1、數(shù)學(xué)史 世界數(shù)學(xué)大事年表約公元前3000年埃及象形數(shù)字公元前2400年早期巴比倫泥版楔形文字，采用60進位值制記數(shù)法。已知勾股定理公元前1850公元前1600年埃及紙草書（莫斯科紙草書與萊茵德紙草書），使用10進非位值制記數(shù)法公元前1650年公元前1400年中國殷墟甲骨文，已有10進制記數(shù)法公元前1100年周公(公元前11世紀)、商高時代已知勾三、股四、弦五約公元前600年希臘泰勒斯開始了命題的證明約公元前540年希臘畢達哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)勾股定理，并導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)約公元前500年印度繩法經(jīng)中給出平方根相當精確的值，并知勾股定理約公元前460年希臘智人學(xué)派提出幾何作圖三大問題：化圓為方、三

2、等分角和二倍立方約公元前450年希臘埃利亞學(xué)派的芝諾提出悖論公元前430年希臘安提豐提出窮竭法約公元前380年希臘柏拉圖在雅典創(chuàng)辦學(xué)園，主張通過幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力公元前370年希臘歐多克索斯創(chuàng)立比例論約公元前335年歐多莫斯著幾何學(xué)史中國籌算記數(shù)，采用十進位值制約公元前300年希臘歐幾里得著幾何原本，是用公理法建立演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范公元前287公元前212年希臘阿基米德，確定了大量復(fù)雜幾何圖形的面積與體積；給出圓周率的上下界；提出用力學(xué)方法推測問題答案，隱含近代積分論思想公元前230年希臘埃拉托塞尼發(fā)明“篩法”公元前225年希臘阿波羅尼奧斯著圓錐曲線論約公元前150年中國現(xiàn)存最早的

3、數(shù)學(xué)書算數(shù)書成書（19831984年間在湖北江陵出土）約公元前100年中國周髀算經(jīng)成書，記述了勾股定理中國古代最重要的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)經(jīng)歷代增補修訂基本定形（一說成書年代為公元 50100年間），其中正負數(shù)運算法則、分數(shù)四則運算、線性方程組解法、比例計算與線性插值法盈不足術(shù)等都是世界數(shù)學(xué)史上的重要貢獻約公元62年希臘海倫給出用三角形三邊長表示面積的公式（海倫公式）約公元150年希臘托勒密著天文學(xué)，發(fā)展了三角學(xué)約公元250年希臘丟番圖著算術(shù)，處理了大量不定方程問題，并引入一系列縮寫符號，是古希臘代數(shù)的代表作約公元263年中國劉徽注解九章算術(shù)，創(chuàng)割圓術(shù)，計算圓周率,證明圓面積公式,推導(dǎo)四面體及四棱

4、錐體積等，包含有極限思想約公元300年中國孫子算經(jīng)成書，系統(tǒng)記述了籌算,記數(shù)制，卷下“物不知數(shù)”題是孫子剩余定理的起源公元320年希臘帕普斯著數(shù)學(xué)匯編，總結(jié)古希臘各家的研究成果,并記述了帕普斯定理和旋轉(zhuǎn)體體積計算法公元410年希臘許帕提婭，歷史上第一位女數(shù)學(xué)家，曾注釋歐幾里得、丟番圖等人著作公元462年中國祖沖之算出圓周率在 3.1415926與3.1415927之間,并以22/7為約率，355/113為密率（現(xiàn)稱祖率） 中國祖沖之和他的兒子祖暅提出“冪勢既同則積不容異”的原理，現(xiàn)稱祖暅原理，相當于西方的卡瓦列里原理(1635)公元499年印度阿耶波多著阿耶波多文集，總結(jié)了當時印度的天文、算術(shù)

5、、代數(shù)與三角學(xué)知識。已知=3.1416，嘗試以連分數(shù)解不定方程公元600年中國劉焯首創(chuàng)等間距二次內(nèi)插公式，后發(fā)展出不等間距二次內(nèi)插法（僧一行,724）和三次內(nèi)插法(郭守敬，1280)約公元625年中國王孝通著緝古算經(jīng)，是最早提出數(shù)字三次方程數(shù)值解法的著作公元628年印度婆羅摩笈多著婆羅摩歷算書，已知圓內(nèi)接四邊形面積計算法，推進了一、二次不定方程的研究公元656年中國李淳風等注釋十部算經(jīng)，后通稱算經(jīng)十書公元820年阿拉伯花拉子米著代數(shù)學(xué)，以二次方程求解為主要內(nèi)容，12世紀該書被譯成拉丁文傳入歐洲約公元870年印度出現(xiàn)包括零的十進制數(shù)碼，后傳入阿拉伯演變?yōu)楝F(xiàn)今印度阿拉伯數(shù)碼約公元1050年中國賈憲

