1、備考 2019 中考數學高頻考點剖析專題十 函數之二次函數問題考點掃描聚焦中考二次函數問題，是每年中考的必考內容之一，也是每種類型題中的重頭戲、壓軸題，考查的知識點包括二次函數的圖像與性質、二次函數的應用和二次函數和幾何圖形的綜合應用等三個大方面，總體來看，難度系數較高，以選擇、填空、解析壓軸為主。解析題主要以二次函數的綜合應用為主，側 重于二次函數、一次函數和幾何圖形的綜合應用為主。結合2018 年全國各地中考的實例，我們從三方面進行二次函數問題的探討：（1 ）二次函數的圖像與性質問題；（2）二次函數的應用；（3）二次函數與幾何圖形的綜合應用考點剖析典型例題例 1 （2018?萊蕪?3 分）

2、函數 y=ax2+2ax+m （av0）的圖象過點（2, 0），則使函數值 yv0 成立的 x 的取值范圍是（）A.xv4 或 x2B.4vxv2C. xv0 或 x2 D. 0vxv2【分析】先求出拋物線的對稱軸方程，再利用拋物線的對稱性得到拋物線與x 軸的另一個交點坐標為（4, 0），然后利用函數圖象寫出拋物線在x 軸下方所對應的自變量的范圍即可.【解答】解：拋物線 y=ax2+2ax+m 得對稱軸為直線 x= = 1,而拋物線與 x 軸的一個交點坐標為（2, 0）,拋物線與 x 軸的另一個交點坐標為（-4, 0）,/ av0,拋物線開口向下，當 xv 4 或 x2 時，yv0.故選：A.

3、【點評】本題考查了拋物線與x 軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c （a, b, c 是常數，a* 0）與 x軸的交點坐標問題轉化為解關于x 的一元二次方程.也考查了二次函數的性質.例 2 （2018 遼寧省撫順市）（3.00 分）已知拋物線 y=ax2+bx+c （0v2a 0;2該拋物線的對稱軸在 x= 1 的右側；3關于 x 的方程 ax2+bx+c+1=0 無實數根；42.其中，正確結論的個數為（）A. 1 個 B . 2 個 C . 3 個D. 4 個【分析】根據拋物線的系數與圖象的關系即可求出答案.【解答】解：T拋物線 y=ax2+bx+c ( Ov2a 0,abc 0.故正

4、確；2 Ov2awb, 1,-v- 1,該拋物線的對稱軸在 x= - 1 的左側.故錯誤；、. 、.23由題意可知：對于任意的x，都有 y=ax +bx+c0,- ax?+bx+c+11 0，即該方程無解,故正確；4T拋物線 y=ax2+bx+c ( 0v2a 0,- a b+c0,a+b+c 2b,Tb0,2.故正確.綜上所述，正確的結論有 3 個.故選：C.【點評】本題考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與系數的關系，本題屬于中等題型.例 3 (2018 遼寧省沈陽市)(3.00 分)如圖，一塊矩形土地 ABCD 由籬笆圍著，并且由一條與 CD邊平行的籬笆 EF 分

5、開.已知籬笆的總長為 900m (籬笆的厚度忽略不計)，當 AB _m 時，矩形土地 ABCD 的面積最大.【分析】根據題意可以用相應的代數式表示出矩形綠地的面積；即可解答本題.【解答】解：(1 )設 AB=xm 則 BC=( 900 3x),2 2由題意可得，S=ABX BC=xX(900 3x) =( x 300 x) =( x 150) +33750當 x=150 時，S 取得最大值，此時，S=33750,AB=150m故答案為：150.【點評】本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的函數關系式，禾 U 用二次函數的頂點式求函數的最值.例 4 (2018 遼寧省盤錦市

6、)鵬鵬童裝店銷售某款童裝，每件售價為60 元，每星期可賣 100 件，為了促銷，該店決定降價銷售，經市場調查反應：每降價1 元，每星期可多賣 10 件已知該款童裝每件成本 30 元.設該款童裝每件售價 x 元，每星期的銷售量為 y 件.(1 )求 y 與 x 之間的函數關系式(不求自變量的取值范圍)；(2) 當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)當每件童裝售價定為多少元時，該店一星期可獲得3910 元的利潤？2若該店每星期想要獲得不低于3910 元的利潤， 則每星期至少要銷售該款童裝多少件？【解答】解：(1) y=100+10 (60 - x) =- 10X+70

