1、專題六：高考文科數學立體幾何題型與方法（文科）一、考點回顧1平面（1）平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。（2）證明點共線的問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據：由點在線上，線在面內 ，推出點在面內）， 這樣，可根據公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。（3）證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。（4）證共面問題一般用落入法或重合法。（5）經過不在同一條直線上的三點確定一個面.2. 空間直線.（1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有反

2、且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不同在任一平面內。（2）異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）（3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.（4）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（5）兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內. （l

3、1或l2在這個做出的平面內不能叫l1與l2平行的平面）3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）（3）直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直. 4 若，得（三垂線定理），得不出. 因為，但不垂直OA

4、.5 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.（5）a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.注：垂線在平面的射影為一個點. 一條直線在平面內的射影是一條直線.（×）b.射影定

5、理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上。4. 平面平行與平面垂直.（1）空間兩個平面的位置關系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.注：一平面間的任一直線平行于另一平面.（3）兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）（4）兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質判

6、定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.（5）兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因為則. （6）兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取加，為鈍角取減，綜上，都取加則必有）5. 錐、棱柱.（1）棱柱性質棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是全等的矩

7、形.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.注：棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）（直棱柱定義）棱柱有一條側棱和底面垂直.（2）棱錐性質：正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.（3）球：a.球的截面是一個圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.b.緯度、經度：緯度：地球上一點的緯度是指經過點的球

8、半徑與赤道面所成的角的度數.經度：地球上兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是點的經度.附：圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為半徑，為高）錐形體積：（為底面積，為高） （1）內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，得.注：球內切于四面體：。外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關系式.6. 空間向量.（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x、y、z，使.推論

9、：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序實數組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).注：設四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證.對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足，則四點P、A、B、C是共面（3）a.空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.令=(a1,a2,a3),，則， ， 。 (用到常用的向量模與向量之間的轉化：)空間兩個向量的夾角公式（a，b）。空間兩點的距離公式：.b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平

10、面的法向量. c.用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).點到平面的距離 （為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.直線與平面所成角(為平面的法向量).利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.知識網絡二、經典例題剖析考點一 空間向量及其運算例題1. 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件

11、，試判斷：點與是否一定共面？分析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序實數對，使或對空間任一點，有。解：由題意：，即，所以，點與共面點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然后對照形式將已知條件進行轉化運算例題2. 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，求證：平面分析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內的兩個不共線的向量和線性表示證明：如圖，因為在上，且，所以同理，又，所以又與不共線，根據共面向量定理，可知，共面由于不在平面內，所以平面點評：空間任意的兩向量都是共面的考點二 證明空間線面平行與垂直例題3

12、. 如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，點D是AB的中點， （I）求證：ACBC1； （II）求證：AC 1/平面CDB1；分析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.解法一：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC內的射影為BC， ACBC1；（II）設CB1與C1B的交點為E，連結DE， D是AB的中點，E是BC1的中點， DE/AC1， DE平面CDB1

13、，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標原點，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）設CB1與C1B的交戰為E，則E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.點評：平行問題的轉化：面面平行線面平行線線平行；主要依據是有關定義及判定定理和性質定理例題4. （北京市東城區

14、2007年綜合練習）如圖，在棱長為2的正方體的中點，P為BB1的中點. （I）求證：； （II）求證； （III）求異面直線所成角的大小. 分析：本小題考查直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.解法一：（I）連結BC1,由正方體的性質得BC1是BD1在平面BCC1B1內的射影，所以(II)又， （III）延長 由于正方體的棱長為2，即異面直線所成角的大小為arccos.解法二：（I）如圖建立空間直角坐標系.則B（2，2，0），C（0，2，0）,B1（2，2，2），D1（0，0，2）. 3分 （II），. （III），即異面直線所成角的大小為arccso點評：證明線面

15、垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直即可.這些從本題證法中都能十分明顯地體現出來考點三 求空間圖形中的角與距離根據定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統一.解題時注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是0°90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°180°，其方法是：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法另也可借助空間向量求這三種角的大小.例題5. （河南省開封市2007屆高三年級第三次質量檢測）在長方體ABCDA1B1C1D1