6、提出二項式系數(shù)表（現(xiàn)稱賈憲三角和增乘開方法公元1100年阿拉伯奧馬海亞姆首創(chuàng)用兩條圓錐曲線的交點來表示三次方程的根公元1150年印度婆什迦羅第二著婆什迦羅文集為中世紀印度數(shù)學(xué)的代表作，其中給出二元不定方程x2=1+py2若干特解，對負數(shù)有所認識，并使用了無理數(shù)公元1202年意大利l.斐波那契著算盤書，向歐洲人系統(tǒng)地介紹了印度阿拉伯數(shù)碼及整數(shù)、分數(shù)的各種算法公元1247年中國秦九韶著數(shù)書九章，創(chuàng)立解一次同余式的大衍求一術(shù)和求高次方程數(shù)值解的正負開方術(shù)，相當于西方的霍納法(1819)公元1248年中國李冶著測圓海鏡，是中國現(xiàn)存第一本系統(tǒng)論述天元術(shù)的著作約公元1250年阿拉伯納西爾丁圖西開始使三角學(xué)

7、脫離天文學(xué)而獨立,將歐幾里得幾何原本譯為阿拉伯文公元1303年中國朱世杰著四元玉鑒，將天元術(shù)推廣為四元術(shù)，研究高階等差數(shù)列求和問題公元1325年英國t.布雷德沃丁將正切、余切引入三角計算公元14世紀珠算在中國普及約公元1360年法國n.奧爾斯姆撰比例算法，引入分指數(shù)概念，又在論圖線等著作中研究變化與變化率，創(chuàng)圖線原理，即用經(jīng)、緯度(相當于橫、縱坐標)表示點的位置并進而討論函數(shù)圖像公元1427年阿拉伯卡西著算術(shù)之鑰，系統(tǒng)論述算術(shù)、代數(shù)的原理、方法，并在圓周論中求出圓周率17位準確數(shù)字公元1464年德國j.雷格蒙塔努斯著論一般三角形，為歐洲第一本系統(tǒng)的三角學(xué)著作，其中出現(xiàn)正弦定律公元1482年歐幾

8、里得幾何原本(拉丁文譯本)首次印刷出版公元1489年捷克韋德曼最早使用符號、表示加、減運算公元1545年意大利g.卡爾達諾的大術(shù)出版，載述了s費羅(1515)、n.塔爾塔利亞(1535)的三次方程解法和l.費拉里(1544)的四次方程解法公元1572年意大利r.邦貝利的代數(shù)學(xué)出版，指出對于三次方程的不可約情形，通過虛數(shù)運算必可得三個實根，給出初步的虛數(shù)理論公元1585年荷蘭s.斯蒂文創(chuàng)設(shè)十進分數(shù)(小數(shù))的記法公元1591年法國f.韋達著分析方法入門，引入大量代數(shù)符號，改良三、四次方程解法，指出根與系數(shù)的關(guān)系，為符號代數(shù)學(xué)的奠基者公元1592年中國程大位寫成直指算法統(tǒng)宗，詳述算盤的用法，載有大量

9、運算口訣，該書明末傳入日本、朝鮮公元1606年中國徐光啟和利瑪竇合作將歐幾里得幾何原本前六卷譯為中文公元1614年英國j.納皮爾創(chuàng)立對數(shù)理論公元1615年德國開普勒著酒桶新立體幾何，有求酒桶體積的方法，是阿基米德求積方法向近代積分法的過渡公元1629年荷蘭吉拉爾最早提出代數(shù)基本定理 法國p.de 費馬已得解析幾何學(xué)要旨，并掌握求極大極小值方法公元1635年意大利（f.）b.卡瓦列里建立“不可分量原理”公元1637年法國r.笛卡兒的幾何學(xué)出版，創(chuàng)立解析幾何學(xué) 法國p.de費馬提出“費馬大定理”公元1639年法國g.德扎格著試論處理圓錐與平面相交況初稿，為射影幾何先驅(qū)情公元1640年法國b.帕斯卡

10、發(fā)表圓錐曲線論公元1642年法國b.帕斯卡發(fā)明加減法機械計算機公元1655年英國j.沃利斯著無窮算術(shù),導(dǎo)入無窮級數(shù)與無窮乘積,首創(chuàng)無窮大符號公元1657年荷蘭c.惠更斯著論骰子游戲的推理，引入數(shù)學(xué)期望概念，是概率論的早期著作。在此以前b.帕斯卡、p.de費馬等已由處理賭博問題而開始考慮概率理論公元1665年英國i.牛頓一份手稿中已有流數(shù)術(shù)的記載，這是最早的微積分學(xué)文獻，其后他在無窮多項方程的分析（1669年撰，1711年發(fā)表）、流數(shù)術(shù)方法與無窮級數(shù)（1671年撰, 1736年發(fā)表）等著作中進一步發(fā)展流數(shù)術(shù)并建立微積分基本定理公元1666年德國g.w.萊布尼茨寫成論組合的技術(shù)，孕育了數(shù)理邏輯思想

