1、第3頁（共25頁）（4.00 分）4.復數百2018年浙江省高考數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的。1. （4.00分）已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5, A=1, 3,則？uA=（A. ? B. 1, 3 C. 2, 4, 5 D. 1, 2, 3, 4, 52. （4.00分）雙曲線號-y2=1的焦點坐標是（）A.（一如,0）,（近，0） B. （-2, 0）, （2, 0） C. （0,一典），（0,沈）D. （0, - 2）, （0, 2）3. （4.00分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則

2、該幾何體的體積（單 （i為虛數單位）的共腕復數是（A. 1+i B. 1 -i C. - 1+i D. - 1 i5. （4.00分）函數y=2|x|sin2x的圖象可能是（“m/ n”是 “m/ a 的6. （4.00分）已知平面 %直線m, n滿足m?a, n? % 則A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7. （4.00分）設0p1,隨機變量己的分布列是0Ip2則當p在（0, 1）內增大時，（a. d（ a減小b. d（ a增大c. d（ a先減小后增大d. d（ a先增大后減小8. （4.00分）已知四棱錐S- ABCD的底面是正方形，側棱長均相

3、等，E是線段 AB上的點（不含端點）.設SE與BC所成的角為SE與平面ABCD所成的角為 色，二面角S- AB- C的平面角為則（ ）A. 9i03 B. 031 C.也 D.031,則（）A. a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4 D.a1a3,%a4、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分11. （6.00分）我國古代數學著作張邱建算經中記載百雞問題：今有雞翁一, 值錢五；雞母一,值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？ ”設雞翁，雞母，雞雛個數分別為 x, y, z,則3=1001，蘭Sic+3y+產=100z=81 時，x=, y=

4、.12. （6.00分）若x, y滿足約束條件，2y2最大值是.13. （6.00分）在4ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.若a= , b=2, A=60,貝U sinB=, c=.14. （4.00分）二項式（3/+.L） 8的展開式的常數項是 .15. （6.00分）已知 入C R,函數f （x）=專，當入=2寸，不等式f（x）1）上兩點A, B滿足M=2而， 則當m=時，點B橫坐標的絕對值最大.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟18. （14.00分）已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P-r

5、）.b 5（I ）求sin （ o+兀）的值；（n ）若角B滿足sin （ a+位=-77,求cos B的值.19. （15.00分）如圖，已知多面體 ABCAB1C1, AiA, BiB, CiC均垂直于平面 ABC, /ABC=120, AiA=4, GC=l, AB=BC=BB=2.(I )證明：ABi,平面 AiBiG;(II)求直線ACi與平面ABB所成的角的正弦值.B20. (15.00 分)已知等比數列an的公比 q1,且 a3+a+a5=28, a+2 是 a3, a5 的等差中項.數列bn滿足bi=1,數列 (bn+1bn) an的前n項和為2n2+n.(I )求q的值；(n

6、)求數列bn的通項公式.21. (15.00分)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C: y2=4x 上存在不同的兩點A, B滿足PA, PB的中點均在C上.(I )設AB中點為M ,證明：PM垂直于y軸；(H)若P是半橢圓x2+?=1 (x8-81n2;(H )若a0,直線y=kx+a與曲線y=f (x)有唯 一公共點.第4頁(共25頁)第 5頁（共25頁）2018年浙江省高考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的。1. （4.00分）已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5, A=1,

7、3,則？uA=（）A. ? B. 1, 3 C. 2, 4, 5 D. 1, 2, 3, 4, 5【分析】根據補集的定義直接求解：？uA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素 構成的集合.【解答】解：根據補集的定義，？uA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構成 的集合，由已知，有且僅有2, 4, 5符合元素的條件.?uA=2, 4, 5故選：C.【點評】本題考查了補集的定義以及簡單求解，屬于簡單題.3 . （4.00分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）俯視圖A. 2B. 4C. 6D. 8第11頁（共25頁）【分析】直接利用三視圖的復原圖求出幾何體的體

