 C.21 D.14

例1圖∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵?ABCD的周長為28，∴AB＋AD＝14.∵OE⊥BD，OB＝OD，∴OE是BD的垂直平分線．∴BE＝ED.∴△ABE的周長為AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝AB＋AD＝14.故選D.[方法歸納]平行四邊形對邊相等、對角線互相平分，它們是解決與線段長度計算相關問題的重要工具．D考點一平行四邊形的性質∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴5例2(2019·淮安中考)如圖，在?ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點．求證：

BE＝DF.例2圖

[方法歸納]本題考查了平行四邊形的性質，平行四邊形的對邊相等、對角相等，為全等三角形的證明提供了必要的條件．本題還可以通過證四邊形BEDF為平行四邊形得到BE＝DF.例2(2019·淮安中考)如圖，在?ABCD中，E，F分別6考點二平行四邊形的性質與判定的綜合應用例3(2019·鎮江中考)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別在AD，BC上，

AE＝CF，過點A，C分別作EF的垂線，垂足為G，H.(1)求證：△AGE≌△CHF.(2)連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請說明理由．

例3圖[思路點撥](1)由垂線的性質得出∠AGE＝∠CHF＝90°，AG∥CH，由平行線的性質和對頂角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF.(2)如圖，連接AH，CG，由全等三角形的性質得出AG＝CH，證出四邊形AHCG是平行四邊形，即可得出結論．考點二平行四邊形的性質與判定的綜合應用7

[方法歸納]判定一個四邊形是否是平行四邊形有三種途徑：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．(2)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．(3)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

[方法歸納]判定一個四邊形是否是平行四邊形有三種途徑：(8

A

A9

[方法歸納](1)三角形的中位線體現了線段間的位置關系與數量關系，一般求角度時運用位置關系解題，求線段長度時運用數量關系解題；(2)當題目中涉及中點，就要想到三角形的中位線定理.

[方法歸納](1)三角形的中位線體現了線段間的位置關系101.(2019·柳州中考)如圖，在?ABCD中，全等三角形的對數共有(

)A.2對

B.3對

C.4對

D.5對

第1題2.(2018·寧波中考)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中

點，連接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，則∠1的度數為(

)A.50° B.40°C.30° D.20° 第2題3.(2019·河池中考)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在DE的

延長線上，添加一個條件使四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是

(

)A.∠B＝∠F B.∠B＝∠BCFC.AC＝CF D.AD＝CF 第3題CBB1.(2019·柳州中考)如圖，在?ABCD中，全等三角形11

B

1461

B

1461128.(2019·廣安中考)如圖，E是?ABCD的邊CD的中點，AE，BC的延長線交于點F，

CF＝3，CE＝2.求?ABCD的周長．第8題∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.又∵E是CD的中點，∴ED＝EC.∴△ADE≌△FCE.∴AD＝FC＝3，DE＝CE＝2.∴DC＝4.∴?ABCD的周長為2(AD＋DC)＝148.(2019·廣安中考)如圖，E是?ABCD的邊CD的中139.(2017·鎮江中考)如圖，點B，E分別在AC，DF上，AF分別交BD，CE于點M，

N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；(2)已知DE＝2，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．

第9題(1)∵∠A＝∠F，∴DE∥BC.∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2.∴DB∥EC.∴四邊形BCED是平行四邊形(2)∵四邊形BCED為平行四邊形，∴BC＝DE＝2.∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.∵DB∥EC，∴∠CNB＝∠DBN.∴∠CNB＝∠CBN.∴CN＝BC＝2

9.(2017·鎮江中考)如圖，點B，E分別在AC，DF上14

15第23課時矩形、菱形、正方形第23課時矩形、菱形、正方形16課時目標1.理解矩形、菱形、正方形與一般平行四邊形之間的共性、特性和從屬關系．2.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理及它們的判定定理，會利用這些性質定理與判定定理進行計算與推理.課時目標17知識點1矩形的性質和判定矩形定義有一個角是直角的平行四邊形叫矩形性質(1)邊：對邊平行且相等，即

