1、 一、數學是什么 二、數學的特點一、數學是什么數學是什么1.古代中國古代中國認為數學是術，是用來解決生產與生活問題的認為數學是術，是用來解決生產與生活問題的計算方法。計算方法。2.2.古希臘古希臘認為數學是理念，是關于世界本質的學問，數學認為數學是理念，是關于世界本質的學問，數學對象是一種不依賴與人類思維的客觀存在，但可以通過親對象是一種不依賴與人類思維的客觀存在，但可以通過親身體驗，借助實驗、觀察和抽象獲得有關知識。身體驗，借助實驗、觀察和抽象獲得有關知識。3.3.亞里士多德亞里士多德在把數量區分為離散的量（數）和連續的量在把數量區分為離散的量（數）和連續的量（線）后指出：研究數及其屬性（如

2、奇偶性、對稱性及比（線）后指出：研究數及其屬性（如奇偶性、對稱性及比例關系等）的學問叫算術，研究量及其屬性（如對稱、相例關系等）的學問叫算術，研究量及其屬性（如對稱、相交、平行等）的學科叫幾何學。因此數學是研究量的科學。交、平行等）的學科叫幾何學。因此數學是研究量的科學。評價評價:這個天才的定義，一直到這個天才的定義，一直到1919世紀末仍被多數哲學家、數世紀末仍被多數哲學家、數學家所接受。學家所接受。 數學發展史上的各種觀點4.恩格斯恩格斯在反社林論中明確指出：“純數學的研究對象是現實世界的空間形式和數量關系。” 背景:19世紀以前古典數學的主要成就就是算術、幾何學、代數學、微積分。這些學科

3、研究的都是客觀事物的空間形式和數量。評價:對此，這一論述劃清了數學同自然科學的界限，堅持了唯物主義觀點，又優于亞里士多德的定義，受到數學家的普遍贊成，至今仍被經常采用。局限:由于近、現代數學的發展，數學的研究對象如今已超越出數量關系和空間形式的最初意義的理解。如“n維向量空間”、“函數空間”等只是形式上與一般空間概念有某些類似的模擬物。 5.笛卡兒認為，笛卡兒認為，無論是數學中的概念和命題，或是問題和方法，都應看作是一種具有普遍意義的模式。因此數學是研究一種廣義的量模式結構的科學。背景: 由于各種抽象結構、形式體系和一般關系等都已成為現代數學的研究對象。法國布爾巴基學派就認為，一切數學都建立在

4、代數結構、序結構、和拓撲結構這三種母結構之上。 而近幾十年發現了許多新的數學領域，應用數學的問題類型以空前的速度增長，其中最顯著的是計算機及其應用的爆炸性發展，計算機技術和廣泛應用統一的概念處理現實世界的各種模式已成為當今數學發展的一個決定性特點。 數學的研究對象已從原來的算術、代數、幾何擴展到科學中的數據、測量、觀測資料，推斷、演繹、證明，自然現象、人類行為、社會系統的模型等。 6.從現代數學講從現代數學講，“數學是研究量和量變的科學，其中純數學是研究純粹的量的科學，它是數學的基礎部分”。 背景:依據20世紀數學的發展狀況來看，數學的用處滲透到一切科學領域，凡是要研究量、量的關系、量的變化、

5、量的關系的變化、量的變化的關系、量的關系的關系、量的變化的變化的時候，就少不了數學。“所以數學還研究變化的變化，關系的關系，共性的共性，循環往復，逐步提高，以至無窮”。數學本質的各種語言描述 數學是什么還有各種不同的描述 “數學是科學，數學更是創造性的藝術”； “數學是科學，數學也是一門技術”； “數學是一種語言”； “數學是一種文化”； “數學是思維的體操”等等。 1評述： .這正好反映了數學是一個多元的綜合產物，不能簡單地將數學等同于命題、法則和公式匯集成的邏輯體系，而應被看作一個由理論、問題、方法、語言等多種成分所組成的復合體。 2.如果從哲學的觀點來刻畫數學的本質，不外乎以下兩種看法：

6、一種是動態的，將數學描述為處于成長發展中因而是不斷變化的研究領域；另一種則是靜態的，將數學定義為具有一整套已知的確定的概念、原理和技能體系。中學數學課程改革下的數學 綜上所述: (1)對數學的本質的認識是發展變化的，它的對象思想方法無時不處在發展變化之中。因此，只能在各個歷史時期對其對象和方法的本質特征加以概括，給出描述性的觀點或定義，使人們有一個整體的數學觀。 (2)同時，由于數學家的哲學觀不同、角度不同、出發點不同，同一時期也會出現對數學不同的描述，既帶有主觀成分，又具有時代烙印，但它們都從某一側面反映了數學的本質，為我們全面認識數學提供了一個視角。 (3)從中學的角度看，對數學本質的認識

