1、海淀區(qū)高二年級第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)(理科)2018.4學(xué)校班級姓名成績本試卷共100分.考試日間90分鐘.一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.1 .下列復(fù)數(shù)中，與z=1+i的乘積為實(shí)數(shù)的是A.1-iB.-iC.iD.1i2 .已知函數(shù)f(x)=exsinx,則下面各式中正確的是_',、x',、x一一A.f(x)=esinxb.f(x)=e(sinxcosx)'x'x,、C.f(x)=-ecosxD.f(x)=e(sinx-cosx)3.函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在0,1的平均變

2、化率分別記為m1,m2,m3,則下面結(jié)論正確的是A.m1=m2=m3B.m1Am2Am3C.m2Ami>m3D.m1Ym2Ym31014.dx=1 xA.1B.ln10-1C.ln10D.105.已知曲線：y2=xx2+y2=1y=x3x2y2=1.上述四條曲線中，滿足：“若曲線與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是A.1B.2C.3D.46 .數(shù)學(xué)老師給校名布置了10道數(shù)學(xué)題，要求校名按照序號從小到大的順序，每天至少完成一道，如果時間允許，也可以多做，甚至在一天全部做完，則小明不同的完成方法種數(shù)為A.55B.90C.425D.512cosx7 .函數(shù)f(x)=的部分圖像可

3、能是x8 .函數(shù)f(x)=x3+ax2-ax,g(x)=f(x),其中a為常數(shù).則下面結(jié)論中錯誤.的是A.當(dāng)函數(shù)g(x)只有一個零點(diǎn)時，f(x)函數(shù)也只有一個零點(diǎn)B.當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個不同的極值點(diǎn)時，g(x)一定有兩個不同的零點(diǎn)C. 3aeR,使得函數(shù)g(x)的零點(diǎn)也是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)D. 3aeR,使得函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)也是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.9 .復(fù)數(shù)z=1-J3i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第象限，且z=._._.一10 .曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與2xy+1=0平行，則f(1)=.11 .計(jì)算si

4、n2300+sin2900+sin21500=,sin2600+sin2120°+sin2180°=,請你根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，猜想sin2«+sin2(a+60°)+sin2Q+120°)=.12 .函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a)在區(qū)間(0,1)上存在極值，則a的取值范圍是x-1.，一，13 .不等式>1的解集為.Inx14 .已知函數(shù)f(x)=x+1(t>0)和點(diǎn)P(1,0),過點(diǎn)P作曲線y=f(x)的兩條切線PM,xPN,切點(diǎn)分別為M,N,則直線MN的斜率等于.三、解答題：本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明

5、過程或演算步驟15 .(本小題12分)如圖，曲邊三角形中，線段OP是直線y=2x的一部分，曲線段PQ是拋物線OP,曲線段PQ和y軸上.設(shè)點(diǎn)y=x2+4的一部分.矩形ABCD的頂點(diǎn)分別在線段A(x,y),記矩形ABCD的面積為f(x).(I)求函數(shù)f(x)的解析式并指明定義域；(n)求函數(shù)f(x)的最大值.16 .(本小題10分)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中，a1=a且an+1=曳+2.2an(i)當(dāng)a3=2時，求a1的值；(n)求證：當(dāng)n之2時，an+1<an.解：(i)(n)某同學(xué)用分析法證明此問，證明過程如下，請你在橫線上填上合適的內(nèi)容。證明：要證n22時，an+1<an只需證n

6、,an只需證-11 2,只需證-12 a；一一、2只需證an之,只需證an-,根據(jù)均值定理，3=旦a_2an42=22an-1-2an1所以原命題成立17 .(本小題10分)已知曲線f(x)=x3在點(diǎn)(X0,f(X0)處的切線為l,其中Xo¥0.(I)求直線l的方程；(n)求證：直線l和曲線f(x)一定有兩個不同的公共點(diǎn).18 .(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x2alnxx,其中常數(shù)a#0.(i)若函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；(n)如果函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍海淀區(qū)高二年級第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2018.4.選擇題.題號1

7、2345678答案ABACADCD.填空題.3339.四，210.211.一,一,一22212.(-1,0)13.(1,+二)14.2說明：9題，每個空2分，11題，第一個，第二空各1分，第三個空2分三.解答題.15.解：(I)令-x2+4=2x,解得X1=一1+75,X2=1一而(舍)2分因?yàn)辄c(diǎn)A(x,2x),B(x,-X24)所以f(x)=x(r2+4-2x)=-x3-2x2+4x,4分其定義域?yàn)閤=(0,-1+75)5分(II)因?yàn)閒'(x)=3x2-4x+47分人一2令f'(xo)=0,得X=_,x2=_2(舍)8分3所以x,f'(x),f(x)的變化情況如下表

