1、數學史與科學史數學夢想數學史與科學史數學夢想(mngxing)與與悖論悖論第一頁，共52頁。第第 9 講講第1頁/共52頁第二頁，共52頁。 希爾伯特綱領(gnglng) 夢想(mngxing)的破滅第2頁/共52頁第三頁，共52頁。笛卡爾Ren Descartes 1596-1650 1596年3月31日生于法國的圖倫 1619年11月10 日 Ausonius: Quod vitae sectabor iter 在我的一生(yshng)中，我該走哪條路？ 1650年2月11日在斯德哥爾摩去世(qsh)第3頁/共52頁第四頁，共52頁。 科學中正確運用理性和追求真理的方法論 1637年6月8

2、日折光學(gungxu)氣象學幾何學第4頁/共52頁第五頁，共52頁。 尋求知識的途徑 尋求知識的途徑(tjng)僅接納自己理解(lji)并可以排除疑問的東西把大的困難拆分成小的困難從簡單到復雜的推理進行檢驗第5頁/共52頁第六頁，共52頁。 笛卡爾之夢現實(xinsh)問題數學問題（幾何問題）代數問題（解析幾何）多項式方程組一元高次方程第6頁/共52頁第七頁，共52頁。 笛卡爾的夢想(mngxing)：將世界數學化 人類的所有問題(wnt)，都可以通過邏輯計算，理性地、系統地加以解決。 數學(shxu)真理 = 數學(shxu)定理第7頁/共52頁第八頁，共52頁。萊布尼茲（德國）Gottf

3、ried Leibniz (1646-1716) 笛卡爾計劃的一個具體的實現方案: 將思維演算化、計算化，以至于可以計算機化。 解析幾何(ji x jh)如同一臺龐大的絞肉機，你把問題塞進去，只要搖動曲柄，就可以得到答案。第8頁/共52頁第九頁，共52頁。沙勒(法國）Michel Chasles17931880 為幾何大廈添磚加瓦，從此就用不著天才那樣的人物了。幾何方法的起源和發展的歷史概述第9頁/共52頁第十頁，共52頁。 羅素：日常語言和邏輯中可以出現悖論 理發師悖論 村中的理發師只給本村那些(nxi)不給自己理發的人理發。 誰給理發師理發？第10頁/共52頁第十一頁，共52頁。龐伽萊（法

4、國）Henri Poincar （1854-1912） 為了(wi le)防備狼，羊群已用籬笆圈了起來，但卻不知道圈里有沒有狼。第11頁/共52頁第十二頁，共52頁。數學(shxu)的完備性 completeness 一個數學系統是完備的，那么(n me)這個系統中的所有命題都是可以被證明的，每一個數學真理都對應著一個數學定理。 每一個明確的數學問題都應該關聯一個明確的判斷，或者是給出答案，或者是證明它不可解。第12頁/共52頁第十三頁，共52頁。數學(shxu)的一致性consistency 一致性（相容性、無矛盾(modn)、協調性） 如果說一個數學系統是一致的，不可能得出00的結果。 不

5、能出現這個系統中的一個命題與它的否定命題都是對的，即不能出現悖論。第13頁/共52頁第十四頁，共52頁。 如果一個系統是不一致的，則可以按照我們的喜好來證明一個論斷是真的，或者假的，那樣的話，我們的知識(zh shi)就不會建立在一個可靠的基礎之上了。第14頁/共52頁第十五頁，共52頁。 羅素: 我是教皇如果我們(w men)承認 2+2=5，則有 2=3或者(huzh) 2=1因為教皇(jiohung)和羅素是兩個人，且 2=1于是 1=2第15頁/共52頁第十六頁，共52頁。 夢想(mngxing)與悖論 夢想(mngxing)的破滅第16頁/共52頁第十七頁，共52頁。 希爾伯特23問

6、題(wnt) 第二個問題(wnt)“算術公理的一致性” 數學(shxu)推理的可靠性：只要按照數學(shxu)推理的規則，就不應該得出相互矛盾的陳述。 希爾伯特：一致性是任何類型的公理化系統的必要條件第17頁/共52頁第十八頁，共52頁。 2+2=5 真的可以(ky)發生嗎？ 三角形的內角(ni jio)和180嗎？第18頁/共52頁第十九頁，共52頁。 幾何幾何(j h)原本原本 1482年年 威尼斯威尼斯第19頁/共52頁第二十頁，共52頁。羅巴切夫斯基（俄國）Nikolai Lobachevski （1792-1856）波約（匈牙利）Janos Bolyai （1802-1860） 存在

7、著完全一致的、關于點和線的數學系統，他們不同于歐幾里得的系統。 三角形的內角(ni jio)和可以大于180 橢圓幾何 三角形的內角(ni jio)和可以小于180 雙曲幾何第20頁/共52頁第二十一頁，共52頁。 平面(pngmin) 雙曲 (馬鞍） 橢圓 （球）1條平行線 許多(xdu)平行線 沒有平行線 = 180 180平面宇宙 開放宇宙 封閉宇宙 冷寂 冷寂 大擠壓 歐幾里得 羅巴切夫斯基 黎曼第21頁/共52頁第二十二頁，共52頁。希爾伯特David Hilbert1862年1月23日生于哥尼斯堡1943年2月14日死于哥廷根 羅素悖論產生的原因(yunyn)：自然陳述中語義的含糊