11、公元1670年英國i.巴羅著幾何學(xué)講義，引進“微分三角形”概念約公元1680年日本関孝和始創(chuàng)和算，引入行列式概念，開創(chuàng)“圓理”研究公元1684年德國g.w.萊布尼茨在學(xué)藝上發(fā)表第一篇微分學(xué)論文一種求極大極小與切線的新方法，兩年后又發(fā)表第一篇積分學(xué)論文，創(chuàng)用積分符號公元1687年英國i.牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理出版，首次以幾何形式發(fā)表其流數(shù)術(shù)公元1689年瑞士約翰第一伯努利提出最速降曲線問題，后導(dǎo)致變分法的產(chǎn)生.法國g.-f.-a.de 洛必達出版無窮小分析,其中載有求極限的洛必達法則公元1707年英國i.牛頓出版廣義算術(shù)，闡述了代數(shù)方程理論公元1713年瑞士雅各布第一伯努利的 猜度術(shù)出版，載有

12、伯努利大數(shù)律公元1715年英國b.泰勒出版正的和反的增量方法，內(nèi)有他1712年發(fā)現(xiàn)的把函數(shù)展開成級數(shù)的泰勒公式公元1722年法國a.棣莫弗給出棣莫弗公式公元1730年蘇格蘭j.斯特林發(fā)表微分法，或關(guān)于無窮級數(shù)的簡述，其中給出了 n!的斯特林公式公元1731年法國a.c.克萊羅著關(guān)于雙重曲率曲線的研究，開創(chuàng)了空間曲線的理論公元1736年瑞士l.歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題公元1742年英國c.馬克勞林出版流數(shù)通論，試圖用嚴謹?shù)姆椒▉斫⒘鲾?shù)學(xué)說，其中給出了馬克勞林展開公元1744年瑞士l.歐拉著尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧，標志著變分法作為一個新的數(shù)學(xué)分支的誕生公元1747年法國j.le

13、 r. 達朗貝爾發(fā)表弦振動研究,導(dǎo)出了弦振動方程,是偏微分方程研究的開端公元1748年瑞士l.歐拉出版無窮小分析引論，與后來發(fā)表的微分學(xué)(1755)和積分學(xué)(1770)一起，以函數(shù)概念為基礎(chǔ)綜合處理微積分理論，給出了大量重要的結(jié)果，標志著微積分發(fā)展的新階段公元1750年瑞士g.克萊姆給出解線性方程組的克萊姆法則瑞士l.歐拉發(fā)表多面體公式:v - e + f = 2公元1770年法國j.l.拉格朗日深入探討代數(shù)方程根式求解問題，考慮有理函數(shù)當變量發(fā)生置換時所取值的個數(shù)，成為置換群論的先導(dǎo)德國j.h.朗伯開創(chuàng)雙曲函數(shù)的全面研究公元1777年法國g.-l.l.de布豐提出投針問題,是幾何概率理論的早

14、期研究公元1779年法國é.貝祖著代數(shù)方程的一般理論，系統(tǒng)論述消元法理論公元1788年法國j.l.拉格朗日的分析力學(xué)出版，使力學(xué)分析化，并總結(jié)了變分法的成果公元1794年法國a.m.勒讓德的幾何學(xué)基礎(chǔ)出版，是當時標準的幾何教科書法國建立巴黎綜合工科學(xué)校和巴黎高等師范學(xué)校公元1795年法國g.蒙日發(fā)表關(guān)于把分析應(yīng)用于幾何的活頁論文,成為微分幾何學(xué)先驅(qū)公元1797年法國j.-l.拉格朗日著解析函數(shù)論，主張以函數(shù)的冪級數(shù)展開為基礎(chǔ)建立微積分理論 挪威c.韋塞爾最早給出復(fù)數(shù)的幾何表示公元1799年法國g.蒙日出版畫法幾何學(xué)，使畫法幾何成為幾何學(xué)的一個專門分支 德國c.f.高斯給出代數(shù)基本

15、定理的第一個證明公元1799 1825年法國p.-s.拉普拉斯的5卷巨著天體力學(xué)出版，其中包含了許多重要的數(shù)學(xué)貢獻，如拉普拉斯方程、位勢函數(shù)等 公元1801年德國c.f.高斯的算術(shù)研究出版，標志著近代數(shù)論的起點公元1802年法國j.é.蒙蒂克拉與j.de拉朗德合撰的數(shù)學(xué)史共4卷全部出版,成為最早的較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史著作.公元1807年法國j.b.j.傅里葉在熱傳導(dǎo)研究中提出任意函數(shù)的三角級數(shù)表示法（傅里葉級數(shù)），他的思想總結(jié)在1822年發(fā)表的熱的解析理論中公元1810年法國j.d.熱爾崗創(chuàng)辦純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年刊，這是最早的專門數(shù)學(xué)期刊公元1812年英國劍橋分析學(xué)會成立 法國 p.-s.