8、x(0,f)323(2,-1+V5)3f'(x)+0f(x)E極大1吩因?yàn)閤=2是函數(shù)f(x)在(o,-1+J5)上的唯一的一個極大值,3所以在2.40x=時，函數(shù)f(x)取得最大值一.32716.證明:(I)因?yàn)?3=2,所以所以2a2+4=4a2,解得a2=2,同理解得ai=2.(D)證明：要證n之2時，an書Ean,只需證包21,an，只需證a2an2.包anan£1，只需證1212.2an只需證只需證an-2根據(jù)均值定理，為=如22=2an42an1所以原命題成立.說明：上面的空，答案不唯一，請老師具體情況具體分析217 .解：(I)因?yàn)閒'(x)=3x所以直

9、線l的斜率k=f'(x0)=3xo2所以直線1的方程為y-x03=3xd2(x-x0)化簡彳導(dǎo)到y(tǒng)=3xo2x-2xq34分(陰法一：把曲線和直線l的方程聯(lián)立得3y=x2jy=3xox-2xo所以x3=3刈葭-2比35分所以x3-3xo2x-2x。3=0令g(x)=x3-3x02x+2%36分所以g'(x)=3x23x02,令g'(x)=0,得到得x1=x0,x2=x07分當(dāng)x0>0時，x,g'(x),g(x)的變化情況如下表x(-00,-凡)-x0(x。，/)一x0(M+9g'(x)+00+g(x)極大E極小E8分因?yàn)閤=-決時，g(x0)=4x

10、。3>0,而g(-3x0)=-16x03<0(或者說：xtg時，g(x)Tg),所以g(x)在(-00,-x0)上有一個零點(diǎn)而x=x0時，g(%)=0,所以g(x)在x°,六0)上只有一個零點(diǎn)又g(x)在(一2？。)上沒有零點(diǎn)9分所以g(x)只有兩個不同的零點(diǎn)，即直線l和曲線f(x)有兩個不同的公共點(diǎn).當(dāng)(0時，同理可證g(x)只有兩個不同的零點(diǎn)，即直線l和曲線f(x)有兩個不同的公共點(diǎn)1吩法二：把曲線和直線l的方程聯(lián)立得3y二xjy-3x0x_2x0所以x3=3x；x-2x03所以x3-3X02X-2x03=0令g(x)=x3-3x02x2x03因?yàn)間(x)=x3-x0

11、2x-2x02x2x。3=(x-x0)2(x2x0)令g(x)=0,得到Xi=/，X2=-2x0又x0¥0,所以x0¥-2x0所以g(x)只有兩個不同的零點(diǎn)，即直線l和曲線f(x)有兩個不同的公共點(diǎn)10分18 .解：(I)法一：2分2因?yàn)閒'(x)=x-x-a,其中x.0x因?yàn)閒(x)是單調(diào)函數(shù)，所以f'(x)20或f'(x)<0對x>0成立2xx-a當(dāng)f'(x)X0對x>0成立時，2xxa>0,3分x即2x-x-a>0對x>0成立21所以2xx之a(chǎn),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到一之a(chǎn)4分2當(dāng)f'(x)W

12、0對x>0成立時，2xxa<075分x即2x2x-aW0對x>0成立所以2x2-x<a,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)這種情形不成立6分11綜上，a<-,所以實(shí)數(shù)a的最大值為-.88法二：因?yàn)閒'(x)=2xxa，其中x>02分x因?yàn)閒(x)是單調(diào)函數(shù)，所以f'(x)20或f'(x)M0對x>0成立根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道當(dāng)xt+m時，2x2xaT+笛所以只能是“兇之0對x>0成立4分2即f'(x)=X-X-a主0對x>0成立x所以2x2-x-a之0對x>0成立5分2一1所以2x2-x>a,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得

13、到a<,6分8所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.8(n)法一：1由(I),當(dāng)a£時，函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，8而f(1)=0,(或者說：當(dāng)XT0時，f(X)T3,XT+s時，f(X)T-HC)所以函數(shù)f(X)只有一個零點(diǎn)8分時,令f'(x)/2=0,得為=上2”空X4118a4，-1.當(dāng)一一<a<0時，0<X1<X28所以X,f'(x),f(x)的變化情況如下表X(0,X1)X1(X1，X2)X2出+8)f'(x)+00+f(x)極大極小因?yàn)閒(X1)=x12-alnX1-X1而2x12-X1-a=0,22所以f(x)=X1-alnX1

14、-X1=a(1-Inx1)-X1注意到X1；X2：二1所以1InXi>0,a<0,-Xi2<0,所以f(x1)=a(1-Inx1)-x；：0所以在xW(0,X2)時，f(x)<f(Xi)<0,(或者說：注意到xi<x2<1,因?yàn)閤W(0,i)時，x+=：i.8a，r，當(dāng)x2=i時，即a=i時，f(x2)=04函數(shù)f(x)的唯一的一個極小值，即最小值為f(i)=0,符合題意,當(dāng)x2Jn+8a>i時，即a>i時，則f(x2)<f(i)=0,而當(dāng)xt+如時，f(x)T上,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(波,+°°)上還有一個零點(diǎn)，矛盾-x<0,-aInx<0,所以f(x)<0)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x2)上沒有零點(diǎn)，而當(dāng)xt+g時，f(x)T-，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(x2,+00)