7、0.(2 )設每星期利潤為 W 元, W=( x - 30)(- 10X+700) =- 10 (x - 50)2+4000,二 x=50 時，W 最大值=4000，二每件售價定為 50 元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤4000 元.2(3)由題意：-10 (x - 50) +4000=3910解得：x=53 或 47,二當每件童裝售價定為 53 元或 47 元時，該店一星期可獲得3910 元的利潤.2由題意：-10 (x- 50) +40003910，解得：47WXW53./ y=100+10 (60 - x) =- 10 x+700.170Wyw230,二每星期至少要銷售該款童裝170

8、 件.例衛(2018 遼寧省沈陽市) (12.00 分)如圖，在平面角坐標系中，拋物線C： y=ax2+bx- 1 經過點 A (- 2, 1)和點 B (- 1 , - 1)，拋物線 C2： y=2x +x+1,動直線 x=t 與拋物線 G 交于點 N,與拋 物線 G 交于點M.(1 )求拋物線 C 的表達式；(2) 直接用含 t 的代數式表示線段 MN 的長；(3)當厶 AMN 是以 MN 為直角邊的等腰直角三角形時，求t 的值；(4) 在(3)的條件下，設拋物線 G 與 y 軸交于點 P,點 M 在 y 軸右側的拋物線 C 上，連接 AM 交 y 軸于點 k,連接KN,在平面內有一點 Q

9、 連接 KQ 和 QN 當 KQ=1 且/ KNQMBNP 時，請直接寫出點 Q 的坐標.【分析】(1)應用待定系數法；(2 )把 x=t 帶入函數關系式相減；(3) 根據圖形分別討論/ ANM=90、/ AMN=90 時的情況.(4)根據題意畫出滿足條件圖形，可以找到KNP對稱軸，由對稱性找到第一個滿足條件Q,再通過延長和圓的對稱性找到剩余三個點.利用勾股定理進行計算.2【解答】解：(1 )拋物線 C： y=ax+bx- 1 經過點 A (- 2, 1)和點 B (- 1,- 1)解得：拋物線 C:解析式為 y=x2+x - 1（2）動直線 x=t 與拋物線 G 交于點 N,與拋物線 G 交

10、于點 M 點 N 的縱坐標為 12+t - 1,點 M 的縱坐標為2t2+t+12 2 2 MN=（2t2+t+1 ）-（ t2+t- 1） =t2+2( 3 )共分兩種情況當/ANM=90 , AN=MN 寸，由已知 N(t , t2+t - 1), A (- 2, 1) AN=t-(- 2) =t+2 MN=t2+22 t2+2=t+2 t1=0(舍去)， t2=1 t=12當/AMN=90 , AN=MN 寸，由已知 M(t , 2t +t+1 ), A (- 2, 1) AM=t-(- 2) =t+2 ，2/ MN=t+22t +2=t+2t1=0 ， t2=1 (舍去)-1=0故 t

11、 的值為 1 或 0（4）由（3）可知 t=1 時 M 位于 y 軸右側，根據題意畫出示意圖如圖:易得 K （0, 3）, B.O、N 三點共線 A（- 2 ， 1 ） N（ 1 ， 1 ） P（ 0 ，- 1 ）點 K、P 關于直線 AN 對稱設OK 與 y 軸下方交點為 Q,則其坐標為（0, 2）Q 與點 P 關于直線 AN 對稱Q 是滿足條件/ KNQMBNP則 NQ 延長線與OK 交點 Q, QQ 關于 KN 的對稱點 Q.Q 也滿足/ KNQMBNP 由圖形易得 Q1（- 3 , 3）設點 Q3 坐標為（a, b），由對稱性可知 QN=NQ=BN=2由TOK 半徑為 1解得, 1同理

12、，設點 Q 坐標為（a, b），由對稱性可知 QN=NQ=NO=解得滿足條件的 Q 點坐標為：（0, 2）、（- 3, 3）、（，）、（，）【點評】本題為代數幾何綜合題，考查了二次函數基本性質解答過程中應用了分類討論、數形結合 以及構造數學模型等數學思想.例 6 (2018 遼寧省撫順市)(14.00 分)如圖，拋物線 y=-x2+bx+c 和直線 y=x+1 交于 A, B 兩點， 點 A 在 x 軸上，點 B 在直線 x=3 上，直線 x=3 與 x 軸交于點 C(1) 求拋物線的解析式；(2)點 P 從點 A 出發， 以每秒個單位長度的速度沿線段AB 向點 B 運動，點 Q 從點 C 出