8、積.【解答】解：根據三視圖：該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱.故選：C.【點評】本題考查的知識要點：三視圖的應用.4 （4.00分）復數（i為虛數單位）的共腕復數是（A. 1+i B. 1 -i C. - 1+i D. - 1 i【分析】化簡已知復數z,由共腕復數的定義可得.【解答】解：化簡可得z【點評】本題考查復數的代數形式的運算，涉及共腕復數，屬基礎題.5. （4.00分）函數y=2|x|sin2x的圖象可能是（【分析】直接利用函數的圖象和性質求出結果.【解答】解：根據函數的解析式y=21x|sin2x,得到：函數的圖象為奇函數, 故排除A和B.當乂甘-時，函數白值也為0,故排除C 故選：

9、D.【點評】本題考查的知識要點：函數的性質和賦值法的應用.6. （4.00分）已知平面 飛 直線m, n滿足m?a, n?鵬 則“m/ n”是“m/ a的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】根據線面平行的定義和性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【解答】解：:m?/, n? a,二當m / n時，m / a成立，即充分性成立，當m / a時，m / n不一定成立，即必要性不成立, 則“m/ n”是“m/ a的充分不必要條件.故選：A.根據線面平行的定義和性質【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷, 是解決本題的關鍵，是基礎

10、題.7. （4.00分）設0p1,隨機變量己的分布列是E01P122則當p在（0, 1）內增大時，（）A. D ( 9減小B. D (。增大C. D （ 9先減小后增大D.D （ 9先增大后減小【分析】求出隨機變量己的分布列與方差，再討論 D （ 9的單調情況.【解答】解：設0Vp1,隨機變量己的分布列是e(a =0x_1zEl+1 X =+2x_=p+L；21222、1211?方差是 D ( 9 =tO-p-y) x+(lp-y)=【：一，.pe（0, -1）時，d（ a 單調遞增;pe i）時，d（ a單調遞減；d（ a先增大后減小.故選：D.【點評】本題考查了離散型隨機變量的數學期望與方

11、差的計算問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.8. （4.00分）已知四棱錐S- ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）.設SE與BC所成的角為6, SE與平面ABCD所成的角為 口二面角S- AB- C的平面角為也，則（）A. 9i03 B. 031 C 也& 也 D.0303,又 sin 3=12-, sin 2=|, SESM,二（3 02.故選：D.【點評】本題考查了空間角的計算，三角函數的應用，屬于中檔題.9. （4.00分）已知W, E, 3是平面向量，彳是單位向量.若非零向量W與1的夾角為與，向量E滿足針-4彳?E+3=0,則值-周的最小值是（）A.

12、近-1 B. V3+1 C. 2 D. 2-陰【分析】把等式片4段值+3=0變形，可得得（b-e）*（b-3e）=0,即（EG） （b-3t）,設；=（1, o），則Z的終點在以（2, 0）為圓心，以1為半徑的圓周上， 再由已知得到白的終點在不含端點。的兩條射線y=近、（x0）上，畫出圖形, 數形結合得答案.【解答】解：由曾-昭?b+3=0,得CBfM （b-3已）二0,（ b_e） ， （ b-3e）,如圖，不妨設；el ）， 則E的終點在以（2, 0）為圓心，以1為半徑的圓周上,又非零向量&與治的夾角為:，則之的終點在不含端點。的兩條射線y=V5x （x J0）上.不妨以y=/3 K為例，

13、則| a-fb|l的最小值是（2, 0）至IJ直線五EV。的距離減1.即 -I =Vs -i ,【點評】本題考查平面向量的數量積運算，考查數學轉化思想方法與數形結合的 解題思想方法，屬難題.10. （4.00 分）已知 ai, a2, a3, a4成等比數列，且 ai+a2+a3+a4=ln （ai+a2+a3）,若 ai1,則（）A. aia3,a2as,a2a4C.aia4D.aias,%a4【分析】利用等比數列的性質以及對數函數的單調性，通過數列的公比的討論分析判斷即可.【解答】解：ai, a2, a3, a4成等比數列，由等比數列的性質可知，奇數項符號 相同，偶數項符號相同，ai1,設

