1、到兩個定點距離積為定值的軌跡-卡西尼卵形線的幾何畫板作法常州市第二中學 李傳軍1 .問題的提出一次在圓錐曲線的高三復習課上，小結了與到兩定點距離有關的點的軌跡問題：動點P到兩定點F1,F2距離到為定值2a ,即PF1 PF2 2a(2a F1F2)的軌跡是橢圓；動點P到兩定點F1,F2距離差的絕對值為定值2a,即|PF1 PF2| 2a(2a F1F2)的軌跡是雙曲線；動點P到兩定點F1,F2距離商為定值k ,即正 k(k 1)的軌跡是圓。PF2課堂上很快就有學生提出：到兩定點距離積為定值的點的軌跡是什么呢課前我對這個問題沒有思考過，再加上高三復習課時間緊迫，就以“這個問題在中學 階段不作要求

2、”敷衍過去，哪知課后兩個學生追著我問：這個軌跡到底是什么這 下我只有“被迫”去研究一下了。2 .問題學習研究過程我先在網上查閱了相關資料，了解到到兩點距離積為定值的點的軌跡是卡西尼卵形線，如圖，可以分成幾類圖形，其中一個特殊情形(圖 3)是伯努利雙紐線(微分幾何一個重要研究圖形)，就把這些告訴學生，同樣會帶來很多的“為(1) (2)(3)(4)問題：動點P到兩定點Fi,F2的距離積為定值k ,即PFi PF2 k, F1F2 2c,試討論點P的軌跡。c C作圖思路:首先作可變線段用來控制兩焦點 Fi,F2的距離（如圖通過拖動C來改變Fl,F2的距離，下同）；作可變線段用K來控制k的值 k作可變

3、線段ri用，以Fi為圓心ri為半徑作圓Fi,計算k并記為收，ri以F2為圓心2為半徑作圓F2,設圓Fl,圓F2的交點為P,顯然PFi PF2選中點R,P構造軌跡曲線。這樣通過拖動點R1,可直觀地看到點做出以上動態圖形，應該可以給學生以交待了，但上述圖中依然有“為什么”， 如上圖右圖中的兩圓是相離的沒有交點，哪里來的交點的軌跡呢實際上兩圓是“虛交”的（可簡單理解為兩圓方程聯立方程組的解是虛數），而這對學生來說又是不可想象的，還應再作進一步的思考。上述作圖過程是在無坐標系的情況下完成，也就是作圖過程沒有考慮卡西尼卵形線的代數形式，直覺上此問題涉及諸多的長度問題， 應該可以在極坐標下作出其動態圖形，

4、恰如圓錐曲線在極坐標下的統一方程：一e-是如此的和1 ecos諧美妙，于是：先以F1,F2所在直線為x軸，F1F2的中垂線為軸建立直角坐標系，設P(x,y),再以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，P(,),則有x cos , y sin , 進而Jx2y2卡西尼卵形線的直角坐標方程為：(x c)2 y2 ,(x c)2 y2 a2 (a2 k)此方程的對應曲線無法在幾何畫板中直接作出，(幾何畫板只能直接作出方程形如y "*)或* f(y)的曲線),化為極坐標方程：22224x c y x c y a即 2 c2 2c cos 2 c2 2c cos a4所以極坐標方程為：

5、4 c 22-442c cos2 a c在極坐標系下依然無法直接作對應的曲線(幾何畫板在極坐標系下只能直接作出方程形如f()或 f ()的曲線)，研究方程發現可以用來表示：444ca ccos2 2-2c2 2如果限定 0,一則：2440,-21 a-arccos2-2 2c2 2這樣就可以作出對應曲線了:作可變線段OC ,通過點C控制c值；作可變線段OA,通過點A控制a值；4444作方程 -arccos12c 對應的曲線, 如上圖。22c問題依然存在，由于限定了0,所以只能作出在直角坐標下第一象限2的曲線，考慮到方程"(x c)2 y2 J(x c)2 y2 a2的用x換x方程不變

6、、用y換y方程不變的特點，知道曲線既關于 x軸對稱，又關于y軸對稱，因此根據對稱性即可作出該曲線在第二、三、四象限的圖形：通過改變a,c的值可以得到卡西尼卵形線的各種情形:喬凡尼卡西尼一位不愿接受哥白尼理論的著名天文學家，是他發現土星的 衛星，他反對開普勒定律，認為行星運行的軌道不是橢圓，而是一種卵形線 -曲線上所有點到兩定點（焦點）的距離之積為常數，卡西尼卵形線因此 而得名。3.幾點反思幾何畫板作為一款多媒體教學輔助軟件，不僅是一種課件制作工具，更 是一種數學實驗研究的平臺（葉中豪語），是教師與學生進行創新性思維活動的 平臺，這也是中學教師存在大量“板迷”的原因；隨著教改進一步深入，學生的 自主學習意識逐步加強，具有強烈質疑精神的學生開始增多，一線教師越來越發 現學生中越來越多的“為什么”，而且教師很難用簡單的方法加以應付，這就要 求我們必須進一步的學習研究，“被迫”成長，必須進步。希望通過自己簡單的