(2)角：四個角都是____________，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(3)對角線：對角線_________________，即AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD；(4)對稱性：既是________對稱圖形，又是________對稱圖形，有________條對稱軸判定(1)有一個角是________的平行四邊形是矩形(定義)；(2)有________是直角的四邊形是矩形；(3)對角線________的平行四邊形是矩形周長、面積計算C＝2(a＋b)，S＝ab(a，b分別為矩形的長和寬)直角相等且互相平分中心軸2直角三個角相等知識點1矩形的性質和判定矩形定義有一個角是直角的平行四18知識點2菱形的性質和判定菱形定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形性質(1)邊：四條邊都________，即AB＝BC＝CD＝AD；對邊平行：AB∥CD，AD∥BC；(2)角：對角相等，即∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC；(3)對角線：對角線____________________，并且每一條對角線平分________，即AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，AC平分∠DAB與∠BCD，BD平分∠ABC與∠ADC；(4)對稱性：既是________對稱圖形，又是________對稱圖形，有________條對稱軸相等互相垂直且平分一組對角中心軸2知識點2菱形的性質和判定菱形定義有一組鄰邊相等的平行四19菱形判定(1)有一組鄰邊________的平行四邊形是菱形(定義)；(2)四條邊都________的四邊形是菱形；(3)對角線___________的平行四邊形是菱形周長、面積計算

相等相等互相垂直菱形判定(1)有一組鄰邊________的平行四邊形是20知識點3正方形的性質和判定正方形定義有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形叫正方形性質(1)邊：四條邊都________，即AB＝BC＝CD＝AD；對邊平行：AB∥CD，AD∥BC；(2)角：四個角都是________，即∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°；(3)對角線：對角線互相垂直平分且________，每一條對角線都平分____________(對角線與邊的夾角為45°)，即AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝45°，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°；(4)對稱性：既是________對稱圖形，又是________對稱圖形，有________條對稱軸相等直角相等一組對角中心軸4知識點3正方形的性質和判定正方形定義有一組鄰邊相等且一個21正方形判定(1)有一個角是________，一組鄰邊________的平行四邊形是正方形(定義)；(2)一組鄰邊________的矩形是正方形；(3)一個角是________的菱形是正方形；(4)對角線_________________的平行四邊形是正方形；(5)對角線____________________的四邊形是正方形周長、面積計算知識點4平行四邊形、矩形、菱形、正方形四者之間的關系直角相等相等直角相等且互相垂直相等且互相垂直平分正方形判定(1)有一個角是________，一組鄰邊__22

連接CE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC.∵EF⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE.設DE＝x，則CE＝AE＝8－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得x2＋62＝(8－x)2，解得x＝，即DE＝.故選B.[方法歸納]本題以矩形為載體，考查了勾股定理與線段垂直平分線的性質，矩形的直角與對角線互相平分為利用勾股定理構造方程打下基礎．B例1圖

連接CE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，23例2

(2019·南京玄武區一模)如圖，在ABCD中，E，F為邊BC上兩點，BF＝CE，

AE＝DF.求證：(1)△ABE≌△DCF；(2)四邊形ABCD是矩形．例2圖[思路點撥](1)根據平行四邊形的性質得到AB＝DC.根據題中條件及全等三角形的判定定理即可得到結論．(2)根據全等三角形的性質得到∠B＝∠C.根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，繼而根據∠B＋∠C＝180°，求出∠B的度數．根據矩形的判定定理即可得到結論．例2(2019·南京玄武區一模)如圖，在ABCD中，E24(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.∵BF＝CE，∴BF－EF＝CE－EF，即BE＝CF.在△ABE和△DCF中，AB=DC,AE=DF,BE=CF∴△ABE≌△DCF.(2)∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠B＋∠C＝180°.∴∠B＝∠C＝90°.∴四邊形ABCD是矩形．[方法歸納]在證明一個四邊形是矩形時，若題設與這個四邊形的對角線有關，通常先證明這個四邊形是平行四邊形，再證明其對角線相等；若題設與角度有關，通常考慮用矩形的定義或者依據“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明．若容易證出有三個直角，則用后者證明；若容易證出有一個直角，則可根據矩形的定義證明．(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.∵25

[方法歸納]利用菱形的性質可證得線段相等、角相等、對角線互相垂直平分，從而可借助勾股定理解決與線段長度有關的問題．另外菱形的面積等于對角線乘積的一半，這些均是解題的重要工具，應牢記．C

[方法歸納]利用菱形的性質可證得線段相等、角相等、對角26

27

[方法歸納]菱形的證明是四邊形證明中的難點，它的證明思路有三種：一是先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等；二是先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直；三是證明四條邊都相等．解題時要靈活選用判定方法進行證明．

[方法歸納]菱形的證明是四邊形證明中的難點，它的證明思路28考點三正方形的性質和判定例5(2019·菏澤中考)如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，

AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是________．

例5圖[思路點撥]如圖，連接BD交AC于點O，則可證得OE＝OF，OD＝OB，可證四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，從而證得四邊形BEDF為菱形，再根據勾股定理計算DE的長，可得結論．

[方法歸納]由正方形可知與邊、角、對角線有關的結論，再結合勾股定理即可解決問題．

考點三正方形的性質和判定

[方法歸納]由正方形可知與邊、29例6(2018·舟山中考)如圖，等邊三角形AEF的頂點E，F在矩形ABCD的邊BC，CD

上，且∠CEF＝45°.求證：矩形ABCD是正方形．

例6圖[思路點撥]先判斷出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，再求出∠AFD＝∠AEB＝75°，進而判斷出△AFD≌△AEB，最后根據鄰邊相等的矩形是正方形得出結論．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.又∵∠D＝∠B，AF＝AE，∴△AFD≌△AEB.∴AD＝AB.∴矩形ABCD是正方形．

[方法歸納]要判定一個四邊形是正方形，可以從三個方面考慮：一是有一個角是直角的菱形是正方形；二是有一組鄰邊相等的矩形是正方形；三是對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.例6(2018·舟山中考)如圖，等邊三角形AEF的頂點E，301.(2019·無錫中考)下列結論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質是(

)A.內角和為360°B.對角線互相平分C.對角線相等

D.對角線互相垂直2.(2019·永州中考)如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且O是BD的中

點．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，則四邊形ABCD的面積為(

)A.40 B.24C.20 D.15

3.(2019·鄂爾多斯中考)如圖，在正方形ABCD的外側作等邊三角形ABE，則

∠BED的度數為(

)A.15° B.35°C.45° D.55°CBC1.(2019·無錫中考)下列結論中，矩形具有而菱形不一定314.(2019·徐州中考)如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，M，N分別為BC，

OC的中點．若MN＝4，則AC的長為________．5.(2019·廣西中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作

AH⊥BC于點H.若BO＝4，S菱形ABCD＝24，則AH＝________．6.(2019·蘇州中考)“七巧板”是我們祖先的一項卓越創造，可以拼出許多

有趣的圖形，被譽為“東方魔板”．圖①是由邊長為10cm的正方形薄板分

為7塊制作成的“七巧板”，圖②是用該“七巧板”拼成的一個“家”的圖

形．該“七巧板”中7塊圖形之一的正方形的邊長為________cm(結果保留

根號)．16

4.(2019·徐州中考)如圖，在矩形ABCD中，AC，B327.(2019·云南中考)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝

OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度數．

第7題(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠AOB＝∠OAD＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠OAD＝∠ADO.∴AO＝DO.∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠ABO＝∠ODC.∵∠AOB∶∠ODC＝4∶3，∴∠AOB∶∠ABO＝4∶3.∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO＝3∶4∶3.∴易得∠ABO＝54°.∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°－54°＝36°7.(2019·云南中考)如圖，在四邊形ABCD中，對角線338.(2018·揚州一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，

BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF.(1)求證：△AEH≌△CGF；(2)若EG平分∠HEF，求證：四邊形EFGH是菱形．

第8題

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C.在△AEH和△CGF中，AE=CG,∠A=∠C,AH=CF

∴△AEH≌△CGF

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH.∴△BEF≌△DGH.∴EF＝GH.∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF.∴四邊形EFGH為平行四邊形．∴EH∥FG.∴∠HEG＝∠FGE.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG.∴∠FGE＝∠FEG.∴GF＝EF.∴四邊形EFGH是菱形8.(2018·揚州一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，點349.(2019·南京溧水區二模)如圖，在平行四邊形ABCD中，AF是∠BAD的平分線，交BC

于點F，與DC的延長線交于點N，CE是∠BCD的平分線，交AD于點E，與BA的延長線交

于點M.