14、公比為q,當 q0 時，ai+a2+a3+a4ai+a2+a3, ai+a2+a3+a4=ln (ai+a2+a3),不成立，即：aia3, a2a4, aia3, a20,等式不成立，所以 qw-1;當 q 一 1 時，ai +a2+a3+a40, ai+a2+a3+a4=ln (ai+a2+a3)不 成立，當 qC (1, 0) 時，aia30, a2a41,5 / 3y4Mz=10。LJ當z=81時，化為:|+y=19(5工+3產73解得 x=8, y=11.故答案為：8; 11.【點評】本題考查方程組的解法，是基本知識的考查.12. (6.00分)若x, y滿足約束條件,2工+?6,則

15、z=x+3y的最小值是-2 ,最大值是 8 .【分析】作出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖的 ABC及其內部，再將 目標函數z=x+3y對應的直線進行平移，觀察直線在 y軸上的截距變化，然后求 解最優解得到結果.【解答】解：作出x, y滿足約束條件 忸+y6表示的平面區域,如圖：其中 B (4, -2), A (2, 2).設 z=F (x, y) =x+3y,將直線l: z=x+3y進行平移，觀察直線在y軸上的截距變化， 可得當l經過點B時，目標函數z達到最小值. z最小值=F (4, 2) =-2.可得當l經過點A時，目標函數z達到最最大值：z最大值-F (2, 2) =8.故答案為：

16、-2; 8.【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標函數的最小值，著重考查了二元 次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題.13. (6.00分)在4ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.若a=二，b=2,第 13頁(共25頁)A=60 ,則 sinB=、m,c= 3 .T -【分析】 由正弦定理得也 =2 ,由此能求出 sinB,由余弦定理得gin60 sin32 r7cos60 =牡 T 由止匕能求出c.2X2c【解答】解：二在ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.a=. b=2, A=60,，由正弦定理得：1r，即瑞 一2X 正，一

17、解得 sinB=-=-一/7由余弦定理得:J rcos60 =4+匕T2X2c解得c=3或c=- 1 （舍），sinB/21 c=3.7故答案為：叵，3.7【點評】本題考查三角形中角的正弦值、邊長的求法，考查正弦定理、余弦定理 等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題.14. （4.00分）二項式（羽含）8的展開式的常數項是 7 .【分析】寫出二項展開式的通項并整理，由x的指數為0求得r值，則答案可求.故答案為：7.第 17頁(共25頁)【點評】本題考查了二項式系數的性質， 關鍵是熟記二項展開式的通項， 是基礎15. (6.00分)已知 入6 R,函數f (x)=今，當入=2

18、寸，不等式fl i2-4 z4-3i 苫 入(x) 0的解集是x1x2時，不等式xIx2-40 的解集：x|2&x4; x2 時，不等式 f (x) 0 化為：x2-4x+30, 解得1x2,綜上，不等式的解集為：x 1x4.函數f (x)恰有2個零點,函數f(x)x-4, X 工mV 人的草圖如圖:函數f (x)恰有2個零點，則14.故答案為：x| 1x1）上兩點A, B滿足Q=2而,則當m= 5時，點B橫坐標的絕對值最大.【分析】設A（X1, y1）, B （x2, y2）,運用向量共線的坐標表示，以及點滿足橢 圓方程，求得y1, y2,有X22=m-（手）2,運用二次函數的最值求法，可得

19、所 求最大值和m的值.【解答】解：設 A（X1, y1），B（X2, y2）,由 P （0, 1）, AP=2P,可得一X1=2x2, 1 - y1=2 （y2 1）,即有 X1= -2x2, y1+2y2=3,又 X12+4y12=4m,即為 X22+y12=m,X22+4y22=4m,-得（y1-2y2） （y1+2y2） =- 3m,可得 y1 - 2y2= - m,貝U m=X22+二1j - 2即有 X22=m_(-)2=F啊2=WH_)F6 244即有m=5時，X22有最大值4,即點B橫坐標的絕對值最大.故答案為：5.【點評】本題考查橢圓的方程和應用，考查向量共線的坐標表示和方程思

