1、深圳高級中學(xué)第三次模擬數(shù)學(xué)（理科）2019.12.20本試卷共4頁，20小題，滿分150分.考試用時120分鐘.參考公式：1 43錐體體積VSh（其中S是底面積，h是咼），球體體積VR（其中R是半徑）.3 3、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.如圖1,正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線BDi與AD所成的角等于A.30B.45C.60D.902.要得到函數(shù)y二cos2x的圖象，只要將函數(shù)y二sin2x的圖象I4丿JTA.向左平移一個單位8C.向左平移一個單位4B.向右平移二個單位8D.向右平移匸個單位43.設(shè)X=a,

2、b,Y=c,d都是閉區(qū)間，則“直積”XY=（x,y）|xX,yY表示直角坐標(biāo)平面上的A.一條線段B.兩條線段C.四條線段D.包含內(nèi)部及邊界的矩形區(qū)域4.設(shè)f(x)=C0_C：xCjx2_C：x3C：x4A.4(1x)3B.4(1x)3log1(x!)x5.函數(shù)y=39在定義域內(nèi)有1A.取大值1B.最小值一446.公差不為零的等差數(shù)列an中，a2,a3,A.1B.2則導(dǎo)函數(shù)f'（x）等于C.4(1x)3D.4(-1-x)3C.最大值D.最小值二22a6成等比數(shù)列，則其公比q為7.已知向量a,b,x,y滿足|a|=|b|=1,ab=0，且B.2.5a=-x+yb=2x-yC.3,5則|x|

3、y|等于8已知點（x,y）所在的可行域如圖2所示.若要使目標(biāo)函數(shù)z=axy取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則15B.C._43a的值為3D.-5D.7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分.把答案填在題中橫線上.9.將編號分別為1,2,3,4,5的五個紅球和五個白球排成一排，要求同編號球相鄰，但同色球不相鄰，則不同排法的種數(shù)為（用數(shù)字作答）.10.若厶ABC的三個內(nèi)角滿足sin2A=sin2BsinBsinCsin2C，則/A等于.11.據(jù)研究，甲、乙兩個磁盤受到病毒感染，感染的量y（單位：比特數(shù)）與時間x（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式分別是y甲=ex和y乙=x2.顯然，當(dāng)x_1時，甲磁盤

4、受到的病毒感染增長率比乙磁盤受到的病毒感染增長率大.試根據(jù)上述事實提煉一個不等式是.f（一1）：f（lgx）的解集旦12 .若偶函數(shù)f（x）在（_：,0內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式13 .如圖3,有一軸截面為正三角形的圓錐形容器，內(nèi)部盛水的高度為h，放入一球后，水面恰好與球相切，則球的半徑為（用h表示）.14 .給出下列四個命題：x22且x1x21: 設(shè)X1,X2R，則x11且X21的充要條件是 任意的銳角三角形ABC中，有sinAcosB成立； 平面上n個圓最多將平面分成2n2-4n4個部分； 空間中直角在一個平面上的正投影可以是鈍角.其中真命題的序號是（要求寫出所有真命題的序號）.三、解答題：本大

5、題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.15. (本小題滿分12分)設(shè)有同頻率的兩個正弦電流片=3sin(100二t),l2=sin(100二t)，把它們合成36后，得到電流I=“*I2.(1) 求電流I的最小正周期T和頻率f;(2) 設(shè)上_0,求電流I的最大值和最小值，并指出I第一次達(dá)到最大值和最小值時的t值.16. (本小題滿分12分)如圖4,正三棱柱ABC-AEG中,AA=AB=1,P、Q分別是側(cè)棱BB1、CC1上C1QC圖4(其中為f(x)在點x=的點，且使得折線APQAi的長AP-PQQA!最短.(1) 證明：平面APQ_平面AA1C1C;(2) 求直線AP與平

6、面APQ所成角的余弦值.17. (本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=x3導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)).(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若方程f(x)=0有且只有兩個不等的實數(shù)根，求常數(shù)C;(3) 在(2)的條件下，若f一丄.0，求函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的I3丿面積.18. (本小題滿分14分)如圖5,G是厶OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且點共線.(1)(3)設(shè)PGW.PQ，將OG用，、OP、OQ表示；設(shè)OPxOA,OQ=yOB，證明：丄丄是定值;xy記厶OAB與厶OPQ的面積分別為S、T.求TS19.(本小題滿分14分)3已知數(shù)列an的前n項和Sn

