【大學課件】浙大數字信號處理課件第二章離散時間信號與系統第二章離散時間信號與系統2.0引言2.1離散時間序號：序列2.2離散時間系統2.3線性時不變系統2.4線性時不變系統的性質2.5線性常系數差分方程

2.6離散時間信號與系統的頻域表示2.7用傅立葉變換表示序列

2.8傅立葉變換的對稱性質2.9傅立葉變換定理2.10離散時間隨機信號（介紹）第二章離散時間信號與系統2.1離散時間信號：序列連續時間信號：xa(t)離散時間信號：x[n]=xa(nT),-∞<n<∞

其中，T是采樣周期，f=1/T為采樣頻率。注：實際上，離散時間信號未必一定由連續時間信號采樣得到，但是習慣上，將序列值之間的時間間隔都稱為采樣周期。同樣的，采樣周期未必一定是不變的（相同的）周期，但是在課程中，我們一般只考慮恒定的采樣周期。對于離散時間信號x[n]而言，n是整數，而且是一個無量綱量，與具體的采樣周期無關。x[n]在n不為整數時沒有定義。連續時間信號、離散時間信號、數字信號數字信號量化表：{-1–0.500.51}t(s)nn2.1.1基本序列和序列運算

序列的基本運算加法運算：z[n]=x[n]+y[n]={…,x[-1]+y[-1],x[0]+y[0],x[1]+y[1],…},-∞<n<∞

乘法運算x[n]*y[n]={…,x[-1]*y[-1],x[0]*y[0],x[1]*y[1],…},-∞<n<∞點乘運算a=5a*x[n]={…ax[-1],ax[0],ax[1],…},-∞<n<∞移位運算n0=-5n0=5y[n]=x[n-n0],-∞<n<∞

基本序列單位樣本序列（單位脈沖信號）δ[n]=

任何序列均可表示為單位脈沖信號的線性組合：例如：p[n]=a-3δ[n+3]+a1δ[n-1]+a2δ[n-2]+a7δ[n-7]單位階躍信號單位階躍信號可表示為單位脈沖信號的組合：或者同樣單位脈沖信號也可以表示為單位階躍序列的一階后向差分：δ[n]=u[n]-u[n-1]實指數序列x[n]=Aαn

A=1正弦序列x[n]=Acos(ω0n+φ),foralln復指數序列如果x[n]=Aαn

中，則序列x[n]=Aαn

可表示為：x[n]=Aαn=|A|ejφ|α|nejw0n=|A||α|ne(jw0n+φ)

=|A||α|ncos(ω0n+φ)+j|A||α|nsin(ω0n+φ)

A=1,a=0.9,ω0=π/2當|a|=1時，該序列稱為復指數序列，且有x[n]=|A|ej(ω0n+φ)=|A|cos(ω0n+φ)+j|A|sin(ω0n+φ)其中，A稱為幅值，ω0稱為復正弦和復指數的頻率，φ稱作相位。復指數序列的一個極其重要的特征：對于頻率ω0

而言，復指數序列是以2π為周期的序列這一性質是由于n是整數產生的，因而在復指數序列中，一般只需要考慮一個2π周期。而對于n而言，復指數序列未必是周期序列如果離散正弦序列為周期N的周期序列，即：Acos(ω0n+φ)=Acos(ω0n+ω0N+φ),則必須滿足條件：ω0N=2πk

