1、結(jié)構(gòu)優(yōu)化的敏度分析技術(shù) 1  敏度分析方法    結(jié)構(gòu)敏度分析是為結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供有關(guān)結(jié)構(gòu)約束函數(shù)及目標(biāo)函數(shù)的一階甚至二階導(dǎo)數(shù)信息。結(jié)構(gòu)敏度分析包括有差分法、解析法、解析和差分結(jié)合的擬解析法。差分法通用性好，易于實(shí)現(xiàn)，但計(jì)算量大;解析法實(shí)現(xiàn)起來較困難，但計(jì)算效率高;擬解析法在計(jì)算解析敏度困難時(shí)可予采用。這里主要介紹解析法。· (1)擬載荷法     考慮線性靜力有限元分析的系統(tǒng)方程為(20)如果載荷F與設(shè)計(jì)變量向量X無關(guān)，則由式(20)對(duì)X求導(dǎo)可得(21)  

2、  令，則由式(2)可得擬載荷法求結(jié)構(gòu)位移導(dǎo)數(shù)的公式為(22)R稱為虛擬載荷。有限元法中，總剛矩陣K為一稀疏帶狀對(duì)稱正定矩陣。一般式(20)采用Coleskey三角分解來求解，亦即相當(dāng)于已在結(jié)構(gòu)分析中得到，從而易于獲得。這里的第i行為從式(22)可知，擬載荷法適合于求解所有位移對(duì)所有設(shè)計(jì)變量或?qū)δ骋粋€(gè)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。· (2)單位載荷法     假想僅在位移對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和方向上施加單位載荷，設(shè)其相應(yīng)的位移響應(yīng)為，由式(20)對(duì)求導(dǎo)可得(23)    對(duì)式(44. 5-23)兩邊前乘單位載

3、荷向量可得    將上式兩邊轉(zhuǎn)置，并利用K的對(duì)稱性易得單位載荷法求位移導(dǎo)數(shù)的公式為(24)    此方法適合于求某些位移自由度對(duì)所有設(shè)計(jì)變量或?qū)δ承┰O(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。一般當(dāng)設(shè)計(jì)變量較少、位移約束數(shù)目較少時(shí)用此方法較經(jīng)濟(jì)。· (3)性態(tài)空間法     前兩種敏度分析方法是在設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行的。通常稱應(yīng)力、位移等結(jié)構(gòu)性態(tài)響應(yīng)為性態(tài)變量，因此在性態(tài)空間中約束可表示為(25)定義伴隨變量向量，使之滿足由式(25)對(duì)X求導(dǎo)可得(26)將擬載荷法公式(22)兩邊左乘有(27)將式(

4、22)代入式(26)并利用K的對(duì)稱性可得(28)當(dāng)時(shí)，此時(shí)式(28)變?yōu)?29)式(29)為用性態(tài)空間法計(jì)算位移導(dǎo)數(shù)的公式。事實(shí)上，單位載荷法可以從這里的性態(tài)空間法或前面的擬載荷法導(dǎo)出。性態(tài)空間法不但適用于求位移約束導(dǎo)數(shù)，而且也適用于求應(yīng)力約束導(dǎo)數(shù)。只要對(duì)某個(gè)約束求出了伴隨變量就可以求得其敏度值。· (4)應(yīng)力敏度分析     應(yīng)力敏度分析用來獲取應(yīng)力導(dǎo)數(shù)。考慮應(yīng)力計(jì)算有限元公式(30)式中應(yīng)力；S應(yīng)力矩陣；U位移向量。由式(30)對(duì)求導(dǎo)，并考慮到尺寸優(yōu)化時(shí)S與X無關(guān)，故有應(yīng)力敏度分析公式為(31)    

5、;從式(31)可知，計(jì)算應(yīng)力導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是計(jì)算位移導(dǎo)數(shù)。由于結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，幾乎所有單元應(yīng)力均有約束，因此應(yīng)力導(dǎo)數(shù)計(jì)算量相當(dāng)大。    考慮到應(yīng)力約束具有局部特性，故實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以采用近似方法計(jì)算應(yīng)力導(dǎo)數(shù)，其效果是計(jì)算量劇減而又能具有足夠的精度。這種近似計(jì)算方法是將結(jié)構(gòu)在某一迭代步中作暫時(shí)靜定化處理，凍結(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即近似認(rèn)為結(jié)構(gòu)內(nèi)力在某迭代步中與設(shè)計(jì)變量無關(guān)。    對(duì)于桿，則有當(dāng)i=j時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有對(duì)于其他類型單元，結(jié)構(gòu)應(yīng)力約束往往采用von Mises當(dāng)量應(yīng)力約束。· (5)梁結(jié)構(gòu)位移敏度分析  

6、   在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，梁結(jié)構(gòu)是十分復(fù)雜而且難以處理的問題，尤其對(duì)于受彎、扭、剪及軸力作用的空間梁結(jié)構(gòu)更是如此。一方面對(duì)梁單元來說，單元?jiǎng)偠染仃囀謴?fù)雜，它不僅與單元截面積A有關(guān)，而且還與抗扭慣性矩、抗彎慣性矩:和，以及剪切面積、等諸多幾何尺寸因素有關(guān)。另一方面梁單元截面形狀種類繁多，不同的截面形狀呈現(xiàn)出不同的復(fù)雜力學(xué)性態(tài)。為了減少設(shè)計(jì)變量數(shù)目及簡化問題的復(fù)雜程度，許多方法往往假設(shè)截面特性參數(shù)與截面面積之間有函數(shù)關(guān)系。例如，這里、根據(jù)不同截面選取不同的值。通過這一函數(shù)關(guān)系的引入，每個(gè)梁單元可只設(shè)一個(gè)設(shè)計(jì)變量，如面積或抗彎慣性矩，使敏度分析及優(yōu)化過程也變得較為簡單。但這

