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文檔簡介
1、厄密算符本征函數的正交性 厄密算符本征函數的正交性正交：對于動量本征函數對于兩函數若滿足則稱它們相互正交厄密算符所有屬于不同本征值的兩本征函數相互正交3.5-1設 為厄密算符 的本征函數，它們所屬的本征值 都不相等，當 時，有3.5-2證明：已知3.5-33.5-4且有3.5-5對于厄密算符，有3.5-3式的復共軛為3.5-6根據厄密算符定義有3.5-7由3.5-6、 3.5-7式得即3.5-8故有得證。且無論算符本征值分立或連續都是成立的。設本征函數已歸一化，即3.5-9跟3.5-2合并得3.5-10若算符本征值組成連續譜，有3.5-11滿足上兩式的函數系稱為正交歸一系。若算符的本征值是簡并
2、的，它有多個本征函數。設為則上面的證明一般不能適用，它們不一定相互正交。但也不一定不正交！若不正交，我們總可以用f2個常數Aji把這f個函數線性組合成f個新函數3.5-12使它們相互正交，其正交歸一化條件為3.5-13共有f(f+1)/2 個方程（其中j=j的歸一化條件有f個， 的正交條件有f(f-1)/2 個），待定系數有f2個。當f1時， f2 f(f+1)/2 ,即待定系數Aji大于其所應滿足的方程數目，因而可以有許多種方法選擇Aji ，使函數滿足正交歸一化條件。此函數還是原來對應本征值的本征函數。舉例：(1) 線性諧振子能量本征函數組成正交歸一系3.5-14(2)角動量算符的本征函數組成正交歸一系3.5-15組成正交歸一系3.5-16由此可得締合勒讓德多項式的正交性3.5-17兩式合并得3.5-18（3）氫原子波函數組成正交歸一系跟3.5-18合并3.5-19如波函數沒有歸一化，上式改寫為3.6-6設 的全部本征函數 和 組成完全系，有3.6-73.6-83.6-3式變為3.6-93.6-10例題1：求氫原子處于基態時，電子動量的幾率分布。解：先將其基態波函數按動量算符的本征函數展開把代入得此式僅與p的大小有關，與其方向無關。動量幾率密度為電子動量在 范圍內的幾
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