1、00 定義定義時(shí)時(shí)，如如果果當(dāng)當(dāng) ax 函數(shù)函數(shù) f (x)、 F (x)都趨于零都趨于零00)()(lim為為稱稱極極限限xFxfax)( x)( x例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx )00()( 或都趨于無窮大，或都趨于無窮大， 或或型未定式。型未定式。;)()(,)1(都都趨趨于于零零及及函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)xFxfax 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則1：);()()(lim)3(或或?yàn)闉闊o無窮窮大大存存在在xFxfax ; 0)()()(,)2( xFxFxfa都都存存在在且且及及點(diǎn)點(diǎn)的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在.)()(lim)()(limxFxfx

2、Fxfaxax 那么那么證證 設(shè)設(shè), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxFa ax,),(0 xaU內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa, )(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFxf則有則有)()()()(1111aFxFafxf )()(11 Ff)(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax )()(xFxf)()( Ff例例1 1解解.tanlim)1(0 xxx求求)()(tanlim)1(

3、0 xxx原原式式1seclim20 xx . 1 xeexxxsinlim)2(0 )(sin)(lim)2(1 xeexxx原式原式=2xeexxxcoslim1 30sinlim)3(xxxx )()sin(lim)3(30 xxxx原原式式203cos1limxxx 61 ;)()(,)1(都都趨趨于于零零及及函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)xFxfax 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則1：);()()(lim)3(或或?yàn)闉闊o無窮窮大大存存在在xFxfax ; 0)()()(,)2( xFxFxfa都都存存在在且且及及點(diǎn)點(diǎn)的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax

4、那么那么都是無窮大都是無窮大洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則2：例例2 2解解.sinlnsinlnlim)1(0bxaxx lim0 x.3tantanlim)2(2xxx axaxsin)(sin )sin(ln)sin(lnlim)1(0 bxaxx原式原式axbxbbxaxaxsincossincoslim0 bxbxsin)(sin axaxbbxbxax coscoslim0axbxxcoscoslim0 . 1 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 . 3 xxx3ta

5、ntanlim)2(2 )3(tan)(tanlim2 xxx0)( lnlim 3 xxx求求極極限限例例11lim lnlim xxxxxx解：解： xx1lim=01)0,( lim 4 aaxxx求求極極限限例例0 解解：因因?yàn)闉閗kk 1, 使使必必存存在在自自然然數(shù)數(shù)aaxaxxxxxlnlim lim1 aaxxx22ln)1(lim aaxkkxkx1ln)1()1(lim =0, 時(shí)時(shí) x的高階無窮大，的高階無窮大，是是xxln .的高階無窮大的高階無窮大是是 xax)1, 0( a練習(xí)題練習(xí)題xxxxxx20sincossinlim)2( 4sin1tanlim)1(:4x

6、xx 求求極極限限xxxxxtantanlim)4(20 lnsinlnlim)3(0 xxx 21 30cossinlim)2(xxxxx 原式原式203)sin(coscoslimxxxxxx xxx3sinlim0 31 31130tanlim)4(xxxx 原式原式22031seclimxxx .31 2203tanlimxxx xxxxx22sin2sinlim)5( 型型或或檢檢驗(yàn)驗(yàn)是是否否為為使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，必必須須注注意意： 00 )1(不存在不存在不存在時(shí)，不能斷言不存在時(shí)，不能斷言當(dāng)當(dāng))()(lim )()(lim)2(xgxfxgxf 型型 0. 1步驟步驟

7、:,10 .0100 或或)0( 例例5 5).arctan2(limxxx 解解22111limxxx 221limxxx . 1 xxx1arctan2lim)1( 例例6 6解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式20sinlimxxxx . 0 型型 . 2步驟步驟:xxx2cos1lim0 xxx221lim20 步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 .0 取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)例例7 7解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1l

8、nlim0 例例8 8.)(sinlimtan2xxx 求求)1( 解解.)(sin tan xxy 設(shè)設(shè)xxysinlntanln 則則xxyxxsinlntanlimlnlim 22 xxxcotsinlnlim2 lim2 xxxsincosx2csc xxxsincoslim2 0 xxxtan2)(sinlim yxeln2lim 02limex 1 例例9 9)0, 0, 0( )3(lim10 cbacbaxxxxx求求解解xxxxcbay1)3( 設(shè)設(shè)3ln1lnxxxcbaxy 設(shè)設(shè)xcbaxxx33ln)ln( 00limlnlim xxyxcbaxxx33ln)ln( )(3)(lim0 xxxxxxxcbacba )(3lnlnlnlim0 xxxxxxxcbaccbbaa abcln31 xxxxxcba10)3(lim yxeln0lim 3abc 例例1010解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原