7、種方法的假設(shè)與實(shí)際工程梁結(jié)構(gòu)差別太大，難以實(shí)際應(yīng)用。這里給出的方法，則可以以單元截面的具體幾何尺寸為設(shè)計(jì)變量。    對(duì)于空間梁單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，其單元?jiǎng)偠仁謴?fù)雜。一般情況下，為的函數(shù)，而這6個(gè)幾何特性量與具體截面類型有關(guān)，如果直接由單元?jiǎng)偠葘?duì)具體幾何尺寸變量求導(dǎo)，工作量大且求導(dǎo)結(jié)果也因截面類型的不同而各異。為了避免各截面類型都對(duì)單元?jiǎng)偠确謩e求導(dǎo)，這里引人了梁結(jié)構(gòu)中間變量即敏度變量的概念。定義梁單元的敏度變量為單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)敏度變量的導(dǎo)數(shù)為以單元截面幾何尺寸為設(shè)計(jì)變量時(shí)，設(shè)計(jì)變量集合可用向量表示，n為設(shè)計(jì)變量總數(shù)。對(duì)敏度變量的導(dǎo)數(shù)，可以通過J

8、acobian變換轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù):式中Jacobian矩陣；m 敏度變量數(shù)目。對(duì)空間梁結(jié)構(gòu)m=6。當(dāng)函數(shù)f為梁單元?jiǎng)傟嚂r(shí)，則由上式可求得梁單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可再由單位虛載荷法或擬載荷法求得位移導(dǎo)數(shù)。2  敏度分析的實(shí)現(xiàn)    在結(jié)構(gòu)分析軟件中增加敏度分析系統(tǒng)的原則是，敏度分析系統(tǒng)應(yīng)作為獨(dú)立的功能模塊，并與原結(jié)構(gòu)分析程序相結(jié)合，敏度分析的模塊不影響也不破壞原有程序的結(jié)構(gòu)和功能。    敏度分析模塊需要參與優(yōu)化的單元單剛的求導(dǎo)信息，為節(jié)省計(jì)算量，可以直接利用現(xiàn)有結(jié)構(gòu)分析軟件的

9、單剛矩陣。這就要求在結(jié)構(gòu)分析計(jì)算單剛前，輸人必要的控制信息，如哪些單元的單剛要求導(dǎo)，對(duì)哪個(gè)設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)等。敏度分析算法還用到總剛、位移和應(yīng)力信息等，這些信息的獲取只能在結(jié)構(gòu)分析求解位移線性方程組，并計(jì)算出應(yīng)力、內(nèi)力等之后。    圖2是敏度分析模塊的總體結(jié)構(gòu)，圖中未包括結(jié)構(gòu)分析自身的模塊。圖3和圖4分別是擬載荷法和單位虛載荷法的框圖。圖2敏度分析系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)圖3擬載荷法敏度分析框圖圖4單位載荷法敏度分析框圖· （1）單剛求導(dǎo)數(shù)的實(shí)施     在有限元計(jì)算中，各單元的有關(guān)計(jì)算多是在局部坐標(biāo)系中給出的，需轉(zhuǎn)換

10、到統(tǒng)一的總體坐標(biāo)系中才能組裝。因此為提高效率，可以待單剛坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之后對(duì)單剛求導(dǎo)。在實(shí)施求導(dǎo)過程中，中只有一個(gè)，其余。這里nn是參與優(yōu)化的單元對(duì)應(yīng)的變量號(hào)，是設(shè)計(jì)變量總數(shù)。因此，將單剛對(duì)全部設(shè)計(jì)交量求導(dǎo)時(shí)，只用計(jì)算單剛對(duì)一個(gè)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。· (2)單位應(yīng)力載荷下的位移響應(yīng)的求解     由于商用軟件大多能處理多工況問題，故僅只需將單位虛載荷作為一種載荷工況來處理，即可利用有限元分析程序自身求得。· (3)求的實(shí)施     只有那些與有關(guān)得矩陣元素才為非零值，因而其非零元素?cái)?shù)目較少。在計(jì)算時(shí)，只需計(jì)算那些非零元素的乘積，并且不必計(jì)算總剛，而只需直接從中求解。這樣省去了總剛組集這一龐大的計(jì)算工作量，因而計(jì)算效率可大大提高。· (4)的組裝     在單位載荷法中，無需對(duì)進(jìn)行組裝便可獲得。但是在擬載荷法中進(jìn)行敏度分析時(shí)，則需要對(duì)進(jìn)行組裝才能獲得，這是因?yàn)樵谏逃糜邢拊浖兄苯忧笫遣豢赡艿模枰ㄟ^對(duì)求導(dǎo)才能間接獲得。需要指出的是的組裝與K的組裝從方法上來說是完全相同的，故這里不再詳述。· (