20、想、轉 化思想，以及二次函數的最值的求法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟18. (14.00分)已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合， 它的終邊過點P (-且，55(I )求sin ( o+兀)的值；(H)若角0滿足sin一 喂，求8的值.【分析】(I )由已知條件即可求r,則sin ( a+兀)的值可得；(n )由已知條件即可求 sin cos % cos( a+ 份,再由 cos B =cQs( a+ B) - a =cos(o+B) cos o+sin ( a+B) sin 玳值計算得答案.【解答】解：(I )

21、.角a的頂點與原點O重合，始邊與X軸非負半軸重合，終 邊過點P(-卷，-；).x=-春,y., r=0P =J(V)2+V)/ . 、v 4 sin ( a+ 九)=-sin a -;r 5(H)由 x= , y=，r=| OP| =1,得siW二-cosd =-p, 55又由 sin ( a+B) =-,得 GQ3 ( Q + P)= 士dl-E ,，(屯 +t)=1T弓產二 土，貝cos B =ccs(a+ B)-a=cos (a+ 0)cos o+sin(a+ B)12 % 3、工 7 F 4、56sin aITXCT)+ 13或 cos B =cQs (a+ B ) 一 =COSa+

22、B ) cos o+sin(a+ B )cos B的值為65 65【點評】本題考查了任意角的三角函數的定義,考查了三角函數的誘導公式的應用，是中檔題.19. （15.00分）如圖，已知多面體 ABCABiCi, AiA, BiB, CiC均垂直于平面 ABC, /ABC=120, AiA=4, GC=l, AB=BC=BB=2.（I ）證明：ABi,平面 AiBiG;（II）求直線ACi與平面ABB所成的角的正弦值.【分析】（I）利用勾股定理的逆定理證明 ABiXAiBi, ABiXBiCi,從而可得ABi ，平面 AiBiCi;（II）以AC的中點為坐標原點建立空間坐標系，求出平面ABBi的

23、法向量計算7與k的夾角即可得出線面角的大小.【解答】（I）證明：: AiAL平面ABC BiB,平面ABC. AA / BBi,AAi=4, BBi=2, AB=2,Ai Bi=J （AB 產+CAA 廠呵）2=R號，又 ABi =JaB2+BB j 2=2/2，.二 AAi2=ABi2+AiBi2, . ABiXAiBi,同理可得：ABiXBiCi,又 AiBin BiCi=Bi, AB，平面 AiBiCi.(II)解：AC AC中點O,過O作平面ABC的垂線OD,交AiCi于D,. AB=BC a OB OC, v AB=BC=2 /BAC=i20, . OB=i, OA=OC戈以。為原點

24、，以OB, OC, OD所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示:則 A (0,xf3, 0), B (i, 0, 0), Bi (i, 0, 2), G (0, V3, i),AB= (i,心，0),西二(0, 0, 2),西二(0, 2行，i),設平面ABBi的法向量為力二(x, y, z),則，r 一 力咔.二UkI.卜令y=i可得最(一心的。), 二口cosK-鬲,言嵩儒嚕設直線AG與平面ABBi所成的角為9,則sin 8Ros |士旦.【點評】本題考查了線面垂直的判定定理， 線面角的計算與空間向量的應用,于中檔題.20. (i5.00 分)已知等比數列an的公比 qi,且 a3+a