7、=2n，nN.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)nN+,集合An二y|y二q,i_n,iN,B二y|y=4m1,m二N.現(xiàn)在集合An中隨機(jī)取一個元素y，記yB的概率為p(n)，求p(n)的表達(dá)式.20.(本小題滿分14分)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意的x1,x2，都有If(Xj-f(x2)|勻捲-x21成立,那么就稱函數(shù)f(x)是定義域上的“平緩函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)f(X)=X2-X,0,1是否是“平緩函數(shù)”；(2) 若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間0,1上的“平緩函數(shù)”，且f(0)=f(1).證明：對于任意_1的X1,X20,1，都有|f(X1)-f(X2)|成立.2(3) 設(shè)a、m為實常數(shù)，m

8、0.若f(x)二alnx是區(qū)間m,：)上的“平緩函數(shù)”試估計a的取值范圍(用m表示，不必證明).數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)本試卷共4頁，20小題，滿分150分.考試用時120分鐘.、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案DADBACBD、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分把答案填在題中橫線上.9.240.10.120°11.exa2x12.(0,-1)(10,.1013.h31514.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.15.（本小題滿分12

9、分）.兀設(shè)有同頻率的兩個正弦電流"3sin（100二t）,12二sin（100二t）,把它們合成36后，得到電流I亠I2.（1）求電流I的最小正周期T和頻率f;（2）設(shè)上_0,求電流I的最大值和最小值，并指出I第一次達(dá)到最大值和最小值時的t值.解：（1）（法1）vIT|2F3sin（100二t）sin（100二t）36A；QQA二3（-sin100”：tcos10：t）=sin10-cos100：t）2分=.3si門100=cos10t=2sin（100二t）,兀1電流I的最小正周期T=一一,頻率100兀501 f506分T（法2）TI詁12»3sin（100二t）sin（

10、100二t）36=.3sin（100”:t）sin（100二t）3323Tj二3sin（100“:t）_cos（100二t）332分兀=2sin（100t）64分流I的最小正2二100二150，頻率1f50.T（2）由(1)當(dāng)100我6匕2廠即3二50300k1當(dāng)100二t2k二，即t62501而t_0,I第一次達(dá)到最大值時，300次達(dá)至UImax=2；75+75，12分Imin16.(本小題滿分12分)如圖4,正三棱柱ABC-AEG中，AA=AB=1,的點，且使得折線APQA的長AP-PQQA,最短.(1) 證明：平面APQ_平面AA1C1C;(2) 求直線AP與平面APQ所成角的余弦值.解

11、：(1)v正三棱柱ABC-ABC1中，AA二AB=1,將側(cè)面展開后，得到一個由三個正方形拼接而成的矩形P、Q分別是側(cè)棱BB1、CC1上B1AB1C1rC聲一QBCa'a'A"a"（如圖）,A'A"A"A'ABA面（2）（法一）由（2）,同理可證平面APQ_平面從而，折線APQAi的長APPQQAi最短，當(dāng)且僅當(dāng)A'、P、Q、A"四點共線,Q分別是BBi、CCi上的三等分點，其中1BP_GQ32分（注：直接正確指出點P、Q的位置，不扣分）連結(jié)AQ，取AC中點D，AQ中點E，連結(jié)BD、DE、EP.由正三棱柱的

12、性質(zhì)，平面ABC_平面AA1C1C,而BD_AC,BD二平面ABC,平面ABC平面AA1C1AC,BD_平面AA1C1C1又由（1）知，DECQ/BP,一2-四邊形BDEP是平行四邊形，從而PE/BD.PE_平面AA1C1C.而PE平面APQ,.平面AA1C1C.33AA,BiB.10分而AP平面AA3B，平面APQ平面AA,BiB=AP,A1P即為AP在平面APQ上的射影,從而.APA是直線AP與平面APQ所成的角.在厶APA中，AA=1,AP二AB2BP2=蟲312分PA-啓廠BF2手,由余弦定理，即直線cos/APA=1013,199,10、132-_7130一130AP與平面A1PQ所

13、成值為7.130130（法二）取BC中點O為原點，OA為x軸，OC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由（1）及正三棱柱的性質(zhì)，可求得：.3,31112A（二-,0,0）,A（二-,0,1）,P（0,-二，；）,QO；,；）.222323-,1）,2314分從而AP=(3,2AP=(-¥，冷223），人于冷冷）10分設(shè)平面A1PQ的一個法向量為n二（x,y,z）,n丄AP,所以n丄AQA,P=0AQ=0得x=z31y=z/3仝1223311cxyz=0223xy厶=012分取z=-3，得x=.3,y=1,n=(3,1,3).從cos：AP,nAPnIAPP<|n|9

