1、2022學年高考數學模擬測試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并

2、交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD2設函數，則函數的圖像可能為（ ）ABCD3已知函數的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的單調遞增區間為( )ABCD4已知方程表示的曲線為的圖象，對于函數有如下結論：在上單調遞減；函數至少存在一個零點；的最大值為；若函數和圖象關于原點對稱，則由方程所確定；則正確命題序號為( )ABCD5如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD6已知

3、，那么是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7已知函數，若對任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（ ）A1BCD8已知直三棱柱中，則異面直線與所成的角的正弦值為（ ）ABCD9已知雙曲線：的左右焦點分別為，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，均位于第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD10設，則“ “是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必條件11已知實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）ABCD12若的展開式中的系數之和為，則實數的值為（ ）ABCD1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1

4、3設復數滿足，其中是虛數單位，若是的共軛復數，則_14在邊長為2的正三角形中，則的取值范圍為_.15已知集合，.若，則實數a的值是_.16設雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列的前項和.求證：.18（12分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.19（12分）2019年是五四運動10

5、0周年.五四運動以來的100年，是中國青年一代又一代接續奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發揚五四精神在青年節到來之際，學校組織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環節由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答，現有甲同學參加該環節的比賽.（1）求甲同學至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.現已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學答對題目的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望.20（12分）選修

6、44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為（為參數）以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值21（12分）已知函數.（1）若函數，求的極值；（2）證明：. （參考數據： ）22（10分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.2022學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】雙曲線的漸近線方

7、程是，所以，即 ， ，即 ，故選D.2、B【答案解析】根據函數為偶函數排除，再計算排除得到答案.【題目詳解】定義域為： ，函數為偶函數，排除 ，排除 故選【答案點睛】本題考查了函數圖像，通過函數的單調性，奇偶性，特殊值排除選項是常用的技巧.3、D【答案解析】先由函數的周期和圖象的平移后的函數的圖象性質得出函數的解析式，從而得出的解析式，再根據正弦函數的單調遞增區間得出函數的單調遞增區間，可得選項.【題目詳解】因為函數的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數解析式為，由于其圖象關于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以， 因為的遞增區間是：，由，得：，所以函數的單調遞增區

8、間為（）.故選：D.【答案點睛】本題主要考查正弦型函數的周期性，對稱性，單調性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數，屬于中檔題.4、C【答案解析】分四類情況進行討論，然后畫出相對應的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【題目詳解】（1）當時，此時不存在圖象；（2）當時，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（3）當時，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（4）當時，此時為圓心在原點，半徑為1的圓的一部分；畫出的圖象，由圖象可得：對于，在上單調遞減，所以正確；對于，函數與的圖象沒有交點，即沒有零點，所以錯誤；對于，由函數圖象的對稱性可知錯誤；對于，函數和圖象關于原點對稱，則中用代替，用代替，可

9、得，所以正確.故選：C【答案點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數的圖象與性質，函數的零點概念，考查了數形結合的數學思想.5、B【答案解析】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【答案點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.6、B【答案解析】由，可得，解出即可判斷出結論【題目詳解】解：因為，且，解得是的必要不充分條件故選：【答案點睛】本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考

10、查了推理能力與計算能力，屬于基礎題7、C【答案解析】對任意的總有恒成立，因為，對恒成立，可得，令，可得，結合已知，即可求得答案.【題目詳解】對任意的總有恒成立，對恒成立，令，可得令，得當，當，故令，得 當時，當，當時，故選：C.【答案點睛】本題主要考查了根據不等式恒成立求最值問題，解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數求函數單調性的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.8、C【答案解析】設M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據中位線定理，結合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【題目詳解】根據題意畫出圖形:設M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角

11、或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【答案點睛】此題考查異面直線夾角，關鍵點通過平移將異面直線夾角轉化為同一平面內的夾角，屬于較易題目.9、D【答案解析】 由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，設，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，離心率的求法，考查了轉化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式