8、性 鏟除悖論：為全部數學構建一種純句法(jf)的、實質上“無意義”的框架，在其中可以談論數學的真或假。第22頁/共52頁第二十三頁，共52頁。 將每一個數學真理都形式化，從而永遠排除在數學中出現悖論陳述的可能性。也不會產生(chnshng)不可判定的命題。 形式系統：形式化了的公理系統。系統中的符號與符號串（公式）完全(wnqun)不含意義。第23頁/共52頁第二十四頁，共52頁。 公式：按照一定(ydng)的形式規則排列的符號串 公理：一個公式 推理規則：由有限個確定的公式（規則的假設）得到某一個確定的公式（規則的結論） 定理(dngl)：公理； 若規則的假設是定理(dngl)，其結論也是

9、形式系統的公式是否定理，可以(ky)機械地驗證第24頁/共52頁第二十五頁，共52頁。 第一步，建立(jinl)形式系統 第二步，考慮數學結構 將數學對象與形式系統中的符號、公式相匹配，用不含意義(yy)的形式語言來解釋含有意義(yy)的數學對象。 第25頁/共52頁第二十六頁，共52頁。不使用那些(nxi)有爭議的推論1920年1930年希爾伯特、阿克曼、伯奈斯、馮諾伊曼元數學(shxu)（或稱證明論）用矛盾(modn)去證明存在超限歸納實無窮集非斷言性的定義選擇公理存在性的證明也必須是構造性的元數學證明的概念與方法是有限性的第26頁/共52頁第二十七頁，共52頁。 希爾伯特（1928年）：

10、 利用這種新的數學基礎人們完全可以稱之為證明理論，我將可以解決世界(shji)上所有的基礎問題。 所有有意義(yy)的論述都將被證明或證偽，那樣就不存在懸而未決的命題了。第27頁/共52頁第二十八頁，共52頁。 構造一個形式系統，它既是完備的，又是一致的。 在數學結構的真理與形式系統的定理之間建立一種(y zhn)完美的一一對應的關系。 把整個數學(shxu)真理全部形式化，以防止悖論跨越自然語言與數學(shxu)語言的界限而侵入純潔的數學(shxu)世界。第28頁/共52頁第二十九頁，共52頁。 定理陳述證明機器結果：真假 希爾伯特的形式系統 證明(zhngmng)機器第29頁/共52頁第三

11、十頁，共52頁。希爾伯特1900年 1928年9月波倫亞國際數學家大會 “數學基礎問題”（四個問題） 基本問題(wnt)：可否證明每一個真的數學陳述。第30頁/共52頁第三十一頁，共52頁。 夢想(mngxing)與悖論 希爾伯特綱領(gnglng)第31頁/共52頁第三十二頁，共52頁。 1906年4月28日出生于捷克的布爾諾Brno 1924年 入維也納大學(dxu)，理論物理 1929年獲奧地利國籍(guj)，完成博士論文 1931年不完備(wnbi)性定理發表 1940年定居普林斯頓 1948年加入美國國籍 1978年1月14日在普林斯頓去世第32頁/共52頁第三十三頁，共52頁。哥德

12、爾和它的父母(fm)及哥哥，約1910年第33頁/共52頁第三十四頁，共52頁。 哥德爾和阿黛勒德結婚照 維也納 一九三八年9月30日第34頁/共52頁第三十五頁，共52頁。 哥德爾與愛因斯坦，普林斯頓 一九五零年8月第35頁/共52頁第三十六頁，共52頁。第36頁/共52頁第三十七頁，共52頁。 羅素與懷特海：數學原理 John Kemeny：這是一本“被每個哲學家所討論，而實際上又無人(w rn)讀過的名著。” 第37頁/共52頁第三十八頁，共52頁。符號哥德爾數意義1非2或3如果那么4存在=5等于06零s7的直接后繼（8標點符號 ）9標點符號第38頁/共52頁第三十九頁，共52頁。)(s

13、yxx邏輯(lu j)公式： 存在(cnzi)著一個數x，它是數y的直接后繼。x、y：數值變元; 用大于10的素數(s sh)來表示。令 x = 11、y = 13。第39頁/共52頁第四十頁，共52頁。)(syxxx = 11、y = 138，4，11，9，8，11，5，7，13，9符號哥德爾數意義1非2或3如果那么4存在=5等于06零s7的直接后繼（8標點符號 ）9標點符號第40頁/共52頁第四十一頁，共52頁。)(syxx91375118911482923191713117532n第41頁/共52頁第四十二頁，共52頁。 應用(yngyng)“哥德爾配數法”使語法算術化數學原理中的每一條

14、陳述(chnsh)，都可以安排一個唯一的數與之對應。第42頁/共52頁第四十三頁，共52頁。 說謊者悖論(bi ln)（Liars paradox） 避開難以捉摸的真與假的概念(ginin) 用“可證性”的概念(ginin)代替“真” 利用哥德爾的編碼方案，可以編碼上述論斷 通過46條推理，得到(d do)這條陳述，稱為哥德爾句G這個句子是錯的這個陳述是不可證的第43頁/共52頁第四十四頁，共52頁。 如果(rgu)哥德爾陳述G是可證的 由于G是真的，根據論斷(lndun)，它不可證 在這個(zh ge)系統中，陳述G和它的否定都成立 這個陳述G是不可證的 所以，這個系統是不一致的第44頁/共52頁第四十五頁，共52頁。 如果哥德爾陳述(chnsh)G是不可證的 這個系統(xtng)是不完備的 由于陳述G是真的(zhn de)，但是卻不可證 這個陳述G是不可證的第45頁/共52頁第四十六頁，共52頁。 哥德爾不完備定理: 對于算術的任何一致(yzh)的形式化系統，都存在著一個命題G，在這個系統中不可證明。 1931： “論數學原理及其有關(yugun)系統中的形式不可判定命題 I ”第46頁/共52頁第四十七頁，共52頁