7、，采取現象與本質并重，結果與過程并重，形式與內容并重，無疑具有重要的指導意義。 二、數學的特點 一般的，數學的特點被歸納為三性：抽象性、精確性、應用的廣泛性。(一)數學的抽象性特征1、數學對象的抽象性研究對象：抽象的形式化的思想材料。思想材料：即她所研究的對象不是客觀世界的具體物化形式或具體運動形態，實驗觀測不到。如：數、式、方程、函數；點、線、面、體；群、環、域；歐氏空間、線性空間等數學對象都是人類思想抽象的產物，雖可以找到它們形成的客觀背景，但現實世界中沒有這些對象物化形式的實際存在。數學的抽象是從事物的量和形上的抽象二、數學的特點 形式化：既指這些思想材料是用數學的特殊符號語言組織起來的

8、，我們能見到只是符號的表面形式，其內涵、內容、抽象的思想是隱藏在形式之下的。例如：”sinx”直觀上只是符號、形式，其內涵是直角坐標系下，角x終邊上任意一點到軸的距離與到原點距離的比值。二、數學的特點(一)數學的抽象性特征、數學理論的抽象性（一般性模式） 一個數學模型反映的往往是不同領域、不同學科內不同現象、不同問題的共同本質。例如： 這個最簡單的一介微分方程可以描述：放射性同位素的衰變過程（化學）；某種細菌的繁殖過程（生物）；某個條件下的熱傳導過程（物理）；某個地區人口的變化過程（社會）等等dykydx二、數學的特點 (一)數學的抽象性特征 、數學方法的抽象性 數學的主要研究方式：思辨。數學

9、活動是人類抽象的思想活動，是一種思想實驗。 數學的兩種抽象方法：弱抽象與強抽象 、數學抽象的兩個特點（）理想化（）形式化 有獨特的符號系統；由假設推出結論二、數學的特點(二)數學的確定性特征1、數學的確定性由數學的抽象性決定 數學的抽象舍棄了事物個別的性質和具體的內容，保留了事物的共同的本質，這些本質的東西是穩定的、確定的，數學正是研究在一定數學運動變換下的不變性質。 數學方法的抽象性使得數學結論具有普適性、穩定性。例如：數學概念一定是明晰的，數學方法是可重復的二、數學的特點(二)數學的確定性特征2、數學的確定性是由邏輯方法本身的精確性確定。 數學推理的邏輯性確保了數學結論的確定性、精確性。邏

10、輯推理的基礎是概念，概念必須是明晰的、給概念下定義必須遵循規則。邏輯推理要遵循邏輯規則。任何數學結論都是在概念的基礎上、或原始命題的基礎上，遵循邏輯的推理規則推導出來的，這樣推出的結論具有客觀性、可靠性，令人信服（可重復性）二、數學的特點(二)數學的確定性特征3、數學的確定性由公理化的結構決定。公理化方法就是在原始概念、公理的基礎上通過邏輯的方法（精確定義、邏輯論證等）建立學科系統的過程。數學科學是通過公理化的方法建立起來的一個邏輯體系，邏輯推理是一個傳遞真值的過程，這就保證了在某一數學理論體系內的結論具有邏輯相容性，不會互相矛盾。二、數學的特點 (三)數學的廣泛應用性特征 1、數學提供了特有

11、的思維訓練 數學一直是學校教育的主要課程，因為數學是訓練推理能力的最佳學科，她教你思考。 數學提供的特有思維訓練有：數學化建立數學模型；抽象化為人類學習抽象思維提供最有效的途徑；最優化尋求最有效、最經濟的最優解；符號化用一種緊湊檢閱的形式把自然語言推廣到抽象概念的符號表示；隨機化從各種不完全和不一致的原始資料進行估計和猜測；邏輯分析尋求前提中所蘊含著的東西以及尋求能結實所觀測到的現象的基本原理二、數學的特點(三)數學的廣泛應用性特征2、數學提供了科學的表達語言 枷利略：世界的奧秘是本巨大的書，而這本書是用數學語言寫的。愛因斯坦：理論物理學家在描述各種關系時，要盡可能達到最高標準的嚴格精確性，這

12、種標準只有用數學語言才能做到。 數學是各種科學的通用語言。也是世界各民族的共同語言。 數學語言（在教育中）分為：自然語言、圖形語言、符號語言。二、數學的特點(三)數學的廣泛應用性特征3、數學提供了抽象思維的模式 數學為解決實際的和科學理論的非數學問題提供了抽象思維的模式，例如為非數學問題轉化為數學問題提供具體的數學模型，為構造數學模型提供抽象方法。4、數學提供了科學理論的示范作用 數學公理化方法的成功為其他學科的發展提供了示范，很多學科都把本學科的公理化作為發展的目標，數學所提供的這種示范導致“科學數學化”的趨勢。5、數學提供了不可思議的實踐領域的應用 著名數學家華羅庚在大哉數學之為用一文中精彩的指出“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”無不是顯現數學的身影，數學已成為一切技術發展和現實問題解決的最重要工具二、數學的特點(四)數學活動的探索性特征數學活動包括：數學研究活動，數學認識活動，數學實踐活動。數學的探索性特征：指數學活動要運用一般科學的探索方法，包括：觀察、實驗、想象、直覺、猜測、驗證、反駁。數學活動都要經歷發現問題，提出假設，驗證猜想三