16、拉普拉斯著概率的解析理論,提出概率的古典定義,將分析工具引入概率論公元1814年法國 a.-l.柯西宣讀復(fù)變函數(shù)論第一篇重要論文關(guān)于定積分理論的報告（1827年正式發(fā)表），開創(chuàng)了復(fù)變函數(shù)論的研究公元1817年捷克b.波爾查諾著純粹分析的證明，首次給出連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的恰當定義，提出一般級數(shù)收斂性的判別準則。公元1818年法國s.-d.泊松導(dǎo)出波動方程解的泊松公式公元1821年法國a.-l.柯西出版代數(shù)分析教程，引進不一定具有解析表達式的函數(shù)概念；獨立于b.波爾查諾提出極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等定義和級數(shù)收斂判別準則，是分析嚴密化運動中第一部影響深遠的著作公元1822年法國j.v.彭賽列著論圖形的射影性質(zhì)，

17、奠定了射影幾何學(xué)基礎(chǔ)公元1826年挪威n.h.阿貝j著關(guān)于很廣一類超越函數(shù)的一個一般性質(zhì)，開創(chuàng)了橢圓函數(shù)論研究 德國a.l.克雷爾創(chuàng)辦純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志法國j.-d.熱爾崗與j.-v.彭賽列各自建立對偶原理公元1827年德國c.f.高斯著關(guān)于曲面的一般研究，開創(chuàng)曲面內(nèi)蘊幾何學(xué)德國a.f.麥比烏斯著重心演算，引進齊次坐標，與j.普呂克等開辟了射影幾何的代數(shù)方向公元1828年英國g.格林著數(shù)學(xué)分析在電磁理論中的應(yīng)用，發(fā)展位勢理論公元1829年德國c.g.j.雅可比著橢圓函數(shù)論新基礎(chǔ)，是橢圓函數(shù)理論的奠基性著俄國.羅巴切夫斯基發(fā)表最早的非歐幾何論著論幾何基礎(chǔ)公元1829年1832年法國e.伽羅瓦徹底

18、解決代數(shù)方程根式可解性問題，確立了群論的基本概念公元1830年英國g.皮科克著代數(shù)通論，首創(chuàng)以演繹方式建立代數(shù)學(xué)，為代數(shù)中更抽象的思想鋪平了道路公元1832年匈牙利j.波爾約發(fā)表絕對空間的科學(xué)，獨立于.羅巴切夫斯基提出了非歐幾何思想 瑞士j.施泰納著幾何形的相互依賴性的系統(tǒng)發(fā)展，利用射影概念從簡單結(jié)構(gòu)構(gòu)造復(fù)雜結(jié)構(gòu)，發(fā)展了射影幾何公元1836年法國j.劉維爾創(chuàng)辦法文的純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志公元1837年德國p.g.l.狄利克雷提出現(xiàn)今通用的函數(shù)定義(變量之間的對應(yīng)關(guān)系)公元1840年法國a.-l.柯西證明了微分方程初值問題解的存在性公元18411856年德國k.（t.w.）外爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴密化

19、的工作，主張將分析建立在算術(shù)概念的基礎(chǔ)之上，給出極限的說法和級數(shù)一致收斂性概念；同時在冪級數(shù)基礎(chǔ)上建立復(fù)變函數(shù)論公元1843年英國w.r.哈密頓發(fā)現(xiàn)四元數(shù)公元1844年德國e.e.庫默爾創(chuàng)立理想數(shù)的概念 德國h.g.格拉斯曼出版線性擴張論。建立n個分量的超復(fù)數(shù)系,提出了一般的n維幾何的概念公元1847年德國k.g.c.von 施陶特著位置的幾何學(xué)，不依賴度量概念建立射影幾何體系公元18491854年英國的a.凱萊提出抽象群概念公元1851年德國（ g.f.）b.黎曼著單復(fù)變函數(shù)的一般理論基礎(chǔ)，給出單值解析函數(shù)的黎曼定義，創(chuàng)立黎曼面的概念，是復(fù)變函數(shù)論的一篇經(jīng)典性論文公元1854年德國（g.f.

20、）b.黎曼著關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè),創(chuàng)立n維流形的黎曼幾何學(xué)英國g.布爾出版思維規(guī)律的研究，建立邏輯代數(shù)（即布爾代數(shù)）公元1855年英國a.凱萊引進矩陣的基本概念與運算公元1858年德國（g.f.）b.黎曼給出函數(shù)的積分表示與它滿足的函數(shù)方程，提出黎曼猜想德國a. f. 麥比烏斯發(fā)現(xiàn)單側(cè)曲面（麥比烏斯帶）公元1859年中國李善蘭與英國的偉烈亞力合譯的代數(shù)學(xué)、代微積拾級以及幾何原本后9卷中文本出版,這是翻譯西方近代數(shù)學(xué)著作的開始。 中國李善蘭建立了著名的組合恒等式（李善蘭恒等式）公元1861年德國k.(t.w.)外爾斯特拉斯在柏林講演中給出連續(xù)但處處不可微函數(shù)的例子公元1863年德國p.g.l.狄利

