1、二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面 第六節一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數 三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線 多元函數微分學的幾何應用 第八章 一、一、一元向量值函數及其導數一元向量值函數及其導數引例引例: 已知空間曲線 的參數方程:,)()()(ttztytx)(),(),()(),(ttttfzyxr記 的向量方程,),(ttfrMrxzyO 對 上的動點M ,即 是此方程確定映射3R, :f,稱此映射為一元向量 ，顯然OMr r的終點M 的軌跡 , 此軌跡稱為向量值函數的終端曲線 .值函數. 要用向量值函數研究曲線的連續性連續性和光滑性光

2、滑性，就需要引進向量值函數的極限、連續和導數的概念.定義定義: 給定數集 D R , 稱映射nDfR:為一元向量值函數（簡稱向量值函數）, 記為Dttfr),(定義域自變量因變量向量值函數的極限、連續和導數都與各分量的極限、連續和導數密切相關,進行討論.則設,),(),(),()(312Dttftftftf極限極限：連續連續：導數導數：)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(321tftftftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面僅以 n = 3 的情形為代表向量值函數的導

3、數運算法則向量值函數的導數運算法則:設vu,是可導向量值函數, )(t是可導函數, 則OCtdd) 1 ()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutC 是常向量, c 是任一常數,)()()()7(ddtuttut向量值函數導數的幾何意義向量值函數導數的幾何意義:在 R3中, 設Dttfr),(的終端曲線為 , 切線的生成點擊圖中任意點動畫開始或暫停MxzyOr)(0tf tr)(),(0

4、0ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t 的增長方向一致.)(0tf , 則0)(0 tf設r向量值函數導數的物理意義向量值函數導數的物理意義:設)(tfr 表示質點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有 )()(tftv)(tva)(tf 速度向量：加速度向量：).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1. 設kjiA42222)(kjiB42222)(#2011042601).()(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft例例1. 設解：解：ktjtittftttt4444lim)s

5、inlim()coslim()(limkji42222)(4f例例2. 設空間曲線 的向量方程為 曲線 上對應于20t)62, 34, 1()(22tttttfr的點處的單位切向量（）.R,t)31,32,32()(A)31,32,32()(B)31,32,32()(C)31,32,32()(D#2011042602例例2. 設空間曲線 的向量方程為 求曲線 上對應于解解:20t)62, 34, 1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的點處的單位切向量.R,t故所求單位切向量為)31,32,32()2()2(ff)2, 4, 4()2( f222)2(44)2( f其方向與

6、t 的增長方向一致另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為)31,32,32(= 6復習復習: 平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程0yy 法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在點),(00yx切線方程法線方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線

7、在該點的法法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 位置.TM空間光滑曲線在點 M 處的切線切線為此點處割線的極限平面平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停1. 曲線方程為參數方程的情況曲線方程為參數方程的情況)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxMtt對應設 ),(0000zzyyxxMttt對應)(0t)(0t)(0t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 TMM:的方程割線MM)(00 xxt此處要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量切向量

8、 .)( )(00yyt0)(00zzt如個別為0, 則理解為分子為 0 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進向量函數 ) )(, )(, )()(ttttr, 則 為 r (t) 的矢端曲線, 0t而在處的導向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該點的切向量.o)(trTzyxo例例1. 求圓柱螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應點處的切線方程和法平面方程.,2時當切線方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,

9、cosRy , kz ),0(20kRM對應的切向量為0)(2kzk在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),0,(kRT, 故2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF當0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲線上一點),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 時, 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, 100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點),(000zyxM切線方程切

10、線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求曲線0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處

11、的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF則即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxzzxyydddd解法解法2. 方程組兩邊對 x 求導, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,

12、dd,1切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 M (1,2, 1) 處的切向量011機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )1,0, 1(T三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線 將一個足球放在平整的地面上，我們可以說地平面是足將一個足球放在平整的地面上，我們可以說地平面是足球表面（球面）的切平面球表面（球面）的切平面 實際中這種現象實際中這種現象是比較常見的，下面是比較常見的，下面來一般地研究所謂曲來一般地研究所謂曲面的切平面問題面的切平面問題 設有曲面設有曲面 ， 為曲面上的一為曲面上的一點，假定函數點，假定函數 在在 點

13、的各個偏導數存在且連續，并點的各個偏導數存在且連續，并且三個偏導數不同時為零且三個偏導數不同時為零000(,)M xyz:( , , )0F x y zM( , , )F x y z 下面來研究曲面在點下面來研究曲面在點 處的切平面問題處的切平面問題000(,)M xyz已知：已知：空間曲線的切線空間曲線的切線未知：未知：曲面在一點處的切平面曲面在一點處的切平面在曲面在曲面 上過上過 可以畫無數條曲線，若它可以畫無數條曲線，若它們在們在 處都存在切線，并處都存在切線，并且切線都在過且切線都在過 的同一平的同一平面上，那我們就可以把它面上，那我們就可以把它作為切平面了。作為切平面了。000(,)

14、M xy z MM這提示我們：需要證明這提示我們：需要證明這些切線都在同一個平這些切線都在同一個平面上。面上。yxzo M切平面切平面1. 以隱式表示的曲面以隱式表示的曲面假設假設 是在曲面是在曲面 上過上過 的一條曲線，設其參數方程為的一條曲線，設其參數方程為 M( ), ( ), ( ) ()xx tyy tzz tt 點對應參數點對應參數 并設并設 在在 連續并不全為零連續并不全為零0t000( ),( ),( )x ty tz tM0t由上邊的討論，由上邊的討論， 在在 存在切線，其切向量為存在切線，其切向量為 000( ),( ),( ) .Tx ty tz t M 為了說明，曲面上