16、中，AA1=1，AD=DC=. （1）求直線A1C與D1C1所成角的正切值； （2）在線段A1C上有一點Q，且C1Q=C1A1，求平面QDC與平面A1DC所成銳二面角的大小.分析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法 求二面角的大小也可應用面積射影法，向量法辦 解法一：（I）為異面直線AC與D1C所成的角連AD，在RtADC中，CD=，AD=2， （II）過Q作EF（在平面AC內）使EF/AB，連B1C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1DC）即為二面角A1DCQ的平面角.，即所求二面角大小為30°解法二：（I）同解法一（I） （II

17、）建立空間直角坐標系，即平面QDC與平面A1DC所成銳二面角為點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.例題6. （福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱的所有棱長都是，是棱的中點，是棱的中點，交于點 （1）求證：； （2）求二面角的大小（用反三角函數表示）； （3）求點到平面的距離。分析：本題涉及立體幾何線面關系的有關知識, 本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中，要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.解答：（

18、1）證明：建立如圖所示， 即AEA1D， AEBD AE面A1BD（2）設面DA1B的法向量為由 取設面AA1B的法向量為 由圖可知二面角DBA1A為銳角，它的大小為arcos （3），平面A1BD的法向量取則B1到平面A1BD的距離d=點評：立體幾何的內容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內容,本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣坐標才比較好寫出來.考點四 探索性問題例題7. （四川省成都市2007屆高中畢業班第二次診斷

19、性檢測）如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABCA1B1C1中，點A1在底面ABC內的射影O恰為線段AC的中點. （I）求側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值； （II）已知點D為點B關于點O的對稱點，在直線AA1上是否存在點P，使DP平面AB1C？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.分析：1.先假設存在，再去推理，下結論： 2.運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據條件給出證明或計算。解：由已知可得AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則A（0，1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），

20、=（0，1，）.由=，可得B1（，1，）.=（，2，），=（0，2，0）.設平面AB1C的法向量為n=（x，y，1）.則解得n=（1，0，1）.由而側棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角，側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值 （II）由已知得D（，0，0）假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z）.DP平面AB1C，n=（1，0，1）為平面AB1C的法向量，故存在點P，使DP平面AB1C，其坐標為（0，0，），即恰好為A1點.點評：本題考查了線線關系，線面關系及其相關計算，本題采用探索式、開放式設問方式，對學生靈活運用知識解題提出了較高要求

21、。例題8. (2007安徽·文) 如圖，在三棱錐中，是的中點，且，（I）求證：平面平面；（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為解法1：（），是等腰三角形，又是的中點，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過點在平面內作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角依題意，所以在中，；在中，故當時，直線與平面所成的角為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，即，故交時，直線與平面所成的角為解法3：（）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示

22、的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設平面的一個法向量為，則由，得可取，又，于是，即故交時，即直線與平面所成角為考點五 折疊、展開問題例題9（2006年遼寧高考）已知正方形 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為 (I) 證明平面;(II)若為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,并求角的余弦值 分析:充分發揮空間想像能力，抓住不變的位置和數量關系，借助模型圖形得出結論，并給出證明.解析: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,EB/FD,且EB=FD,四邊形EBFD為平行四邊形 BF/ED.,平面

23、(II)如右圖,點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD ACD為正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分線上, 點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角 即.設原正方體的邊長為2a,連結AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, . 在RtADE中, ., 點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內的幾何元素相對位置和數量關系不變：位于兩個不同平面內的元素，位置和數量關系要發生變化，翻折

24、問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。考點六 球體與多面體的組合問題例題10設棱錐MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.分析：關鍵是找出球心所在的三角形，求出內切圓半徑.解： ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.記E是AD的中點，從而MEAD.ME平面AC，MEEF.設球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨設O平面MEF，于是O是MEF的內心.設球O的半徑為r，則r設ADEFa,SAMD1.ME.MF,r-1。當且僅當a，即a時，等號成立.當ADME時，滿足條件的球最大半徑為-1.點評：

25、涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系。注意多邊形內切圓半徑與面積和周長間的關系；多面體內切球半徑與體積和表面積間的關系。三、方法總結與2008年高考預測（一）方法總結1位置關系：（1）兩條異面直線相互垂直 證明方法：證明兩條異面直線所成角為90º；證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內的一個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。（3）直線和平面垂直證明方法：證

26、明直線和平面內兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個平面內不共線的兩個向量都垂直；證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直證明方法：證明這兩個平面所成二面角的平面角為90º；證明一個平面內的一條直線垂直于另外一個平面；證明兩個平面的法向量相互垂直。2求距離：求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉化成另外一個點到這個平面的距離。（1）兩條異面直線的距離求法：利用公式（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點，為這兩條異面直線的法向量）（2）點到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都

27、必須要清楚地寫出來。等體積法。向量法，利用公式（其中A為已知點，B為這個平面內的任意一點，這個平面的法向量）3求角（1）兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉化成相應的銳角。（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角為或。（3）平面與平面所成的角求法：“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我

28、們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。通過射影面積來求（在其中一個平面內找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos，注意到我們要求的角為或）；向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為或。 我們現在來解決立體幾何的有關問題的時候，注意到向量知識的應用，如果可以比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統的方法了！4解題注意點（1）我們現在提倡用向量來

29、解決立體幾何的有關問題，但是當運用向量不是很方便的時候，傳統的解法我們也要能夠運用自如。（2）我們如果是通過解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現這樣一句話，“是我們所要求的角”、“線段AB的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。（3）用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出cosx，則這兩條異面直線所成的角為arccos|x|（4）在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。（5）求平面與平面所成角的時，若用第、種方法，先要

30、去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據我們所作出的判斷去取舍。（二）2008年高考預測從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個解答題，1至3個填空或選擇題解答題一般與棱柱和棱錐相關，主要考查線線關系、線面關系和面面關系，其重點是考查空間想象能力和推理運算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解 高考試題中，立體幾何側重考查學生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力 . 近幾年凡涉及空間向量應用于立體幾何的高考試題，都著重考查應用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直

31、等基本問題。高考對立體幾何的考查側重以下幾個方面： 1從命題形式來看，涉及立體幾何內容的命題形式最為多變 . 除保留傳統的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發了“多選填空”、“完型填空”、“構造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關系，其解題思路也都是“作證求”，強調作圖、證明和計算相結合。2從內容上來看，主要是：考查直線和平面的各種位置關系的判定和性質，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；計算角的問題，試題中常見的是

32、異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉化為相交直線所成的角；求距離，試題中常見的是點與點之間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉化方法；簡單的幾何體的側面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現成的公式外，還可將側面展開，轉化為求平面圖形的面積問題；體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、割補思想的應用。3從方法上來看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導和計算相集合；考查轉化的思想方法，如經常要把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來解決；考查模型化

33、方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問題解決；考查割補法、等積變換法，以及變化運動的思想方法，極限方法等。4從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：會畫圖根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；會識圖根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系；會析圖對圖形進行必要的分解、組合；會用圖對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或實行割補術；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力。四、強化訓練1 選擇題1空間有四個點，如果其中任意

34、三個點都不在同一條直線上，那么經過其中三個點的平面A可能有3個，也可能有2個 B可能有4個，也可能有3個C可能有3個，也可能有1個 D可能有4個，也可能有1個2下列命題中正確的個數是（ ）三角形是平面圖形 四邊形是平面圖形四邊相等的四邊形是平面圖形 矩形一定是平面圖形A1個 B2個 C3個 D4個3設a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列四個命題（ ） 若若 其中正確的命題的個數是（ ）A0個B1個C2個D3個4如圖所示，已知正四棱錐SABCD側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為 （ ）A90°B60°C45°D30

35、°5設有如下三個命題：甲：相交直線、m都在平面內，并且都不在平面內；乙：直線、m中至少有一條與平面相交；丙：平面與平面相交當甲成立時，A乙是丙的充分而不必要條件 B乙是丙的必要而不充分條件C乙是丙的充分且必要條件 D乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件6若a，b，l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是，l與a、l與b所成的角都是，則的取值范圍是（ ）ABCD7 在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是( )A B C D 8 在直二面角l中，直線a,直線b,a、b與l斜交，則( )A a不和b垂直，但可能abB a可能和b垂

36、直，也可能abC a不和b垂直，a也不和b平行D a不和b平行，但可能ab9 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是( )A B C D 10如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AB C1D1的距離為（B）A、B、C、D、11ABC的頂點B在平面a內，A、C在a的同一側，AB、BC與a所成的角分別是30°和45°,若AB=3,BC= ,AC=5,則AC與a所成的角為(A)60° (B)45° (C)30&#

37、176; (D)15°12矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）ABCD（二）填空題13 設X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“XZ且YZXY”為真命題的是_(填序號) X、Y、Z是直線；X、Y是直線，Z是平面；Z是直線，X、Y是平面；X、Y、Z是平面.14 已知AOB90°,過O點引AOB所在平面的斜線OC，與OA、OB分別成45°、60°，則以OC為棱的二面角AOCB的余弦值等于_ 15正三棱錐的一個側面的面積與底面積之比為23,則這個三棱錐的側面和底

38、面所成二面角的度數為_ 16空間四點A、B、C、D中，每兩點所連線段的長都等于a，動點P在線段AB上，動點Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為_ （三）解答題17. 已知，從平面外一點引向量，（1）求證：四點共面；（2）平面平面18. 如圖，是正四棱錐,是正方體，其中（）求證：；（）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（）求到平面的距離19. 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點 （1）求證：平面PAD； （2）當平面PCD與平面ABCD成多大二面角時， 直線平面PCD？20（安徽省合肥市2007年高三第三次教學質量檢測）已知，在如圖所示的

39、幾何體ABCED中，EC面ABC，DB面ABC，CE=CA=CB=2DB，ACB=90°，M為AD的中點。 （1）證明：EMAB； （2）求直線BM和平面ADE所成角的大小。21. （山東省濟寧市20062007學年度高三年級第一次摸底考試）如圖，四面體CABD，CB = CD，AB = AD， BAD = 90°.E、F分別是BC、AC的中點. （）求證：ACBD； （）如何在AC上找一點M，使BF平面MED？并說明理由； （）若CA = CB，求證：點C在底面ABD上的射影是線段BD的中點.22. （廣東省惠州市2008屆高三第二次調研）正方體，E為棱的中點() 求證：

40、；() 求證：平面；（）求三棱錐的體積強化訓練題答案1【答案】D解析： 分類，第一類，四點共面，則有一個平面，第二類，四點不共面，因為沒有任何三點共線，則任何三點都確定一個平面，共有4個。.2【答案】B解析：命題是正確的，因為三角形的三個頂點不共線，所以這三點確定平面。命題是錯誤，因平面四邊形中的一個頂點在平面的上、下方向稍作運動，就形成了空間四邊形。命題也是錯誤，它是上一個命題中比較特殊的四邊形。命題是正確的，因為矩形必須是平行四邊形，有一組對邊平行，則確定了一個平面。3【答案】B解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一個正確命題4【答案】B解析： 平移SC到，運用余弦

41、定理可算得5【答案】C解析：當甲成立，即“相交直線、m都在平面內，并且都不在平面內”時，若“、m中至少有一條與平面相交”，則“平面與平面相交”成立；若“平面與平面相交”，則“、m中至少有一條與平面相交”也成立6【答案】D解析： 當l與異面直線a，b所成角的平分線平行或重合時，a取得最小值，當l與a、b的公垂線平行時，a取得最大值。7 【答案】 C 解析 設A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內過A1作A1HAO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在RtA1O1A中，A1O1

42、=，AO1=3，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=。8 【答案】C 解析 如圖，在l上任取一點P，過P分別在、內作aa,bb,在a上任取一點A，過A作ACl，垂足為C，則AC,過C作CBb交b于B，連AB，由三垂線定理知ABb，APB為直角三角形,故APB為銳角 9 【答案】 D 解析 (特殊位置法）將P點取為A1，作OEAD于E，連結A1E，則A1E為OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM與OP成90°角 答案 D10【答案】B 解析：取B1C1的中點M，連B1C交BC1于，取C1的中點N，連MN，則MN又在正方體ABCD-A1B1C1D1中O

43、M平行于平面ABC1D1.則O到平面ABC1D1距離轉化為M到平面ABC1D1的距離，即MN=，故選B11【答案】C 解析：如圖，AE平面于E,CD平面于D,EFAC,EF交CD于F,則ABE=300,CBD=450,由此得CD=4,AE=1.5,EF=2.5,而EF=AC=5 FED=300,即AC與平面所成的角為300,選(C)12【答案】C 解析：連接矩形ABCD的對角線AC、BD交于O，則AOBOCODO，則O為四面體ABCD的外接球的圓心，因此四面體ABCD的外接球的半徑為，體積為.選C.13 【答案】 解析 是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，是真命題，是假命題

44、，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側面時為反例 14 【答案】 解析 在OC上取一點C，使OC=1，過C分別作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，則AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB= 答案 15 【答案】 60° 解析 設一個側面面積為S1，底面面積為S，則這個側面在底面上射影的面積為，由題設得，設側面與底面所成二面角為,則cos=,=60° 答案 60°16 【答案】a 解析 以A、B、C、D為頂點的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取P、Q分別為AB、CD的中點，因為AQ=BQ=a,PQA

45、B,同理可得PQCD，故線段PQ的長為P、Q兩點間的最短距離，在RtAPQ中，PQ=a.答案 a17解：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面18解：() 連結AC , 交BD于點O , 連結PO , 則PO面ABCD , 又 , , , （） AOBD , AOPO , AO面PBD , 過點O作OMPD于點M，連結AM , 則AMPD , AMO 就是二面角A-PD-O的平面角, 又, AO=,PO= , ,即二面角的大小為 ()用體積法求解：即有 解得，即到平面PAD的距離為19證：（1）取CD中點G，連結EG、FGE、F分別是AB、PC的中點，EG/AD，FG/PD

46、，平面EFG/平面PAD， EF/平面PAD （2）當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF平面PCD.證明：G為CD中點，則EGCD，PA底面ABCDAD是PD在平面ABCD內的射影。 CDÌ平面ABCD，且CDAD，故CDPD 又FGPDFGCD，故ÐEGF為平面PCD 與平面ABCD所成二面角的平面角，即ÐEGF=45°，從而得ÐADP=45°， AD=AP.由RtDPAERtDCBE，得PE=CE.又F是PC的中點，EFPC.由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF，即EFCD，故EF平面PCD 20

47、解法一： （1）如圖，以C為原點，CA、CB、CE所在的射線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.不妨設BD=1，則E（0，0，2），A（2，0，0），D（0，2，1），B（0，2，0）由M是AD的中點，得M （2）設面ADE的法向量n=（x，y，z）由又直線BM和平面ADE所成角為。解法二：（1）如圖，過M作MNAB，由DB面ABC2分M是AD中點，N是AB中點，CA=CB，CNAB由三垂線定理，得EMAB（2）設CB和ED延長線交于F，不妨設BD=1易求設B到面AEF的距離為h，由設直線BM和平面ADE所成角為。21解：（）取BD的中點O，連接AO，CO，在BCD中， BC = DC，COBD

48、，同理AOBD 而AOCO = O，BD平面AOC， 又平面AOC，ACBD. （）取FC的中點M，連接EM，DM， E是BC的中點，BFEM，平面MED，BF平面MED，FC的中點M即為所求. （）ABD是等腰直角三角形，BAD = 90°，AO = BO = DO；CA = CB = CD，CO是公共邊，COACOBCOD；COA=90°，即COAO，又COBD，AOBD = O，CO平面ABD即點C在底面ABD上的射影是線段BD的中點 。22解析：主要考察立體幾何中的位置關系、體積 ()證明：連結，則/， 是正方形，面，又，面 面， （）證明：作的中點F，連結是的中點，四邊形是平行四邊形， 是的中點，又，四邊形是平行四邊形，/，平面面 又平面，面 （3） （四）創新試題如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=1. （I）求證：A1C/平面AB1D； （II）求二面角BAB1D的大小； （III）求點c到平面AB1D的距離. 如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為a，P為A1B上的點。 （1）試確定的值，使得P