21、克雷出版數(shù)論講義，是解析數(shù)論的經(jīng)典文獻公元1865年倫敦數(shù)學(xué)會成立，是歷史上第一個成立的數(shù)學(xué)會公元1866年俄國.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立關(guān)于獨立隨機變量序列的大數(shù)律，成為概率論研究的中心課題公元1868年意大利e.貝爾特拉米著論非歐幾何學(xué)的解釋，在偽球面上實現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何，這是第一個非歐幾何模型 德國（g.f.）b.黎曼的用三角級數(shù)表示函數(shù)的可表示性正式發(fā)表，建立了黎曼積分理論公元1871年德國（c.）f.克萊因在射影空間中適當引進度量而得到雙曲幾何與橢圓幾何，這是不用曲面而獲得的非歐幾何模型 德國g.（f.p.）康托爾在三角級數(shù)表示的惟一性研究中首次引進了無窮集合的概念，并在以后

22、的一系列論文中奠定了集合論的基礎(chǔ)公元1872年德國（c.）f.克萊因發(fā)表埃爾朗根綱領(lǐng)，建立了把各種幾何學(xué)看作為某種變換群的不變量理論的觀點，以群論為基礎(chǔ)統(tǒng)一幾何學(xué) 實數(shù)理論的確立：g.（f.p.）康托爾的基本序列論；j.w.r.戴德金的分割論；k.(t.w.)外爾斯特拉斯的單調(diào)序列論公元1873年法國c.埃爾米特證明e的超越性公元1874年挪威m.s.李開創(chuàng)連續(xù)變換群的研究，現(xiàn)稱李群理論公元1879年德國（f.l.）g.弗雷格出版概念語言,建立量詞理論,給出第一個嚴密的邏輯公理體系，后又出版算術(shù)基礎(chǔ)(1884)等著作，試圖把數(shù)學(xué)建立在邏輯的基礎(chǔ)上公元18811884年德國(c.)f.克萊因與法

23、國（j.）h.龐加萊創(chuàng)立自守函數(shù)論公元18811886年法國（j.）h.龐加萊關(guān)于微分方程確定的曲線的論文，創(chuàng)立微分方程定性理論公元1882年德國m.帕施給出第一個射影幾何公理系統(tǒng)德國f.von林德曼證明的超越性公元1887年法國（j.）g.達布著曲面的一般理論，發(fā)展了活動標架法公元1889年意大利g.皮亞諾著算術(shù)原理新方法，給出自然數(shù)公理體系公元1894年荷蘭t.（j.）斯蒂爾杰斯發(fā)表連分數(shù)的研究，引進新的積分（斯蒂爾杰斯積分）公元1895年法國（j.）h.龐加萊著位置幾何學(xué)，創(chuàng)立用剖分研究流形的方法，為組合拓撲學(xué)奠定基礎(chǔ)公元1896年德國f.g.弗羅貝尼烏斯開始群的表示理論的系統(tǒng)研究德國h

24、.閔科夫斯基著數(shù)的幾何，創(chuàng)立系統(tǒng)的數(shù)的幾何理論法國j.（-s.）阿達馬與瓦里-布桑證明素數(shù)定理公元1897年第一屆國際數(shù)學(xué)家大會在瑞士蘇黎世舉行公元1898年英國k.皮爾遜創(chuàng)立描述統(tǒng)計學(xué)公元1899年德國d.希爾伯特出版幾何基礎(chǔ)，給出歷史上第一個完備的歐幾里得幾何公理系統(tǒng),開創(chuàng)了公理方法,并預(yù)示了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的形式主義觀點公元1900年德國d.希爾伯特在巴黎第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上作題為數(shù)學(xué)問題的報告。提出了23個著名的數(shù)學(xué)問題 希臘數(shù)學(xué)古代世界邏輯思維發(fā)展的高峰希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史可以分為三個時期第一個時期從伊奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止，約為公元前七世紀中葉到公元前三世紀；第二個時期是亞歷山大前期，

25、從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三個時期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時期，結(jié)束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)。 希臘古典時期的數(shù)學(xué)（公元前6世紀-公元前3世紀） 這一時期始于泰勒斯為首的伊奧尼亞學(xué)派，其貢獻在于開創(chuàng)了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達哥拉斯領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學(xué)團體，以“萬物皆數(shù)”為信條，將數(shù)學(xué)理論從具體的事物中抽象出來，給予數(shù)學(xué)以特殊獨立的地位。公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化 中心，各種學(xué)術(shù)思想在雅典爭奇斗妍，演說和辯論時有所見，在這種氣氛下，數(shù)學(xué)開始從個別學(xué)派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣

26、闊的天地里。埃利亞學(xué)派的芝諾提出四個著名的悖論（二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場問題），迫使哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家深入思考無窮的問題。智人學(xué)派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學(xué)從實際應(yīng)用向演繹 體系靠攏的又一步。 正因為三大問題不能用標尺解出，往往使研究者闖入未知的領(lǐng)域中，作出 新的發(fā)現(xiàn)：圓錐曲線就是最典型的例子；“化圓為方”問題亦導(dǎo)致了圓周率和窮竭法的探討。哲學(xué)家柏拉圖在雅典創(chuàng)辦著名的柏拉圖學(xué)園，培養(yǎng)了一大批數(shù)學(xué)家，成為早期畢氏學(xué)派和后來長期活躍的亞歷山大學(xué)派之間聯(lián)系的紐帶。歐多克斯（Eudoxus）是該學(xué)園最著名的人物之一，