15、過為了說明，曲面上過 點的任意曲線點的任意曲線 ，它在，它在 處的切線都處的切線都在過在過 的同一平面上，首先證明的同一平面上，首先證明 MMM 曲面上過曲面上過 且滿足上述假設的任意曲線且滿足上述假設的任意曲線 ，在，在 點處的點處的切線都與一確定的向量切線都與一確定的向量垂直垂直000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzF xyz MM如何證如何證明兩個明兩個向量垂向量垂直呢？直呢？ 只需只需證明證明0T n 對于曲面對于曲面 上過上過 的任意一條曲線的任意一條曲線 ，由于，由于 在曲面在曲面 上，因此有恒等式上，因此有恒等式 M ( ( ), ( ), ( )0,

16、.F x ty tz tt 000000000000(,)( )(,)( )(,) ( )0 xyzFxyzx tFxyzy tF xyzz t將該恒等式兩邊在將該恒等式兩邊在 處對處對 求導數，由復合函數微分法得求導數，由復合函數微分法得0tt它等價于它等價于 000000000000(,),(,),(,) ( ),( ),( )0 xyzFxyzFxyzF xyzx ty tz t即即 0.n T 即向量即向量 與向量與向量 垂直這說明曲線垂直這說明曲線 在在 點處的切線與向點處的切線與向量量 垂直由垂直由 的任意性，這就證明了曲面的任意性，這就證明了曲面 上任意過點上任意過點 的曲線，在

17、點的曲線，在點 處的切線都與向量處的切線都與向量 垂直垂直T nM n MMn 這些切線都過同一點這些切線都過同一點 ，而過一點，而過一點 且與向量且與向量 垂直的垂直的平面是唯一的因此這些切線都在過平面是唯一的因此這些切線都在過 的同一平面內我們的同一平面內我們稱這個平面為曲面稱這個平面為曲面 的過的過 點的點的切平面切平面M nMMM 利用平面的點法式方程，則利用平面的點法式方程，則切平面方程切平面方程為為000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxyzxxFxyzyyF xyzzz000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy zF xy z M

18、 稱向量稱向量 為曲面為曲面 在在 點處的點處的法向量法向量. .000000000000.(,)(,)(,)xyzxxyyzzFxyzFxyzF xyzM 過過 點且與曲面在點且與曲面在 點的切平面垂直的直線為曲面在點的切平面垂直的直線為曲面在 點處的點處的法線法線由直線的點向式方程，易得該由直線的點向式方程，易得該法線方程法線方程為為MM例例1 1求橢球面求橢球面 在點在點M(1,2,3)處的切平面和處的切平面和法線方程法線方程222131227xyz222( , , )131227xyzF x y z 解：解：因此，求偏導得因此，求偏導得22( , , ),( , , ),( , , )

19、,3627xyzxyzFx y zFx y zF x y z分析：分析： 不論是求曲面的切平面，還是求其法線，先求出法向不論是求曲面的切平面，還是求其法線，先求出法向量就是關鍵。那么這里的量就是關鍵。那么這里的 是什么？是什么？ ( , , )F x y z于是，該曲面在點于是，該曲面在點 處的法向量為處的法向量為(1,2,3)M123222 1 2(,)(, ).36 273 3 9xyzxyzn 212(1)(2)(3)0,339xyz632180 xyz即即曲面過點曲面過點 的切平面方程為的切平面方程為(1,2,3)M123212339xyz而法線方程為而法線方程為或或123.632xy

20、z如果曲面方程是由如果曲面方程是由 的形式給出的，的形式給出的，( , )zf x y 能否把它化為能否把它化為( , , )0F x y z 則則( , , )( , )F x y zf x yz因此，曲面的法向量為因此，曲面的法向量為( , ),( , ), 1),xynfx yfx y曲面上對應點曲面上對應點 處的處的切平面方程切平面方程為為0000000(,)()(,)()()0,xyfxyxxfxyyyzz00(,)xy法線方程法線方程為為0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy 還能把方程化成另外形式還能把方程化成另外形式的的 嗎？這時曲嗎？這時曲面的法向量是什么

21、？對曲面的法向量是什么？對曲面的切平面方程和法線方面的切平面方程和法線方程有影響嗎？程有影響嗎？( , , )0F x y z 則則即即 因此不影響切因此不影響切平面和法平面方程。平面和法平面方程。( , , )( , ),F x y zzf x y ( , ),( , ),1),xynfx yfx y ,nn 2. 以顯式表示的曲面以顯式表示的曲面)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標豎坐標的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數函數),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為全微分的幾何意義全微分的

22、幾何意義),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點在點),(000zyx處的處的切平面上的點的豎坐標的增量切平面上的點的豎坐標的增量.,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2 2求拋物面求拋物面 在點在點 處的切平面、法處的切平面、法線方程線方程221zx

23、y(1,1, 1)M 解：解：分析：分析： 這是這是 形式的方程，我們先求出其法向量形式的方程，我們先求出其法向量( , )zf x y ( , ),( , ), 1).xynfx yfx y 22( , )1f x yxy因此，因此，( , ),( , ), 1)( 2 , 2 , 1)xynfx yfx yxy 曲面在點曲面在點 處的法向量為處的法向量為(1,1,-1)M( 2, 2, 1).n 2(1)2(1)(1)02230 xyzxyz于是，拋物面在點于是，拋物面在點 的切平面方程為的切平面方程為(1,1,-1)Mxyz111221而法線方程為而法線方程為或或xyz111221例例3. 確定正數 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM2a相切.與球面332)(3aA3)(3aB32)(3aC33)(3aD#2011042603例例3. 確定正數 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM解解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn,