2023-2024學年第二學期高三年級教學質量檢測(省外8)

數學

(滿分：150分考試時間：120分鐘)

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.己知集合人=㈠|2*2+*—1<0},B={y|y=/g(x2+l)},貝|ACB=()

A.(-1,0]B.[0,1)C.(-1,0]D.[0,1)

2.若復數z滿足2z+3z=5—2i,則|z|=()

A.小B.2C.小D.乖

3.己知abWl,logam—2,/ogbm=3,則/ogabm=()

A.TB.TC.TD.7

OJOJ

4.將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同

的裝法種數為()

A.7B.8C.9D.10

5.設拋物線y2=2x的焦點為F,過拋物線上點P作其準線的垂線，設垂足為Q,若/PQF

=30°,則PQ=()

42近3^

zi.33?4、2

6.法布里貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應用時，用光波依次透過n層薄膜，記光

波的初始功率為Po,記Pk為光波經過第k層薄膜后的功率，假設在經過第k層薄膜時光波的

透過率Tk=B=玄，其中k=l,2,3…n,為使得言》2024,則n的最大值為()

A.31B.32C.63D.64

7.如圖，在函數f(x)=s譏?x+(p)的部分圖象中，若fl=AB，則點A的縱坐標為()

2fR小T

A.2,2

C.小~y[2D.2-小

8.在三棱錐PABC中，AB=2w，PC=1,PA+PB=4,CA—CB=2,且PC_LAB,

則二面角PABC的余弦值的最小值為()

A亞31迎

zi.3R42u.5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量〃=(cos仇sin3),b=(—3,4),則()

1

4-3

A.右a〃兒則tan<9=-gB.右a_L"則sin夕=5

C.la一加的最大值為6D.若/(a—/>)=0,貝電一方|=2加

10.將兩個各棱長均為1的正三棱錐DABC和EABC的底面重合，得到如圖所示的六面

體，則()

A.該幾何體的表面積為羋

B.該幾何體的體積為半

C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直

D.直線AD〃平面BCE

1—I—Y

11.已知函數加)=a(e*+l)lnq二彳)一-+1恰有三個零點，設其由小到大分別為的,檢，

%3，貝!1()

A.實數4的取值范圍是(0,E)B.XI+X2+X3=0

C.函數g(x)=/(x)+/一%)可能有四個零點D.；?=ex3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在△ABC中，其內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若8=竽，b=6,/+，

=2^2ac,則AABC的面積為.

13.設橢圓卷+f=1的左、右焦點為Q，B，過點后的直線與該橢圓交于A，8兩點，

若線段的中垂線過點Fi，則BJ=.

14.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，

容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰

倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結束.已知該粒

子初始位置在1號倉，則試驗結束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

各項均不為0的數列｛如｝對任意正整數w滿足2+2+-+^^=1—4.

。2。3anan+i2an+i

2

(1)若｛為｝為等差數列，求處；

2

(2)若ai=-7,求｛。〃｝的前“項和S”.

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐98c。中，底面ABC。是平行四邊形，PA=PB,DA=DB=y[2,AB

=2,PD=L點、E,尸分別為43和尸2的中點.

(1)求證：CFLPE；

(2)若PE=1,求直線CF與平面尸2。所成角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)

隨著科技發展的日新月異，人工智能融入了各個行業，促進了社會的快速發展.其中利

用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統的真人直播帶貨.某

公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角

色直播帶貨后的銷售金額情況統計.

2023年82023年92023年102023年112023年122024年1

月月月月月月

月份編號X123456

銷售金額

15.425.435.485.4155.4195.4

y/萬元

若y與尤的相關關系力以用線性回歸，慎型表示，回答如下問題：

(1)試求變量y與x的樣本相關系數《結果精確到0.01)；

(2)試求y關于x的經驗回歸方程，并據此預測2024年2月份該公司的銷售金額.

n

A_AIAAS(Xi-x)(%—y)

參考公式和數據：經驗回歸方程上=h7十a?其中"-------:——

X(X/-X)2

z=l

n

T-Xiyi—ivcyA—A—

二-----------,a=y=l)JC>

Z%?—nx1

3

nn

Z（沏一x）（y「y）^iyi-nxy

樣本相關系數，一號-------F-------------------

（汨-x）弋石（y「y）2N條一4一孫②

6/g（?，一歹了

Z種=2463.4,7=20770.

4

18.(本小題滿分17分)

已知雙曲線E：，一*=1的左、右焦點為Fi，F2，其右準線為1,點F2到直線1的距

|,過點F?的動直線交雙曲線E于A,B兩點，當直線AB與x軸垂直時，AB=6.

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)設直線AFi與直線1的交點為P,求證：直線PB過定點.

19.(本小題滿分17分)

gX-1

已知函數f(x)=^^.

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(D)處的切線方程；

(2)求證：f(x)是其定義域上的增函數；

⑶若f(x)>ax,其中a>0且a#l,求實數a的值.

5

2023?2024學年第二學期高三年級教學質量檢測（湖北武漢）

數學參考答案及評分標準

1.B2.C3.D4.A5.A6.C7.B8.A9.ACD10.AC11.BCD

12.313.竿14.瞿

15.解：(1)由題意，-^―+~~H-----F---

。1〃2a2a3anan+i2Q〃+I

〃〃+1。八+22aH+2

兩式相減得-------=4（」一一」一），

。八+1。〃+2乙4八+2

化簡得斯+2—斯+1=2.

即數列｛斯｝是從第2項起公差為2的等差數列.

若數列｛斯｝是等差數列，則滿足42—41=2.

令〃=1,有=1—Y-,即〃2=工+].

2。2412

所以:=41+2,解得的=-2或〃1=口.

a\zz

由。2=。1+2/0,所以O分）

（2）?2=~+]=-3.

由（1）,數列｛斯｝是從第2項起公差為2的等差數列.

所以〃三2時，斯=奧+2（九一2）=2n—7.

(n—1)(故+斯)2

止匕時，="1+（〃2+。3+…+詼）=+

（〃一1）（—3+2〃一7）

2-

33

=*2

整理得Snn—6n-\~~（〃22）.

2

又Si=ai=一]也滿足上式，

一

233

所以Sn=n-6n+—.（13分）

16.（1）證明：如圖，取尸石的中點G,連接。G,FG.

由。A=Q5=也，AB=2,△0A3是等腰直角三角形.

此時。石=1,又尸。=1,所以PE_LZ）G.

因為陰=尸5,所以PEL4A

由尸G〃仍，所以PELLFG.

6

此時，CD"XB/IFG,有C,D,G,尸四點共面，

FGHDG=G,直線PE_L平面C￡)GE

由C尸u平面CDGF,所以CFLPE.Q分)

(2)解：由AB_LPE,ABIDE,5.PECiDE^E,所以直線AB_L平面P￡)E.

由PE=￡>E=PD=1,所以是等邊三角形.

以E為原點，EB,即所在直線分別為x軸、y軸，過點E且與平面A8CD垂直的直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

尸(0,；,坐),D(0,I,0),8(1,0,0),C(2,1,0),尸(；，(，坐),

DP=(0,一；,坐)，法=(1,-1,0),設平面的法向量”=(x,y,z),

1,^3

n-DP=0,一下+2z=0n)

由，_即《取z=l,得到平面尸8。的一個法向量”=(5，小,

ji-DB—Q,

1).

又危=(|,1,一坐).設直線CF與平面尸8。所成角的大小為仇

則sin0=|cos〈"，FC〉尸回Q=干生=￥

|?|.|FC|巾,小7

所以直線CF與平面PBD所成角的正弦值為平

.(15分)

1+2+3+4+5+6

17.解：(1)由已知可得尤3.5，y

6

15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4

6=854

又石(%,—X)2=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,

所以一(%,—%)2—y)2=20\/70，

6

Yxiyi-6xy2463.4—6X85.4X3.5670

則樣本相關系數r=i6—16=

勺石(x,—x)音(?-y)2軍X20^75700

^0.96.(8分)

(2)設y關于尤的經驗回歸方程為八，其中

6

4石孫—6xy2463.4—6X3.5X85.4268

￡(XLX)2(唔27

AA968

a=y~fX=S5A——Y~X3.5=-48.6,

所以y關于x的經驗回歸方程為夕=半x-48.6.

7

把x=7代入得=219.4(萬元).

所以預測2024年2月份該公司的直播銷售金額為219.4萬元.(15分)

18.(1)解：設雙曲線的半焦距為c,則右準線的方程為1：X穩.

a2卜2a

由題意，C——=—=2.

x2V2b2?b2

在方程苕=1中，令*=。,解得y=±/,所以.=6.

聯立解得a2=l,b2=3,

所以雙曲線E的標準方程為x2—9=1.(5分)

(2)證明：當直線AB與x軸不重合時，設其方程為x=my+2.

x2_j,

與雙曲線方程聯立：13'BP(3m2-l)y2+12my+9=0.

、x=my+2,

[,—12m

、yi-3m2-「

設A(xi，yi),B(X2，y2)，有＜

了42;/二i.

直線AFi的方程為丫=一七(x+2).

XlI乙

令x=|,得到點P坐標g,2(^+2)),

所以直線PB的方程為(X2—g)(y—y?)—(y2(^4-2)X2)J

令y=0,得到直線PB與x軸交點的橫坐標：

丫2(X22)xiy2-5x2yi+2y2(myi+2)y2-5(my2+2)yi+2y2

一5yl2xiy2—5yi+4y22(myi+2)丫2—5yi+4y2

y2-2(xi+2)

-4myiy2-10yi+4y2-4myiy2-10(yi+y2)+14y2

2myiy2-5yi+8y22myiy2-5(yi+y2)+13y2

—36m+120m+14(3m2—l)84m+14(3m2—l)14

18m+60m+13(3m2—1)78m+13(3m2—1)13,

14

所以直線PB過點噌，0).

14

當直線AB與x軸重合時，直線PB也與x軸重合，也過點（行，0）.

14

綜上所述，直線PB過定點（百，0）.（17分）

女(x11)ex+1

19.(1)解：f(x)=-----3-----

f(l)=l,f(l)=e—1.

8

故切線方程為y=x+e—2.(3分)

(2)證明：f(x)的定義域為(-8,0)U(0,+8).

令g(x)=(x—則g，(x)=xex,令g，(x)=O,得x=0.

當xVO時,gr(x)<0,g(x)單調遞減,g(x)>g(O)=O,所以？(x)>0,f(x)單調遞增;

當x>0時，或x)>0,g(x)單調遞增,g(x)>g(O)=O,所以？(x)>0,f(x)單調遞增.

所以f(x)在(一8,0)和(0,+8)上都是增函數.

令(p(x)=eX—l—x,(pr(x)=ex—1,令(p<x)=O,得x=0.

當x<0時，(pr(x)<0,(p(x)單調遞減；當x>0,(pr(x)>0,(p(x)單調遞增.

廿一1

x<0時，(p(x)>(p(O)=O,ex-l-x>0,所以f(x)=F-<1.