27、他創(chuàng)立了同時適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德是形式邏輯的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。亞歷山大時期的數(shù)學(xué) （公元前146年，希臘陷于羅馬為止）這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界 ，分為前后兩期。亞歷山大前期出現(xiàn)了希臘數(shù)學(xué)的黃金時期，代表人物是名垂千古的三大幾何學(xué)家：歐幾里得、阿基米德及阿波洛尼烏斯。歐幾里得總結(jié)古典希臘數(shù)學(xué)，用公理方法整理幾何學(xué)，寫成13卷幾何原本。這部劃時代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范。阿基米德是最偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和機械師。他將實驗的經(jīng)驗研究方法和幾何學(xué)的演繹推理

28、方法有機地結(jié)合起來，使力學(xué)科學(xué)化，既有定性分析，又有定量計算。阿基米德在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域涉及的范圍也很廣，其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。亞歷山大后期亞歷山大后期是在羅馬人統(tǒng)治下的時期，幸好希臘的文化傳統(tǒng)未被破壞，學(xué)者還可繼續(xù)研究，然而已沒有前期那種磅祌的氣勢。這時期出色的數(shù)學(xué)家有海倫、托勒密、丟番圖和帕波斯。丟番圖的代數(shù)學(xué)在希臘數(shù)學(xué)中獨樹一幟；帕波斯的工作是前期學(xué)者研究成果的總結(jié)和補充。之后希臘數(shù)學(xué)處于停滯狀態(tài)。公元415年新柏拉圖學(xué)派的領(lǐng)袖女數(shù)學(xué)家希帕提婭遭到基督徒的野蠻殺害。她的死標志著希臘文明的衰弱，亞歷山大里亞大學(xué)有創(chuàng)造力的日子也隨之一去

29、不復(fù)返了。公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼下令關(guān)閉雅典的學(xué)校，嚴禁研究和傳播數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)發(fā)展再次受到致命的打擊。公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數(shù)學(xué)悠久燦爛的歷史，至此終結(jié)。總之希臘數(shù)學(xué)的成就是輝煌的，它所創(chuàng)造的精神財富，不論在數(shù)量還是質(zhì)量上來說都可以說是首屈一指的。 更重要的是，希臘數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)科學(xué)從哲學(xué)中分離出來，使它成為一門獨立的學(xué)科。古代巴比倫人和古埃及人雖然積累了大量的數(shù)學(xué)知識，但他們只能回答“應(yīng)該怎么做”，卻無法回答“為什么要這樣做”。古希臘人在學(xué)習(xí)研究前人的數(shù)學(xué)知識之后，他們進行了有意識研究和系統(tǒng)的總結(jié)，他們用科學(xué)嚴謹?shù)木?/p>

30、，從一些公理的確認、到數(shù)學(xué)概念的嚴格定義、到一個數(shù)學(xué)命題和定理的演繹推理過程等，要求每一個環(huán)節(jié)都是清晰的、無矛盾的。他們認為用這種演繹推理的方法產(chǎn)生的知識才是正確可靠的。正是古希臘數(shù)學(xué)家們以這種科學(xué)的精神與態(tài)度對數(shù)學(xué)所做系統(tǒng)的研究與發(fā)展，才使早期的“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”很快地就向“理論數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化，對數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展都起了至關(guān)重要的推動作用。 希臘數(shù)學(xué)代表著人類理性思維發(fā)展的重要進展與成就，所以人們說，古希臘的數(shù)學(xué)不愧為現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)的搖籃。文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)直到12世紀，歐洲數(shù)學(xué)才出現(xiàn)復(fù)蘇的跡象。這種復(fù)蘇開始是由于翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激。大約在1100年左右，歐洲人通過貿(mào)易和旅游，同阿拉伯

31、人以及東羅馬帝國的拜占庭人發(fā)生了接觸。十字軍為掠奪土地的東征，使歐洲人進入了阿拉伯世界，從此歐洲人從阿拉伯人和拜占庭人那里學(xué)到希臘以及東方古典的學(xué)術(shù)，激發(fā)他們搜尋、發(fā)掘與研究這些學(xué)術(shù)著作的興趣，并導(dǎo)致了文藝復(fù)興時期歐洲數(shù)學(xué)的高漲。而意大利由于其特殊的地理位置更容易與其他文明相聯(lián)系，西西里島成為東西方文化的交匯之處，也是文藝復(fù)興的前哨。數(shù)學(xué)著作的翻譯主要有英國阿德拉特(約1120)翻譯的幾何原本和花拉子米的天文表；意大利人狄奧多修斯翻譯的球面幾何。12世紀最偉大的翻譯家格拉多（gherardo,11141187）將90多部阿拉伯文著作翻譯成拉丁文，其中包括幾何原本、托勒密的大匯編、花拉子米的代數(shù)