例ω0＝π/4,N=8ω0＝1,N=∞cosω0n隨ω0的變化趨勢復指數序列的高頻與低頻對于連續復指數時間信號而言，從低頻到高頻是一個連續單調遞增的過程ω0

0π

2π

3π

4π

低頻高頻ω0

0π

2π

3π

4π

低頻低頻低頻低頻高頻高頻高頻高頻對于離散復指數序列而言，高頻和低頻是一個以2π

為周期的交替出現過程2.2離散時間系統

算子T{·}表示將輸入序列x[n]映射為單一輸出序列y[n]的變換T{·}y[n]x[n]2.2.1無記憶系統2.2.2線性系統

2.2.3時不變系統

2.2.4因果性2.2.5穩定性

如果在每一個n值上的輸出y[n]只決定于同一n值的輸入x[n]，則該系統是無記憶的。例1：一個無記憶系統y[n]=(x[n])2foralln例2：一個有記憶系統y[n]=(x[n-1])2foralln2.2.1無記憶系統2.2.2線性系統如果y1[n]=T{x1[n]}，y2[n]=T{x2[n]},那么當且僅當下式滿足時，該系統是線性的：可加性：T{x1[n]+x2[n]}=T{x1[n]}+T{x2[n]}=y1[n]+y2[n] 齊次性：T{ax[n]}=aT{x[n]}=ay[n]或將兩個性質合寫為：T{ax1[n]+bx2[n]}=aT{x1[n]}+bT{x2[n]}例1：y[n]=x[n-1]對于輸入ax1[n]+bx2[n]，有T{ax1[n]+bx2[n]}=ax1[n-1]+bx2[n-1]=aT{x1[n]}+b{x2[n]}所以，該系統為線性系統例2：y[n]=(x[n])2對于輸入ax1[n]+bx2[n]，有T{ax1[n]+bx2[n]}＝a2(x1[n])2+b2(x2[n])2+2abx1[n]x2[n]aT{x1[n]}+b{x2[n]}＝a(x1[n])2+b(x2[n])2顯然T{ax1[n]+bx2[n]}≠aT{x1[n]}+b{x2[n]}所以該系統是非線性的例題2.2.3時不變系統時不變系統是這樣一種系統：輸入序列的移位將引起輸出序列相應的移位。也就是說，如果T{x[n]}=y[n]，那么T{x[n-n0]}=y[n-n0]foralln0例1要證明一個系統是時不變的，必須解出T{x[n-n0]}和y[n-n0]，看兩者是否相等。首先，且有，可見，T{x[n-n0]}=y[n-n0]，所以該系統為時不變系統。例題例2首先，且有，可見，T{x[n-n0]}≠y[n-n0]，所以該系統為時變系統。2.2.4因果性如果對每一個選取的n0，輸出序列在n=n0的值僅僅取決于輸入序列在n≤n0的值，則該系統就是因果的。也就是說，該序列是不可預知的。例1前向差分系統：y[n]=x[n+1]-x[n]

其輸出的當前值與輸入的一個將來值有關，所以這個系統是非因果的。例2后向差分系統：y[n]=x[n]-x[n-1]

其輸出的值只與當前和之前的值有關，所以這個系統是因果的注意因果性和無記憶性的差別。2.2.5穩定性當且僅當每一個有界輸入序列都產生一個有界的輸出序列時，則稱該系統在有界輸入有界輸出（BIBO,Bounded-Input-Bounded-Output）意義下穩定。也就是說，如果存在某個固定的有限正數Bx，使得

|x[n]|≤Bx<∞

，foralln則稱輸入x[n]有界。如果在輸入x[n]有界條件下，存在固定的有限正數By，使得：

|y[n]|≤By<∞

，foralln則稱系統穩定。2.3線性時不變系統（LTI，LinearTime-Invariant）本課程的理論，基本上都是在線性時不變系統的條件上推導產生。線性時不變的條件下，推導出一個重要的理論：線性時不變系統的輸出，可以表示為輸入序列與系統單位脈沖響應的卷積。由于任何序列均可表示為單位脈沖信號的線性組合：那么輸出就可以表示為：由于線性系統的性質，則有：其中hk[n]是系統對發生在n=k的單位脈沖序列δ[n-k]的響應，稱為單位脈沖響應。卷積和hk[n]是系統對發生在n=k的單位脈沖序列δ[n-k]的響應，如果系統具有時不變性，也就是說，如果h[n]是系統對δ[n]的響應，那么系統對δ[n-k]的響應就是h[n-k]。則后者就稱為卷積和，一般可表示為：y[n]=x[n]*h[n]卷積和的過程x[n]x-2[n]=x[-2]δ[n+2]x0[n]=x[0]δ[n]x3[n]=x[3]δ[n-3]x

