1、人教版九年級上冊數學課本知識點歸納1人教版九年級上冊數學課本知識點歸納第二十一章 二次根式一、二次根式1二次根式：把形如的式子叫做二次根式， “” 表示二次根號。2最簡二次根式：若二次根式滿足：被開方數不含分母；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。這樣的二次根式叫做最簡二次根式。3化簡：化二次根式為最簡二次根式（1）如果被開方數是分數（包括小數）或分式，先利用商的算數平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。（2）如果被開方數是整數或整式，先將他分解因數或因式，然后把能開得盡方的因數或因式開出來。4同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次

2、根式叫做同類二次根式。5代數式：運用基本運算符號，把數和表示數的字母連起來的式子，叫代數式。6二次根式的性質（1） （2） （3）(乘法)（4）(除法)二、二次根式混合運算1二次根式加減時，可以把二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的最簡二次根式進行合并。2二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。第二十二章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系

3、數；c叫做常數項。二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成兩個一元一次方程的過程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如x2=b或的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b0時，方程有兩個實數根。當=0時，方程有兩個相等實數根。當0時，方程沒有實數根。5、因式分解法：先將一元二次方程因式分解，化成兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解叫因式分解法。這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一

4、元二次方程根的判別式 根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即四、一元二次方程根與系數的關系 如果方程的兩個實數根是，由求根公式可算出，。第二十三章 旋轉一、旋轉 1、定義：把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。2、性質（1）對應點到旋轉中心的距離相等。（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。 旋轉前后的圖形全等。二、中心對稱 1、定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。2、性質（1）關于中心對稱的兩

5、個圖形是全等形。（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。4、中心對稱圖形：把一個圖形繞某一個點旋轉180，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。5、關于原點對稱的點的特征：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P（-x，-y）6、關于x軸對稱的點的特征：兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的

6、符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P（x，-y）。7、關于y軸對稱的點的特征：兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P（-x，y）。第二十四章 圓一、圓的相關概念 1、圓的定義：在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示：以點O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”二、弦、弧等與圓有關的定義 （1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑：經過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓：

7、圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優弧、劣弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符號“”表示，以A，B為端點的弧記作“”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）三、垂徑定理及其推論 1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。四、圓的對稱

8、性 1、圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理 1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。六、圓周角定理及其推論 1、圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理：一條弧所

9、對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。七、點和圓的位置關系 設O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：dr點P在O外。八、過三點的圓 1、過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。4、圓內接四邊形性質（四點共圓的

10、判定條件）：圓內接四邊形對角互補。九、反證法 先假設命題中的結論不成立，然后由此經過推理，引出矛盾，判定所做的假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。十、直線與圓的位置關系 直線和圓有三種位置關系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與O相交dr；十一、切線的判定和性質 1、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

11、的切線。2、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。十二、切線長定理 1、切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。2、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。十三、三角形的內切圓 1、三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。2、三角形的內心：三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。十四、圓和圓的位置關系 1、圓和圓的位置關系：如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內含兩種。如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相

12、切分為外切和內切兩種。如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關系的性質與判定設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdr）兩圓內含dr）4、兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。十五、正多邊形和圓 1、正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓

13、。十六、與正多邊形有關的概念 1、正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角：正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。十七、正多邊形的對稱性 1、正多邊形的軸對稱性：正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性：邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法：先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。

14、十八、弧長和扇形面積 1、弧長公式：n的圓心角所對的弧長l的計算公式為2、扇形面積公式：其中n是扇形的圓心角度數，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。3、圓錐的側面積：其中l是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。4、弦切角定理：弦切角：圓的切線與經過切點的弦所夾的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對的圓周角。即：BAC=ADC5、切割線定理PA為O切線，PBC為O割線，則第二十五章 概率初步一、概率1隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件一般的，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性大小有可能不同。(確定事件：事先能肯定它一定會發生的

15、事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，)二、概率1.概率：（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發生的頻率mn會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p。（頻率接近概率）（2）概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現。概率反映可能性大小的一般規律。（3）概率取值范圍：0p1（4）必然發生的事件的概率P（A）=1；不可能發生事件的概率P（A）=0（5）事件發生的可能性越大，概率越接近與1，事件發生的可能性

