1、2023年湖南省常德市大南湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 設(shè)關(guān)于x、y的不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，求得m的取值范圍是（ ）ABCD參考答案：C畫出不等式組表示的區(qū)域及直線如圖，結(jié)合圖形可知點(diǎn)能使得，即故選2. 四個(gè)同學(xué)，爭奪三項(xiàng)冠軍，冠軍獲得者可能有的種類是()A4 B24 C43 D34參考答案：C略3. 對任意實(shí)數(shù)x，若不等式4xm?2x+10恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）Am2B2m2Cm2D2m2參考答案：B【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜

2、合法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】由已知（2x）2m?2x+10恒成立，由此利用根的判別式能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍【解答】解：對任意實(shí)數(shù)x，不等式4xm?2x+10恒成立，（2x）2m?2x+10恒成立，=m240，解得2m2故選：B【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用4. 在ABC中,A=120,b=1，面積為3，則 （ ）A. 23 B. 29 C. 27 D. 47參考答案：C5. 已知數(shù)列an）中，a1=2，an=1（n2），則a2017等于（）ABC1D2參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡單表示法【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系可得an+3=

3、an，再利用周期性即可得出【解答】解：數(shù)列an）中，a1=2，an=1（n2），a2=1=1=，a3=1=12=1，a4=1=1（1）=2，an+3=an，a2017=a3672+1=a1=2故選：D6. 已知點(diǎn)滿足條件，點(diǎn)，且的最大值為， 則的值等于A B1 C D參考答案：D略7. 分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以O(shè)為圓心, 為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若三角形的面積為3,則雙曲線離心率為ABC D2參考答案：D8. 在中，a=15,b=10,A=60，則=( )A. B. C. D. 參考答案：D【分析】利用正弦定理即可得到，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，考點(diǎn)：正弦定理解三角

4、形9. 拋物線y2=2x的焦點(diǎn)到直線xy=0的距離是（）ABCD參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】利用拋物線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案【解答】解：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F（，0），由點(diǎn)到直線的距離公式可知：F到直線xy=0的距離d=，故答案選：C【點(diǎn)評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題10. (2x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()A672 B672 C288 D288參考答案：B試題分析：Tr1 (2x)9r()r(1)r29rx9r，令9r0，得r6.常數(shù)項(xiàng)為238672.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理二、 填空題:本大題共7

5、小題,每小題4分,共28分11. 設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）0，則a的取值范圍是參考答案：，1）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】設(shè)g（x）=ex（2x1），y=axa，則存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=axa的下方，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍【解答】解：函數(shù)f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，設(shè)g（x）=ex（2x1），y=axa，存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）0，存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=axa的下方，g（x）=ex（2x+1），當(dāng)

6、x時(shí)，g（x）0，當(dāng)x=時(shí)，g（x）min=g（）=2e當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=1，g（1）=e0，直線y=axa恒過（1，0），斜率為a，故ag（0）=1，且g（1）=3e1aa，解得a的取值范圍是，1）故答案為：，1）【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用12. 雙曲線的漸近線方程是 .參考答案：13. 函數(shù)在（1，+）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.參考答案：.略14. 在極坐標(biāo)系中，已知到直線：，的距離為2，則實(shí)數(shù)m的值為 參考答案：1可化為，點(diǎn)到直線：，的距離為2，又 ，m=1.15. 已知x，y滿足約束條件，若yx的最大值是a，則二

7、項(xiàng)式（ax）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .（用數(shù)字作答）參考答案：540【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃【分析】首先利用約束條件得到可行域，結(jié)合yx的幾何意義求出其最大值，然后對二項(xiàng)式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)【解答】解：已知得到可行域如圖：設(shè)z=yx變形為y=x+z，當(dāng)此直線經(jīng)過圖中B（0，3）時(shí)，直線在y軸的截距最大，z最大，所以z 的最大值為3，所以a=3，二項(xiàng)式（3x）6的通項(xiàng)為，所以r=3時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為=540；故答案為：540【點(diǎn)評】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合正確求出a，然后由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)16. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z =2x+y的最小值

8、為 .參考答案：-317. 如圖，在透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形的面積不改變；棱始終與水面平行；當(dāng)時(shí)，是定值其中正確的說法是_參考答案：正確，由面面平行性質(zhì)定理知：當(dāng)固定時(shí)，在傾斜的過程中，且平面平面，水的形狀或棱柱狀錯(cuò)誤，水面四邊形改變正確，水面，水面正確，水量是定值，且高不變，底面面積不變，當(dāng)時(shí)，是定值，綜上正確的有三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知等差數(shù)列an中，a1=1，a3=3（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列

9、an的前k項(xiàng)和Sk=35，求k的值參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】（I）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)首項(xiàng)為1和第3項(xiàng)等于3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（II）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由首項(xiàng)和公差表示出等差數(shù)列的前k項(xiàng)和的公式，當(dāng)其等于35得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)k為正整數(shù)得到滿足題意的k的值【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1+（n1）d由a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，從而，an=1+（n1）（2）=32n

10、；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，進(jìn)而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，又kN+，故k=7為所求19. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，A在上的射影為B，且是邊長為4的正三角形.（1）求p；（2）過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，與C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.參考答案：（1）2；（2）16.【分析】（1）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，利用解直角三角形可得 .（2）直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，同理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【詳解

11、】（1）解：設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭钦切危遥谥校?（2）設(shè)，直線，由知，聯(lián)立方程：，消得.因?yàn)椋裕裕衷c(diǎn)到直線的距離為，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故的最小值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以為斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過基本不等式或?qū)?shù)等求得.20. 如圖四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，點(diǎn)M在線段PD上（1）求證：ABPC（2）若二面角MACD的大小為45，求BM與平面PAC所成的角的正弦值參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)

12、的立體幾何綜合題【分析】（1）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，證明ABPC，只需證明AB平面PAC，只需證明ABAC，ABPA（2）設(shè)ACBD=O，連接OP，過點(diǎn)M作MNAD，過點(diǎn)N作NGAC于G，連接MG，證明MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45，M為PD的中點(diǎn)，連接PO交BM于H，連接AH，證明BHA是BM與平面PAC所成的角，即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值【解答】（1）證明：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，則AD=EC，ADEC，四邊形AECD為平行四邊形，AEBCAE=BE=EC=2，ABC=ACB=45，ABAC，PA平面ABCD，AB?平面ABCD，ABPAACPA=A，

13、AB平面PAC，ABPC（2）設(shè)ACBD=O，連接OP，過點(diǎn)M作MNAD，過點(diǎn)N作NGAC于G，連接MG，則MNPA，由PA平面ABCD，可得MN平面ABCD，MNAC，NGAC，MNNG=N，AC平面MNG，ACMG，MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45設(shè)MN=x，則NG=AG=x，AN=ND=x，可得M為PD的中點(diǎn)，連接PO交BM于H，連接AH，由（1）AB平面PAC，BHA是BM與平面PAC所成的角在ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，cosABM=，BHA與ABM互余，BM與平面PAC所成的角的正弦值為21. （本小題滿分10分）求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積.參考答案：略22. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C中