25、4+a5=28, a4+2 是 a3, a5 的等差中項.數列bn滿足bi=i,數列 (bn+ibn) an的前n項和為2n2+n.(I )求q的值；第i9頁(共25頁)（n）求數列bn的通項公式.【分析】（I）運用等比數列的通項公式和等差數列中項性質，解方程可得公比q;(H )設 Cn= (bn+1- bn) an= (bn+1- bn) 2n 4+3?(；)+7?(7)2+,運用數列的遞推式可得 Cn=4n - 1 ,+ (b3 b2)+ (bn - bn 1),運用錯位q1,且 a3+a4+a5=28, a4+2 是 a3, a5再由數列的恒等式求得bn=b1+ （b2-b1） 相減法，

26、可得所求數列的通項公式.【解答】解：（I）等比數列an的公比的等差中項，可得 2a4+4=a3+a5=28 - a4,解得a4=8,由當+8+8q=28,可得q=2 （舍去）,q則q的值為2;(H )Cn= (bn+1bn) an= ( bn+1 bn)2n可得 n=1 時，C1=2+1=3,n2 時，可得 cn=2nrfdli.lb-l!+n - 2 （n 1） 2上式對n=1也成立，n- 1貝U ( bn+1 bn) an=4n- 1, 即有 bn+1 - bn= (4n- 1) ?(4-)可得 bn=bl+ (b2 bi) + (b3 b2)+ (bn - bn 1)=1+3? (1)

27、0+7?仔)+ (4n 5) ?n 2, + (4n-5) ?(打相減可得:bn=_+4 (C) + (/)2+n 2 - (4n-5) ? (1)7 2 U 產 2=-+4?12 ,一2(4n-5) ? (1)n- 1化簡可得 bn=15- (4n+3) ? (y)【點評】本題考查等比數列的通項公式和等差數列中項的性質， 考查數列的恒等 式和錯位相減法的運用，考查運算能力，屬于中檔題.第20頁（共25頁）21. （15.00分）如圖，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C: y2=4x 上存在不同的兩點A, B滿足PA, PB的中點均在C上.（I ）設AB中點為M ,證明：PM垂直于y

28、軸；（H）若P是半橢圓x2+-=1 （x0）上的動點，求 PAB面積的取值范圍.【分析】（I ）設P （m, n）, A （占二，yi）, B （迫一，y2）,運用中點坐標公式 44可得M的坐標，再由中點坐標公式和點在拋物線上，代入化簡整理可得yi, y2為關于y的方程y2 - 2ny+8m- n2=0的兩根，由韋達定理即可得到結論；（H ）由題意可得 m2號=1, - 1m0, - 2 n 2,可得 PAB面積為 s=tI pm|?I yi-y2|,再由配方和換元法，可得面積 s關于新元的三次函數，運 用單調性可得所求范圍.【解答】解：（I ）證明：可設P （m, n）, A （方一,y1）

29、, B （號一，y2）,2 7iFiFAB中點為M的坐標為（1， _）, 拋物線C: y2=4x上存在不同的兩點A, B滿足PA PB的中點均在C上，可得（化簡可得yi, y2為關于y的方程y2 - 2ny+8m - n2=0的兩根,可得 yi+y2=2n, yiy2=8m - n2,可得n；J2則PM垂直于y軸；(H)若P是半橢圓x2+_=1 (x0)上的動點，2可得 mH=1, - 1 m0, - 2n8-81n2;(H )若a0,直線y=kX+a與曲線y=f (x)有唯一公共點.【分析】(I )推導出 X0, f (X)-?)一工由 f(X)在 X=X1, X2(X1WX2)處導數相等，得到用,由基本不等式得:2,力1工7從而 XX2256,由題意得 f（X1）+f（X2）=,-lnxi+1J777ni2=y7V2-1n（X1X2）,設g （x）卷/口玉,則-3二蚩（也-4）,利用導數性質能證 明 f（X1） +f（X2） 8-81n2.（H ）令 m=e |a|+ k）, n=（llhLL）2+1,則 f（m） - km - a | a|+ k- k- a0, k推導出存在xo (m, n),使f (xo) =kxo+a,對于任意的aC R及kC (0, +00), 直線y=kx+a與曲線y=f (x)有公共點，由f (x) =kx+a,得k/ 加、社,設hI(x)