32、學(xué)，因此人們稱12世紀是歐洲數(shù)學(xué)的翻譯時代。歐洲黑暗時代以后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家是斐波那契(11701250)，他早年就隨其父親在北非從師阿拉伯人學(xué)習(xí)算學(xué)，后又游歷地中海沿岸諸國，回到意大利后他撰寫了算盤書(1202)，這部著作包含了古代中國（如中國數(shù)學(xué)的“孫子問題”，“百雞問題”均出現(xiàn)于該書中）、印度的數(shù)字，分數(shù)算法，開方法，二次和三次方程，不定方程和希臘的數(shù)學(xué)著作幾何原本和希臘三角學(xué)的大部分內(nèi)容。特別是他在書中系統(tǒng)地介紹了印度數(shù)字系統(tǒng)，對歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。算盤書可以看成是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長的黑夜之后走向復(fù)蘇的信號。歐洲數(shù)學(xué)復(fù)蘇的過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會

33、中的經(jīng)院哲學(xué)派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學(xué)的進步。特別是他們把亞里士多德、托勒密的一些學(xué)術(shù)奉為絕對正確的教條，用新的權(quán)威主義來繼續(xù)束縛人們的思想。歐洲數(shù)學(xué)真正的復(fù)蘇，要到15、16世紀。在文藝復(fù)興的高潮中，數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起，數(shù)學(xué)在認識自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興的代表人物高度強調(diào)。達芬奇(14521519)就這樣說過：“一個人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就是陷入混亂，他永遠不能平息詭辯科學(xué)中只會導(dǎo)致不斷空談的爭辯。因為人們的探討不能稱為科學(xué)的，除非通過數(shù)學(xué)上的說明和論證。” 伽利略認為宇宙“這本書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的”。科學(xué)中數(shù)學(xué)化趨勢的增長促使數(shù)學(xué)本身走向

34、繁榮。十四至十六世紀在歐洲歷史上是從中世紀向近代過渡的時期，史稱文藝復(fù)興時期。中世紀束縛人們思想的宗教觀、神學(xué)和經(jīng)院哲學(xué)逐步被摧毀，出現(xiàn)了復(fù)興古代科學(xué)和藝術(shù)的文化運動。在自然科學(xué)方面，如哥倫布地理上的大發(fā)現(xiàn)、哥白尼的日心說、伽利略在數(shù)學(xué)物理上的創(chuàng)造發(fā)明等革命性事件相繼發(fā)生。這一時期，在數(shù)學(xué)中首先發(fā)展起來的是透視法。藝術(shù)家們把描述現(xiàn)實世界作為繪畫的目標，研究如何把三維的現(xiàn)實世界繪制在二維的畫布上。他們研究繪畫的數(shù)學(xué)理論，建立了早期的數(shù)學(xué)透視法思想，這些工作成為十八世紀射影幾何的起點。其中最著名的代表人物有：意大利的達.芬奇、阿爾貝蒂，弗朗西斯卡、德國的丟勒等。文藝復(fù)興時期更出版了一批普及的算術(shù)書

35、，內(nèi)容多是用于商業(yè)、稅收測量等方面的實用算術(shù)。印度阿拉伯數(shù)碼的使用使算術(shù)運算日趨標準化。L.帕奇歐里（Pacioli）的算術(shù)、幾何及比例性質(zhì)之摘要（1494）是一本內(nèi)容全面的數(shù)學(xué)書；維德曼的商業(yè)速算法（1489）中首次使用符號“+”和“-”表示加法和減法；A.里澤Riese于1522年出版的算術(shù)書多次再版，有廣泛的影響；斯蒂文的論十進制1585系統(tǒng)闡述了十進分數(shù)的理論。代數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興時期獲得了重要發(fā)展。最杰出的成果是意大利學(xué)者所建立的三、四次方程的解法。卡爾達諾在他的著作大術(shù)（1545）中發(fā)表了三次方程的求根公式，但這一公式的發(fā)現(xiàn)實應(yīng)歸功于另一學(xué)者塔爾塔利亞。四次方程的解法由卡爾達諾的學(xué)生費

36、拉里發(fā)現(xiàn)，在大術(shù)中也有記載。稍后，鮑貝利在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用了虛數(shù)，還改進了當時流行的代數(shù)符號。符號代數(shù)學(xué)的最終確立是由16世紀最著名的法國數(shù)學(xué)家韋達完成的。他在前人工作的基礎(chǔ)上，于1591年出版了名著分析方法入門，對代數(shù)學(xué)加以系統(tǒng)的整理，并第一次自覺地使用字母來表示未知數(shù)和已知數(shù)，使代數(shù)學(xué)的形式更抽象，應(yīng)用更廣泛。韋達在他的另一部著作論方程的識別與訂正（1615）中，改進了三、四次方程的解法，還對n = 2、3的情形，建立了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)代稱之為韋達定理。在文藝復(fù)興時期，三角學(xué)也獲得了較大的發(fā)展。德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯的論各種三角形是歐洲第一部獨立于天文