(1)試判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由；(2)連接BE交AF于點O，連接EF，若BE⊥ME，求證：四邊形ABFE是菱形．9.(2019·南京溧水區二模)如圖，在平行四邊形ABCD35

3610.(2019·揚州邗江區一模)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一點，AD＝AE，

∠BAC＝∠DAE.(1)若ED平分∠AEC，求證：CE∥AD；(2)若∠BAC＝90°，D為BC的中點，試判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由．(1)∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵ED平分∠AEC，∴∠DEC＝∠AED.∴∠ADE＝∠DEC.∴CE∥AD(2)四邊形ADCE是正方形理由：∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.又∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠DAE＝180°.∴AE∥CD.∵∠BAC＝90°，D為BC的中點，∴AD＝CD＝2(1)BC.又∵AD＝AE，∴AE＝CD.∴四邊形ADCE是平行四邊形．又∵∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．又∵AD＝CD，∴四邊形ADCE是正方形．10.(2019·揚州邗江區一模)如圖，在△ABC中，AB37五

四邊形第22課時

平行四邊形五四邊形38課時目標1.掌握平行四邊形的概念，探索并證明平行四邊形的性質、判定定理，會運用平行四邊形的性質和判定定理進行有關的計算和證明．2.理解三角形中位線的概念及性質，并用它們去解決線段平行和長度的問題.課時目標39知識點1平行四邊形的概念及性質1.概念：兩組對邊分別________的四邊形叫做平行四邊形．2.性質：(1)對邊平行且_______ABCD，AD

BC(2)對角________∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC(3)鄰角互補∠DAB＋∠ABC＝180°，∠DAB＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠ADC＝180°(4)對角線互相_______AO＝CO，DO＝BO(平行四邊形的兩條對角線將平行四邊形分成四個面積相等的三角形，即S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD)(5)平行四邊形是中心對稱圖形，____________是它的對稱中心(6)面積：S＝底×高＝AB·DE[同底(等底)等高(同高)的平行四邊形面積相等]平行相等相等平分對角線交點知識點1平行四邊形的概念及性質(1)對邊平行且_____40知識點2平行四邊形的判定邊兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別________的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且________的四邊形是平行四邊形對角線對角線互相________的四邊形是平行四邊形知識點3中位線定義及性質1.三角形的中位線：

連接三角形___________的線段叫做三角形的中位線．2.三角形中位線的性質：

三角形的中位線____________三角形的第三條邊，且等于

_______________．平行相等相等平分兩邊中點平行于第三條邊的一半知識點2平行四邊形的判定邊兩組對邊分別________的四41考點一平行四邊形的性質例1(2019·遂寧中考)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OE⊥BD交

AD于點E，連接BE.若?ABCD的周長為28，則△ABE的周長為(

)A.28 B.24 C.21 D.14

例1圖∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵?ABCD的周長為28，∴AB＋AD＝14.∵OE⊥BD，OB＝OD，∴OE是BD的垂直平分線．∴BE＝ED.∴△ABE的周長為AB＋BE＋AE＝AB＋ED＋AE＝AB＋AD＝14.故選D.[方法歸納]平行四邊形對邊相等、對角線互相平分，它們是解決與線段長度計算相關問題的重要工具．D考點一平行四邊形的性質∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴42例2(2019·淮安中考)如圖，在?ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點．求證：

BE＝DF.例2圖

[方法歸納]本題考查了平行四邊形的性質，平行四邊形的對邊相等、對角相等，為全等三角形的證明提供了必要的條件．本題還可以通過證四邊形BEDF為平行四邊形得到BE＝DF.例2(2019·淮安中考)如圖，在?ABCD中，E，F分別43考點二平行四邊形的性質與判定的綜合應用例3(2019·鎮江中考)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別在AD，BC上，

AE＝CF，過點A，C分別作EF的垂線，垂足為G，H.(1)求證：△AGE≌△CHF.(2)連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請說明理由．

例3圖[思路點撥](1)由垂線的性質得出∠AGE＝∠CHF＝90°，AG∥CH，由平行線的性質和對頂角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF.(2)如圖，連接AH，CG，由全等三角形的性質得出AG＝CH，證出四邊形AHCG是平行四邊形，即可得出結論．考點二平行四邊形的性質與判定的綜合應用44

[方法歸納]判定一個四邊形是否是平行四邊形有三種途徑：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．(2)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．(3)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

[方法歸納]判定一個四邊形是否是平行四邊形有三種途徑：(45

A

A46

[方法歸納](1)三角形的中位線體現了線段間的位置關系與數量關系，一般求角度時運用位置關系解題，求線段長度時運用數量關系解題；(2)當題目中涉及中點，就要想到三角形的中位線定理.