14、尋+冷+（1卜必引+12+3n0即直線AP與平面APQ所成角的正弦值為|cos：AP,n,V130直線AP面A1PQ所成角的余弦值為2713013014分已知函數(shù)f（x）滿足f(xx3f'|xxC(其中f'2為f(x)在點x處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）.17.（本小題滿分14分）(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若方程f(x)=0有且只有兩個不等的實數(shù)根，求常數(shù)C;(3) 在(2)的條件下，若f一1.0，求函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的13丿面積.解：(1)由f(x)=x3f'2x2xC，得f'(x)=3x22f'-x-1.13丿(3.丿取x=

15、2，得f'?、322f'-2-1，解之，得f'->-1,313丿£丿13丿£丿13丿f(x)=x3-x2-xC.2分從而f'(x)=3x22x-1=3x1x-1,I3丿列表如下：x(-00，-3)13(-1，1)1(1,+f'(x)+0一0+f(x)/有極大值有極小值/1f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(：，)和(1廠二)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是31八(-打)4分332f(x)極小值=f(1)=1-1一1C-1C-6分方程f(x)=0有且只有兩個不等的實數(shù)根，等價于f(x)極大值-0或f(x)極小值=0.8分5常數(shù)C或27C=1.9分

16、(3)由(2)知，f(x)=x3-x2-x或f(x)=x3-x2-x-1.27令f(x)=x3-x2-x1=0,x2=1.12分求封“413一X一X03-x2-x1dx=18.(本小題滿分14分)5,G是厶OAB的重心,如圖點共線.(1)設(shè)PG二PQ，將0G用、設(shè)OP=xOA，OQ=yOB，2(x1)2(x1)=0,14分Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、OP、OQ表示；11證明：是定值；xy記厶OAB與厶OPQ的面積分別為S、T.求T的取值范圍.S解：(1)OG=OPPG=OP，PQ=OP，(OQOP)(3)Q二(1_)OPOQ.(2)方面,由(1),得OG=(1知OP+jQQ=(1k

17、)xOA+hyOB;另一方面，G>OAB的重心,221-11OGOM(OAOB)OAOB.332334分而OA、OB不共線，1(1一対x=;,3q1扎y=_.3丄=3-3丸,解之，得x,一=3扎值).由、，得6分11二3(定xy10分f(x)=X3-X2-X1.(3)1|OP|OQ|sin.POQ1|OA|OB|sin.AOB|OP|OA|叫xy|OB|10分1 1由點P、Q的定義知x乞1,y乞1:2 21 1T1且x時，y=1；x=1時，y.此時，均有一=一2 2S22 2宀亠T4x時，y.此時，均有一3 3S9以下證明：4<I<1.9S2（法）由(2)知x3x-1S93x

18、-19_(3x2)2一9(3x-1)04-9>-T-sx2(x-1)(2x-1)3x-12(3x-1)04 19,2-14分x2（法二）"3x1（x丄）9（込）、1+-:：S3.9t3-1，則Tt丄3T1利用導(dǎo)數(shù)，容易得到，關(guān)于t的函數(shù)T=-1+一S3.9t12、,3311,3上單調(diào)遞增.12分T112=4Smin3333912而汽或匕時，均有F、1.SJmax3I64 19,2.14分注：也可以利用“幾何平均值不小于調(diào)和平均值”來求最小值19. （本小題滿分14分）-1),nN.3已知數(shù)列an的前n項和Sn=-（an（1）求an的通項公式；（2）設(shè)n：二N+,集合A=y|y=

19、q2,i_n,i三N,B=y|y=4m亠1,m三N.在集合An中隨機(jī)取一個元素y，記y-B的概率為p（n），求p（n）的表達(dá)式.3 3解：（）因為&=2（an-1）,nN亠，所以Sn彳（an十一1）.3 3兩式相減，得Sn1-Sn（a*1-an），即an1（a*1-a.）,22an1二3an又S1玉1-1），即a1=3佝-1），所以印=3.22二an是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.=3n從而an的通項公式是annN(2)設(shè)y=ai=3_An,iEn,nN.當(dāng)i=2k,kN時，y=32k=9k=(8+1)k=c08k+c：8kJ+CkCk"=4匯2(。082+C：8k_2yB.當(dāng)i=2k-1,kN時，12分y=32k4=3><(8+1)k4=3x(c0j8k4+CiL8k/+。擰8+。刖)=4X6(C048kJ+C：斗8k，+y'B又集合An含n個元素，在集合An中隨機(jī)取一個元素y,有yB-,n為偶數(shù)，p(n)=«2I.14分,n為奇數(shù).i2n20. (本小題滿分1