[n]=x-2[n]+x0[n]+x3[n]

y[n]y-2[n]=x[-2]h[n+2]y0[n]=x[0]h[n]y3[n]=y[3]h[n-3]y[n]=y-2[n]+y0[n]+y3[n]

2.4線性時不變系統的性質結合律對于任何可卷積信號x[n]，v[n]和w[n] x[n]*(v[n]*w[n])=(x[n]*v[n])*w[n]交換律卷積過程x[n]*v[n]是可交換的，即：

x[n]*v[n]=v[n])*x[n]加法分配律對于任何可卷積信號x[n]，v[n]和w[n] x[n]*(v[n]+w[n])=x[n]*v[n]+x[n]*w[n]平移性給定兩個可卷積信號x[n]，v[n]和整數q，且w[n]=x[n]*v[n] w[n-q]=x[n-q]*v[n]=x[n]*v[n-q]首先，介紹卷積的一些基本性質：卷積和的性質（續）與單位脈沖的卷積對于任何可卷積信號x[n] x[n]*δ[n]=x[n]所以，單位脈沖信號又叫做卷積運算的恒元。與平移單位脈沖的卷積對于任何可卷積信號x[n]和整數q x[n]*δ[n-q]=x[n-q]由于所有的線性時不變系統都是由卷積和來描述的，所以上述的卷積和性質也就適用于線性時不變系統。系統聯接h1[n]h2[n]x[n]y[n]h1[n]*h2[n]x[n]y[n]串聯聯接并聯聯接h1[n]+h2[n]x[n]y[n]h1[n]h2[n]+y[n]x[n]因果序列對線性時不變系統而言，因果性意味著：當n<0時，h[n]=0相應地，當n<0時其值為零的序列成為因果序列，因果序列可以作為因果系統的單位脈沖響應。非因果系統因果系統IIR系統和FIR系統無限脈沖響應（IIR,InfiniteImpulseReponse）有限脈沖響應（FIR,FiniteImpulseReponse）幾種常見系統的單位脈沖響應h[n]=δ[n-nd],ndapositivefixedinteger理想延遲滑動平均累加器前向差分h[n]=δ[n+1]-δ[n]后向差分h[n]=δ[n]-δ[n-1]逆系統累加器系統后向差分系統x[n]x[n]y[n]由于有：h[n]=u[n]*(δ[n]-δ[n-1]) =u[n]-u[n-1] =δ[n]后向差分系統完全補償了累加器的效果，累加器與后向差分系統的級聯構成了一個恒等系統。則稱后向差分系統與累加器互為逆系統。一般地所，如果一個線性時不變系統地單位脈沖響應為h[n]，則與其逆系統（如果存在）hi[n]應滿足如下關系：

h[n]*hi[n]=hi[n]*h[n]=δ[n]2.5線性常系數差分方程對于線性時不變系統，除了y[n]=T{x[n]}這一種通用表示形式之外，通常還可以用N階差分方程作另一種表述：兩種表述方式之間，可以由遞推來轉換。這是與連續時間系統的定常微分方程表示對應的：由于通常可將dy(t)/dt近似表示為前向差分形式：則微分方程可表示為：

(1+a)y[n]-y[n-1]=bx[n]例：累加器的差分方程表示對于一個累加器系統，有：而兩式相減，得到：y[n]-y[n-1]=x[n]對照差分方程的標準形式：可知此時有：N=1,a0=1,a1=-1,M=0,b0=1差分方程形式便于給出實現該系統的框圖。＋單個樣本延遲x[n]y[n-1]y[n]2.6離散時間信號與系統的頻域表示線性時不變系統的兩個重要性質：?復指數序列是線性時不變系統的特征函數?線性時不變系統對正弦輸入的響應還是正弦的，且具有相同的頻率，其幅度和相位則由系統決定。2.6.1線性時不變系統的特征函數考慮一復指數輸入序列，系統單位脈沖為h[n]則輸出：定義：稱H(ejω