13、發，以每秒 2個單位長度的速度沿線段CA 向點 A 運動，點 P, Q 同時出發，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為 t 秒(t 0).以 PQ 為邊作矩形 PQNM 使點 N 在直線 x=3 上.1當 t 為何值時，矩形 PQN 啲面積最小？并求出最小面積；2直接寫出當 t 為何值時，恰好有矩形 PQN 啲頂點落在拋物線上.【分析】(1)利用待定系數法即可；(2分別用 t 表示 PE.PQ EQ 用厶 PQ0AQNC 表示 NC 及 QN 列出矩形 PQNMT 積與 t 的函數關 系式問題可解；由利用線段中點坐標分別等于兩個端點橫縱坐標平均分的數量關系，表示點 M 坐

14、標，分別討論 MN、Q 在拋物線上時的情況，并分別求出t 值.【解答】解：(1 )由已知，B 點橫坐標為 3/A.B 在 y=x+1 上 A (- 1 , 0), B (3, 4)2把 A (- 1, 0), B ( 3, 4)代入 y= - x +bx+c 得解得拋物線解析式為 y= - x2+3x+4(2)過點 P 作 PElx軸于點 E直線 y=x+1 與 x 軸夾角為 45, P 點速度為每秒個單位長度t秒時點 E 坐標為(-1+t , 0) , Q 點坐標為(3 - 2t , 0)EQ=4- 3t , PE=t/PQE# NQC=9/ PQE# EPQ=90/EPQMNQCPQEAQ

15、NC矩形 PQN 啲面積 S=PQ?NQ=2PQ/PCTPW+EQ2 2 S=2 ()=20t - 36t+18當 t=時，2S最小=20X() 36X+18=由點 C 坐標為(3 2t , 0) P ( 1+t , t) PQEAQNC 可得 NC=2Q0= 6tN點坐標為(3, 8 6t )由矩形對角線互相平分點 M 坐標為(3t 1，8 5t )當 M 在拋物線上時8 5t= ( 3t 1)2+3 (3t 1) +4解得 t=當點 Q 到 A 時，Q 在拋物線上，此時 t=2當 N 在拋物線上時，8 6t=4-1=綜上所述當 t=、或 2 時，矩形 PQNM 勺頂點落在拋物線上.【點評】

16、本題是代數幾何綜合題，考查了二次函數、一次函數、三角形相似和矩形的有關性質，解答 時應注意數形結合和分類討論的數學思想.考點過關專項突破類型一二次函數的圖像與性質1.（2018 四川省攀枝花3分）拋物線 y=x2- 2x+2 的頂點坐標為（）A.（ 1, 1）B. （- 1 , 1）C. （ 1, 3）D. （- 1, 3）2.（2018?廣安？ 3 分）拋物線 y=（x 2）2 1 可以由拋物線 y=x2平移而得到，下列平移正確的是（）A.先向左平移 2 個單位長度，然后向上平移 1 個單位長度B.先向左平移 2 個單位長度，然后向下平移 1 個單位長度C.先向右平移 2 個單位長度，然后向

17、上平移 1 個單位長度D.先向右平移 2 個單位長度，然后向下平移 1 個單位長度3.（2018?樂山？ 3 分）二次函數 y=x2+ （a 2） x+3 的圖象與一次函數 y=x （Kx am+bm 總成立；關于 x 的方程 ax2+bx+c=n - 1 有兩個不相等的實數根.其中結論正確的個數為（）A. 1 個B. 2 個C. 3 個 D . 4 個6.（2018 江蘇鎮江 2 分）已知二次函數 y=x2- 4x+k 的圖象的頂點在 x 軸下方，則實數 k 的取值范圍是_ .7.（2018?山東淄博?4 分）已知拋物線 y=x2+2x - 3 與 x 軸交于 A, B 兩點（點 A 在點

18、B 的左側），將這條拋物線向右平移 m（ m 0）個單位，平移后的拋物線于 x 軸交于 C, D 兩點（點 C 在點 D 的左側）， 若 B,C 是線段 AD 的三等分點，貝 U m 的值為_ .8.（2018 吉林長春 3 分）如圖，在平面直角坐標系中， 拋物線 y=x2+mx 交 x 軸的負半軸于點 A.點 B 是 y軸正半軸上一點，點 A 關于點 B 的對稱點 A恰好落在拋物線上.過點 A作 x 軸的平行線交 拋物線于另一點 C.若點 A的橫坐標為 1，則 AC的長為 .9.（2018?廣安？ 3 分）已知二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，對稱軸為直線 x=1，則下列結論