[方法歸納](1)三角形的中位線體現了線段間的位置關系471.(2019·柳州中考)如圖，在?ABCD中，全等三角形的對數共有(

)A.2對

B.3對

C.4對

D.5對

第1題2.(2018·寧波中考)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中

點，連接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，則∠1的度數為(

)A.50° B.40°C.30° D.20° 第2題3.(2019·河池中考)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在DE的

延長線上，添加一個條件使四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是

(

)A.∠B＝∠F B.∠B＝∠BCFC.AC＝CF D.AD＝CF 第3題CBB1.(2019·柳州中考)如圖，在?ABCD中，全等三角形48

B

1461

B

1461498.(2019·廣安中考)如圖，E是?ABCD的邊CD的中點，AE，BC的延長線交于點F，

CF＝3，CE＝2.求?ABCD的周長．第8題∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.又∵E是CD的中點，∴ED＝EC.∴△ADE≌△FCE.∴AD＝FC＝3，DE＝CE＝2.∴DC＝4.∴?ABCD的周長為2(AD＋DC)＝148.(2019·廣安中考)如圖，E是?ABCD的邊CD的中509.(2017·鎮江中考)如圖，點B，E分別在AC，DF上，AF分別交BD，CE于點M，

N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；(2)已知DE＝2，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．

第9題(1)∵∠A＝∠F，∴DE∥BC.∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2.∴DB∥EC.∴四邊形BCED是平行四邊形(2)∵四邊形BCED為平行四邊形，∴BC＝DE＝2.∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.∵DB∥EC，∴∠CNB＝∠DBN.∴∠CNB＝∠CBN.∴CN＝BC＝2

9.(2017·鎮江中考)如圖，點B，E分別在AC，DF上51

52第23課時矩形、菱形、正方形第23課時矩形、菱形、正方形53課時目標1.理解矩形、菱形、正方形與一般平行四邊形之間的共性、特性和從屬關系．2.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理及它們的判定定理，會利用這些性質定理與判定定理進行計算與推理.課時目標54知識點1矩形的性質和判定矩形定義有一個角是直角的平行四邊形叫矩形性質(1)邊：對邊平行且相等，即

(2)角：四個角都是____________，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(3)對角線：對角線_________________，即AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD；(4)對稱性：既是________對稱圖形，又是________對稱圖形，有________條對稱軸判定(1)有一個角是________的平行四邊形是矩形(定義)；(2)有________是直角的四邊形是矩形；(3)對角線________的平行四邊形是矩形周長、面積計算C＝2(a＋b)，S＝ab(a，b分別為矩形的長和寬)直角相等且互相平分中心軸2直角三個角相等知識點1矩形的性質和判定矩形定義有一個角是直角的平行四55知識點2菱形的性質和判定菱形定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形性質(1)邊：四條邊都________，即AB＝BC＝CD＝AD；對邊平行：AB∥CD，AD∥BC；(2)角：對角相等，即∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC；(3)對角線：對角線____________________，并且每一條對角線平分________，即AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，AC平分∠DAB與∠BCD，BD平分∠ABC與∠ADC；(4)對稱性：既是________對稱圖形，又是________對稱圖形，有________條對稱軸相等互相垂直且平分一組對角中心軸2知識點2菱形的性質和判定菱形定義有一組鄰邊相等的平行四56菱形判定(1)有一組鄰邊________的平行四邊形是菱形(定義)；(2)四條邊都________的四邊形是菱形；(3)對角線___________的平行四邊形是菱形周長、面積計算

相等相等互相垂直菱形判定(1)有一組鄰邊________的平行四邊形是57知識點3正方形的性質和判定正方形定義有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形叫正方形性質(1)邊：四條邊都________，即AB＝BC＝CD＝AD；對邊平行：AB∥CD，AD∥BC；(2)角：四個角都是________，即∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°；(3)對角線：對角線互相垂直平分且________，每一條對角線都平分____________(對角線與邊的夾角為45°)，即AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝45°，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°；(4)對稱性：既是________對稱圖形，又是________對稱圖形，有________條對稱軸相等直角相等一組對角中心軸4知識點3正方形的性質和判定正方形定義有一組鄰邊相等且一個58正方形判定(1)有一個角是________，一組鄰邊________的平行四邊形是正方形(定義)；(2)一組鄰邊________的矩形是正方形；(3)一個角是________的菱形是正方形；(4)對角線_________________的平行四邊形是正方形；(5)對角線____________________的四邊形是正方形周長、面積計算知識點4平行四邊形、矩形、菱形、正方形四者之間的關系直角相等相等直角相等且互相垂直相等且互相垂直平分正方形判定(1)有一個角是________，一組鄰邊__59