)為系統的頻率響應則輸出可表示為：y[n]=H(ejω)ejωn

注意，上式為傅立葉變換的形式。頻率響應特征函數由于相當廣泛的一類信號（滿足傅立葉變換條件）可以表示為特征函數的線性組合：注意，上式為傅立葉反變換的形式，其中ak為傅立葉系數。例：理想延遲系統的頻率響應對于理想延遲系統：y[n]=x[n-nd]，求其頻率響應。方法一：以特征函數x[n]=ejωn

作為系統輸入，有：則其頻率響應為：方法二：由理想延遲系統的單位脈沖響應：h[n]=δ[n-nd]以及頻率響應的定義：離散時間系統頻率響應的一個重要特點離散時間系統的頻率響應總是頻率ω

的周期函數，且周期為2π更為一般地，H(ej(ω+2πr))=H(ejω), forraninteger因此，對于離散時間系統，一般研究0≤

ω<2π，或者-π≤

ω<π之間的頻率響應就可以了。ω0

－π

0π

2π

低頻低頻低頻低頻高頻高頻高頻高頻與復指數序列的高低頻概念一致，對于離散時間系統而言，高頻和低頻也是一個以2π

為周期的交替出現的過程－2π低頻低頻理想頻率選擇性濾波器理想低通濾波器IdealLowpassFilter理想高通濾波器IdealHighpassFilter理想帶阻濾波器IdealBandstopFilter理想帶通濾波器IdealBandpassFilter-ππωc-ωcHLP(ejω)-ππωc-ωcHHP(ejω)-ππωbωaHBS(ejω)-ωa-ωb-ππωbωaHBP(ejω)-ωa-ωb2.7用傅立葉變換表示序列傅立葉反變換傅立葉變換序列的傅立葉表示傅立葉變換也稱傅立葉頻譜，或簡稱頻譜。注意傅立葉反變換（傅立葉積分）的意義：是將任意（存在傅立葉變換）的序列x[n]分解為無限項不同頻率特征函數的疊加。也即每一分量為：其中，X(ejω)實際上是每一個特征函數分量的系數。也就是說，所謂的傅立葉變換，就是求解傅立葉系數的過程。將傅立葉系數按照對應的頻率畫成圖，就是所謂的頻譜圖。換而言之，由于是無限項求和，所以即使像矩形波這樣的信號，也可以用無限平滑的正弦波函數的線性組合來無限逼近。矩形脈沖序列的傅立葉頻譜對于如下矩形波序列：……求得傅立葉變換結果：*π其中：Gibbs現象將周期為2的矩形波，展開為傅立葉級數的形式：當N->∞

時，xN(t)應趨近于x(t)。產生xN(t)的matlab程序如下：t=-3:6/1000:3;N=input('Numberofharmonics');c0=0.5;w0=pi;xN=c0*ones(1,length(t))fork=1:2:Ntheta=((-1)^((k-1)/2)-1)*pi/2;xN=xN+2/k/pi*cos(k*w0*t+theta);endplot(t,xN);xlabel('t');取N=3，即結果如右圖。Gibbs現象（續）N=5N=15N=9N=41Gibbs現象（續2）在脈沖的銳截止處，傅立葉級數存在著9%左右的過沖現象，這就是Gibbs現象。Gibbs從數學上證明了，這種現象是傅立葉級數本身造成的，因為在N->∞

時，這種現象依然存在。2.8傅立葉變換的對稱性質共軛對稱序列xe[n]：滿足xe[n]=xe*[-n]的序列共軛反對稱序列xo[n]：滿足xo[n]=xo*[-n]的序列其中*記為復數共軛。則任何序列x[n]都可以表示為一個共軛對稱序列和一個共軛反對稱序列之和，即：x[n]=xe[n]+xo[n]其中：對一個實序列x[n]，極為重要的一個對稱性質是共軛對稱：

X(ejω)=X*(e-jω)由于這一極為重要的特性，使得對于實序列x[n]的頻譜研究，由原來的0≤

ω<2π，或者-π≤