1、專題十三推理與證明高考理數考點一合情推理與演繹推理考點清單考向基礎 考向突破考向合情推理與演繹推理例(2018山東淄博部分學校摸底考試,10)聊齋志異中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”:2=,3=,4=,5=,則按照以上規律,若8=具有“穿墻術”,則n=()A.35B.48C.63D.80解析根據規律得3=13,8=24,15=35,24=46,所以n=79=63,選C.答案C考點二直接證明與間接證明考向基礎1.直接證明 綜合法分析法定義利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證

2、,最后推導出所要證明的結論成立從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件實質由因導果執果索因框圖表示PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一個明顯成立的條件文字語言因為所以或由得要證只需證即證反證法:假設原命題不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),經過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫反證法.2.間接證明考向突破考向一直接證明例1已知x+y+z=1,求證:x2+y2+z2.證明x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3

3、y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z)2=1,3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2.考向二間接證明例2(2019河北衡水第十三中學模擬,18)已知ABC的內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,三邊互不相等,且滿足b2ac.(1)比較與的大小,并證明你的結論;(2)求證:B不可能是鈍角.解析(1)結論:.證明如下:要證,只需證0,則只需證b2ac.因為b2ac是已知條件,所以.(2)證明:假設B是鈍角,則cos B0,這與cos B0矛盾,故假設不成立.所以B不可能是鈍角.考點三數學歸納法考向基礎一

4、般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n=n0(n0N*)時,命題成立.(2)(歸納遞推)假設n=k(kn0,kN*)時,命題成立,證明當n=k+1時,命題也成立.只要完成以上兩個步驟,就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數n都成立.上述證明方法叫做數學歸納法.注意:(1)兩個步驟缺一不可.(2)初始值n0不一定是1.(3)證明當n=k+1時命題成立一定會用到歸納假設(即假設n=k(kn0,kN*)時命題成立).解題時要特別注意從n=k到n=k+1增加了哪些項或減少了哪些項.考向突破考向數學歸納法例(2019遼寧撫順第十中學期中,21)已知

5、數列an的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=n2an(nN*).(1)試求S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式;(2)證明你的猜想.解析(1)a1=1,Sn=n2an(nN*),S1=a1=1,S2=1+a2=4a2a2=,S2=S1+a2=1+=.S3=S2+a3=9a3a3=,S3=S2+a3=+=.S4=S3+a4=16a4a4=,S4=S3+a4=+=.猜測:Sn=.(2)用數學歸納法證明如下:當n=1時,S1=1,猜測顯然正確.假設當n=k(k1,kN*)時,Sk=.由Sk=k2ak可得=k2ak,ak=.當n=k+1時,Sk+1=Sk+ak+1=(k+1)2ak+1+ak+1

6、=(k+1)2ak+1ak+1=,Sk+1=Sk+ak+1=+=.當n=k+1時,猜測也是正確的.由知,對一切n(nN*)都有Sn=.方法歸納推理與類比推理的應用1.歸納推理的一般步驟2.類比推理的一般步驟 方法技巧例(1)(2018湖北孝感模擬,7)二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2r,二維測度(面積)S=r2,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4r2,三維測度(體積)V=r3,應用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測度V=8r3,則其四維測度W=()A.2r4B.3r4C.4r4D.6r4(2)德國數學家萊布尼茲發現了下面的單位分數三角形,單位分數是分子為1,分母為正整數的分數,根據前6行的規律,第7行的第3個數是.解析(1)二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2r,二維測度(面積)S=r2,(r2)=2r,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4r2,三維測度(體積)V=r3,=4r2,四維空間中,“超球”的三維測