16、越小，概率越接近于0二、求概率方法一般地，如果在一次實驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件發生的概率為P（A）=mn 。1.列舉法：一次實驗中，涉及1個因素，并且可能出現的結果數目有限多個，并且它們發生的可能性都相等，把可能的結果都列出來， 求P（A）=mn的方法。2.列表法：當一次實驗要涉及2個因素，并且可能出現的結果數目較多，并且它們發生的可能性都相等，為不重不漏地列出所有可能的結果，采用列表法。（頻率等于概率）（1）當試驗中存在兩個元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率（2）列表的目的在于不重

17、不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率3.樹狀法：當一次實驗要涉及3個或更多的因素，列表法就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖法（頻率等于概率）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n4.游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平三、利用頻率估計概率1.利用頻率估計概率（頻率接近概率）（1）大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用

18、頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值p就是這個事件的概率（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確（3）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率2.模擬實驗（1）在一些有關抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人抽取，這樣的實驗稱為模擬實驗（2）模擬實驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算機編號等進行實驗，目的在于省時、省力，但能達到同樣的效果（3）模擬實驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗目的，但不能改變實驗目的，這部分內容根據新課標要求，只要設計出一個模擬實驗即可第二十六章二

19、次函數 1、定義：一般地，如果是常數，那么叫做的二次函數。自變量的取值范圍是全體實數。2、二次函數的性質：（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸；（2）函數的圖像與的符號關系： 當時拋物線開口向上頂點為其最低點；當時拋物線開口向下頂點為其最高點。（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為。（P21-12）3、二次函數 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線。4、二次函數用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；。6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。 的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、

20、形狀相同。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線。（P23-9,10）7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線。（P26-9） （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線。 （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失。

21、9、拋物線中，的作用（P29-例2,1,10） （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣。 （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線的對稱軸是直線。，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側。 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置。 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經過原點； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸。 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 。10、幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(

22、,)()11、用待定系數法求二次函數的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16） （1）一般式：。已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式。 （2）頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。 （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：。261 （用函數觀點看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數的值是0，因此就是方程的一個根。 2. 二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有

23、兩個不等的實數根。262 實際問題與二次函數 在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函數的最大值或最小值。第二十七章相似 271 圖形的相似 概述判定1、如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。2、如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。 相似比3、相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。 性質4、相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。 5、相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定：1.兩個三角形的兩個角對應相等 2.兩邊對

24、應成比例,且夾角相等 3.三邊對應成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。 1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質1、位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。 2、位似多邊形的對應邊平行或共線。3、位似可

25、以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。 根據一個位似中心可以作兩個關于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱。 注意 1、位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個位似圖形的位似中心只有一個； 3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數 281

26、銳角三角函數 銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數。 正弦（sin）等于對邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對邊比鄰邊； 余切（cot）等于鄰邊比對邊 正切與余切互為倒數，互余角的三角函數間的關系。sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan.同角三角函數間的關系 平方關系： tan=sin/cos，sin2+cos2=1 積的關系： 倒數關系： tancot=1 ；sincsc=1； cossec=1 直角三角

27、形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊, 余切等于鄰邊比對邊三角函數值（1）特殊角三角函數值 （2）090的任意角的三角函數值，查三角函數表。 （3）tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）銳角三角函數值都是正值 （ii）當角度在090間變化時， 正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小） 余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大） 正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小） 余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大） （iii）當角度在090間變化時， 0sin1, 1cos0,

28、當角度在00, cot0. 特殊的三角函數值 282 解直角三角形 勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數。 常見的勾股弦數有：3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征直角三角形兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在RtABC中，若C90，則a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的

29、一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，則C90；ABCD射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADBABCacb銳角三角函數的定義：如圖，在RtABC中，C90，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,則sinA=,cosA=,tanA=,解直角三角形（RtABC,C90）三邊之間的關系：a2+b2=c2兩銳角之間的關系：AB90邊角之間的關系：sinA=,cosA=tanA=,cotA=解直角三角形中常見類型：已知一邊一銳角已知兩邊解直角三角形的應用第二十九章投影與視圖 291投影 一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做