連接CE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC.∵EF⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE.設DE＝x，則CE＝AE＝8－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得x2＋62＝(8－x)2，解得x＝，即DE＝.故選B.[方法歸納]本題以矩形為載體，考查了勾股定理與線段垂直平分線的性質，矩形的直角與對角線互相平分為利用勾股定理構造方程打下基礎．B例1圖

連接CE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，60例2

(2019·南京玄武區一模)如圖，在ABCD中，E，F為邊BC上兩點，BF＝CE，

AE＝DF.求證：(1)△ABE≌△DCF；(2)四邊形ABCD是矩形．例2圖[思路點撥](1)根據平行四邊形的性質得到AB＝DC.根據題中條件及全等三角形的判定定理即可得到結論．(2)根據全等三角形的性質得到∠B＝∠C.根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，繼而根據∠B＋∠C＝180°，求出∠B的度數．根據矩形的判定定理即可得到結論．例2(2019·南京玄武區一模)如圖，在ABCD中，E61(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.∵BF＝CE，∴BF－EF＝CE－EF，即BE＝CF.在△ABE和△DCF中，AB=DC,AE=DF,BE=CF∴△ABE≌△DCF.(2)∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠B＋∠C＝180°.∴∠B＝∠C＝90°.∴四邊形ABCD是矩形．[方法歸納]在證明一個四邊形是矩形時，若題設與這個四邊形的對角線有關，通常先證明這個四邊形是平行四邊形，再證明其對角線相等；若題設與角度有關，通常考慮用矩形的定義或者依據“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明．若容易證出有三個直角，則用后者證明；若容易證出有一個直角，則可根據矩形的定義證明．(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.∵62

[方法歸納]利用菱形的性質可證得線段相等、角相等、對角線互相垂直平分，從而可借助勾股定理解決與線段長度有關的問題．另外菱形的面積等于對角線乘積的一半，這些均是解題的重要工具，應牢記．C

[方法歸納]利用菱形的性質可證得線段相等、角相等、對角63

64

[方法歸納]菱形的證明是四邊形證明中的難點，它的證明思路有三種：一是先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等；二是先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直；三是證明四條邊都相等．解題時要靈活選用判定方法進行證明．

[方法歸納]菱形的證明是四邊形證明中的難點，它的證明思路65考點三正方形的性質和判定例5(2019·菏澤中考)如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，

AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是________．

例5圖[思路點撥]如圖，連接BD交AC于點O，則可證得OE＝OF，OD＝OB，可證四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，從而證得四邊形BEDF為菱形，再根據勾股定理計算DE的長，可得結論．

[方法歸納]由正方形可知與邊、角、對角線有關的結論，再結合勾股定理即可解決問題．

考點三正方形的性質和判定

[方法歸納]由正方形可知與邊、66例6(2018·舟山中考)如圖，等邊三角形AEF的頂點E，F在矩形ABCD的邊BC，CD

上，且∠CEF＝45°.求證：矩形ABCD是正方形．

例6圖[思路點撥]先判斷出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，再求出∠AFD＝∠AEB＝75°，進而判斷出△AFD≌△AEB，最后根據鄰邊相等的矩形是正方形得出結論．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.又∵∠D＝∠B，AF＝AE，∴△AFD≌△AEB.∴AD＝AB.∴矩形ABCD是正方形．

[方法歸納]要判定一個四邊形是正方形，可以從三個方面考慮：一是有一個角是直角的菱形是正方形；二是有一組鄰邊相等的矩形是正方形；三是對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.例6(2018·舟山中考)如圖，等邊三角形AEF的頂點E，671.(2019·無錫中考)下列結論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質是(

)A.內角和為360°B.對角線互相平分C.對角線相等

D.對角線互相垂直2.(2019·永州中考)如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且O是BD的中

點．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，則四邊形ABCD的面積為(

)A.40 B.24C.20 D.15

3.(2019·鄂爾多斯中考)如圖，在正方形ABCD的外側作等邊三角形ABE，則

∠BED的度數為(

)A.15° B.35°C.45° D.55°CBC1.(2019·無錫中考)下列結論中，矩形具有而菱形不一定684.(2019·徐州中考)如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，M，N分別為BC，

OC的中點．若MN＝4，則AC的長為________．5.(2019·廣西中考)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作

AH⊥BC于點H.若BO＝4，S菱形ABCD＝24，則AH＝________．6.(2019·蘇