37、學(xué)的三角學(xué)著作。書中對平面三角和球面三角進行了系統(tǒng)的闡述，還有很精密的三角函數(shù)表。哥白尼的學(xué)生雷蒂庫斯在重新定義三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，制作了更多精密的三角函數(shù)表。文藝復(fù)興時期在文學(xué)、繪畫、建筑、天文學(xué)各領(lǐng)域都取得了巨大的成就，在數(shù)學(xué)方面則主要是在中世紀大翻譯運動的基礎(chǔ)上，吸收希臘和阿拉伯的數(shù)學(xué)成果，從而建立了數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)的密切聯(lián)系，為下兩個世紀數(shù)學(xué)的大發(fā)展作了準備。古代中國數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科，根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。一、中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進一步的發(fā)展

38、，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。西安半坡出土的陶器有用18個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據(jù)史記夏本紀記載，夏禹治水時已使用了這些工具。商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。公元前一世紀的周髀

39、算經(jīng)提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。禮記內(nèi)則篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓(xùn)練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時代意義的。這個時期的測量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。 戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無

40、窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。 而墨家則認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。 墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。 名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。二、中國古代數(shù)學(xué)體系的形成 秦漢是封

41、建社會的上升時期，經(jīng)濟和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術(shù)已成為一個專門的學(xué)科，以及以九章算術(shù)為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。 九章算術(shù)是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)

42、完全不同的獨立體系。 九章算術(shù)有幾個顯著的特點：采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。 這些特點是同當時社會條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時期，一切科學(xué)技術(shù)都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會生產(chǎn)服務(wù)，強調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書于東漢初年的九章算術(shù)，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法，這與當時社會的發(fā)展情況是完全一致的。 九章算術(shù)在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進位值制、今有

43、術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。三、中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注周髀算經(jīng)，漢末魏初徐岳撰九章算術(shù)注，魏末晉初劉徽撰九章算術(shù)注、九章重差圖都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在周髀算經(jīng)書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“

44、日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴格的定義，認為對數(shù)學(xué)知識必須進行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴密，利于讀者。他的九章算術(shù)注不僅是對九章算術(shù)的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)

45、鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟文化南移以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽注九章算術(shù)的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計算出圓周率在3.14159263.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數(shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西

46、方領(lǐng)先約一千年之久。祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的緝古算經(jīng)，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館

47、，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風等編纂注釋算經(jīng)十書，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的算經(jīng)十書，對保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給周髀算經(jīng)、九章算術(shù)以及海島算經(jīng)所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承

48、了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應(yīng)用。唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法，從新唐書等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。四、中國古代數(shù)學(xué)的繁榮960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第一次

49、印刷出版了算經(jīng)十書，1213年鮑搟之又進行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。從1114世紀約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲的黃帝九章算法細草，劉益的議古根源，秦九韶的數(shù)書九章，李冶的測圓海鏡和益古演段，楊輝的詳解九章算法日用算法和楊輝算法，朱世杰的算學(xué)啟蒙四元玉鑒等，很多領(lǐng)域都達到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當時世界數(shù)學(xué)的高峰。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在九章算法纂類中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在詳解九章算法中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。

50、根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負的情形)解法的是劉益。楊輝算法中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在數(shù)書九章中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數(shù)項規(guī)定為負數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各

51、次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是九章算術(shù)和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在授時歷中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在四元玉鑒“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱為招差術(shù))，朱世杰得到一個四次函數(shù)的內(nèi)插公式。用天元（相當于x）作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題。現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的測圓海鏡。從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)

52、立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的四元玉鑒。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在算學(xué)啟蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解

53、勾股形的方法，補充了九章算術(shù)的不足。李冶在測圓海鏡對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容。 已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結(jié)果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數(shù)學(xué)意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。 中國古代計算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術(shù)書目，其數(shù)量遠比唐代為多，改

54、革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元代。 宋元數(shù)學(xué)的繁榮，是社會經(jīng)濟發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。此外，數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對理學(xué)家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源，但他后來認識到，“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的，只有“經(jīng)世務(wù)類萬物”的數(shù)學(xué)；莫若在四元玉鑒序文中提出的“用假象真，以虛問實”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結(jié)構(gòu)進行研究，揭示出洛書的本質(zhì)，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所

55、有這些，無疑是促進數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。中西方數(shù)學(xué)的融合中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統(tǒng)治者實行極權(quán)統(tǒng)治，宣傳唯心主義哲學(xué)，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸衰落。16世紀末以后，西方初等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國，使中國數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)爭以后，近代數(shù)學(xué)開始傳入中國，中國數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一個以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時期；到19世紀末20世紀初，近代數(shù)學(xué)研究才真正開始。從明初到明中葉，商品經(jīng)濟有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初魁本對相四言雜字和魯班木經(jīng)的出現(xiàn)，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，后者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器家具手冊中。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實現(xiàn)了珠算四則運算的全部口訣化；朱載墑和程大位把籌算開平方和開立方的方法應(yīng)用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內(nèi)外流傳很廣，影響很大。1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以后，他先后與徐光啟翻譯