12、；只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)10、B【答案解析】解出兩個不等式的解集，根據充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【答案點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.11、B【答案解析】畫出可行域，根據可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【題目詳解】由約束條件作出可行域是由，三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的

13、直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【答案點睛】本小題考查線性規劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識.12、B【答案解析】由，進而分別求出展開式中的系數及展開式中的系數，令二者之和等于，可求出實數的值.【題目詳解】由，則展開式中的系數為，展開式中的系數為，二者的系數之和為，得.故選：B.【答案點睛】本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由于，則14、【答案解析】建立直角坐標系，依

14、題意可求得，而，故可得，且，由此構造函數，利用二次函數的性質即可求得取值范圍【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，根據，即，則，即，則，所以，且，故，設，易知二次函數的對稱軸為，故函數在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為故答案為：【答案點睛】本題考查平面向量數量積的坐標運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意通過設元、消元，將問題轉化為元二次函數的值域問題15、9【答案解析】根據集合交集的定義即得.【題目詳解】集合，則a的值是9.故答案為：9【答案點睛】本題考查集合的交集，是基礎題.16、【答案解析】根據漸近線得到，計算得到離心率.

15、【題目詳解】，一條漸近線方程為：，故，.故答案為：.【答案點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【答案解析】（1）利用求得數列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【題目詳解】（1），令，得.又，兩式相減，得.（2）.又，.【答案點睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.18、 (1)見解析;(2).【答案解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用 即可得的

16、直角坐標方程；（2）設直線的參數方程為（為參數），代入，利用韋達定理、直線參數方程的幾何意義以及三角函數的有界性可得結果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為 ； （2）設直線的參數方程為（為參數）又直線與曲線：存在兩個交點，因此. 聯立直線與曲線：可得則聯立直線與曲線：可得，則即19、（1）；（2）分布列見解析，期望為【答案解析】（1）甲同學至少抽到2道B類題包含兩個事件：一個抽到2道B類題，一個是抽到3個B類題，計算出抽法數后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計算概率得分布列，再由期望公式計算期望【題目詳解】（1）令“甲同學至少抽到2道B類題”為事件，則抽到2道類

17、題有種取法，抽到3道類題有種取法，；（2）的所有可能值分別為，的分布列為：0123【答案點睛】本題考查古典概型，考查隨機變量的概率分布列和數學期望解題關鍵是掌握相互獨立事件同時發生的概率計算公式20、（1），（2）【答案解析】試題分析：利用將極坐標方程化為直角坐標方程：化簡為cossin1，即為xy1再利用點到直線距離公式得：設點P的坐標為（2cos，sin），得P到直線l的距離試題解析：解：化簡為cossin1，則直線l的直角坐標方程為xy1設點P的坐標為（2cos，sin），得P到直線l的距離，dmax 考點：極坐標方程化為直角坐標方程，點到直線距離公式21、（1）見解析；（1）見證明【答

18、案解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（1）問題轉化為證exx1xlnx10，根據xlnxx（x1），問題轉化為只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），根據函數的單調性證明即可【題目詳解】（1），當，當，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1exx1即證exx1xlnx10，先證明lnxx1，取h（x）lnxx+1，則h（x），易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，故h（x）h（1）0，即lnxx1，當且僅當x1時取“”，故xlnxx（x1），ex

19、x1xlnxex1x1+x1，故只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），則k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），則F（x）ex4，令F（x）0，解得：x1ln1，F（x）遞增，故x（0，1ln1時，F（x）0，F（x）遞減，即k（x）遞減，x（1ln1，+）時，F（x）0，F（x）遞增，即k（x）遞增，且k（1ln1）58ln10，k（0）10，k（1）e18+10，由零點存在定理，可知x1（0，1ln1），x1（1ln1，1），使得k（x1）k（x1）0，故0 xx1或xx1時，k（x）0，k（x）遞增，當x1xx1時，k（x）0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x1），由k（x1）0，得4x11，k（x1）1+x11（x11）（1x11）