19、正確的有.1abc 02方程 ax +bx+c=0 的兩個根是 X1= - 1, X2=332a+b=04當 x 0 時，y 隨 x 的增大而減小類型二二次函數的應用1.（2018?杭州）四位同學在研究函數y=x2+bx+c （b, c 是常數）時，甲發現當 x=1 時，函數有最小 值；乙發現-1 是方程 x2+bx+c=0 的一個根；丙發現函數的最小值為 3;丁發現當 x=2 時，y=4，已知 這四位同學中只有一位發現的結論是錯誤的，則該同學是（）A.甲B .乙 C .丙D . 丁A.a=322.（2018 湖北省武漢 3 分）飛機著陸后滑行的距離y （單位：m）關于滑行時間 t （單位：s

20、）的函數解析式是 y=60t -.在飛機著陸滑行中，最后4s 滑行的距離是 _m3.（2018 四川省綿陽市）右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m 時，水面寬 4m,水面下降 2m,水面寬度增加_m。4 5(1)_ 當每件的銷售價為 52 元時，該紀念品每天的銷售數量為 _件；(2)當每件的銷售價 x 為多少時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y 最大？并求出最大利潤.6.(2018?天門)綠色生態農場生產并銷售某種有機產品，假設生產出的產品能全部售出.如圖，線段 EF、折線 ABCD 分別表示該有機產品每千克的銷售價yi(元)、生產成本 y2(元)與產量 x (kg)之間的函數關系.(1 )求該產

21、品銷售價 yi(元)與產量 x (kg)之間的函數關系式；(2)直接寫出生產成本 y2(元)與產量 x (kg)之間的函數關系式；(3 )當產量為多少時，這種產品獲得的利潤最大？最大利潤為多少？7.(2018?衢州)某游樂園有一個直徑為16 米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心 3 米處達到最高，高度為 5 米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心 的裝飾物處匯合如圖所示，以水平方向為x 軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系.(1) 求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式；(2)王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8 米的

22、王師傅站立 時必須在離水池中心多少米以內？(3) 經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到 32 米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請 探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度.4（2018 廣西賀州 3 分）某種商品每件進價為20 元，調查表明：在某段時間內若以每件x 元（20 x 30,且 x 為整數）出售，可賣出（30- x）件，若使利潤最大，則每件商品的售價應為 _ 元.5（2018?隹安）某景區商店銷售一種紀念品，每件的進貨價為40 元.經市場調研，當該紀念品每件的銷售價為 50 元時，每天可銷售 2

23、00 件；當每件的銷售價每增加1 元，每天的銷售數量將減少10件.8.(2018?揚州)“揚州漆器”名揚天下，某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30 元/件,每天銷售 y (件)與銷售單價 x (元)之間存在一次函數關系，如圖所示.(1 )求 y 與 x 之間的函數關系式；(2)如果規定每天漆器筆筒的銷售量不低于240 件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？(3)該網店店主熱心公益事業，決定從每天的銷售利潤中捐出150 元給希望工程，為了保證捐款后 每天剩余利潤不低于 3600 元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.類型三 二次函數與幾何圖形的綜合應用21 . (2

24、018 廣西賀州 12 分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax +bx+c 交 x 軸于 A.B 兩點(A在 B 的左側)，且 0A=3 OB=1 與 y 軸交于 C( 0，3)，拋物線的頂點坐標為D (- 1, 4).(1 )求 A.B 兩點的坐標；(2) 求拋物線的解析式；(3) 過點 D 作直線 DE/y軸，交 x 軸于點 E,點 P 是拋物線上 B.D 兩點間的一個動點(點 P 不與 B.D 兩點重合)，PA.PB 與直線 DE 分別交于點 F、G,當點 P 運動時，EF+EG 是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.2.( 2018 山東臨沂 13 分)如圖，在平

25、面直角坐標系中，/ ACB=90 ,0C=20B tan / ABC=2 點 B 的坐標為(1, 0).拋物線 y=- x6+bx+c 經過 A、B 兩點.(1) 求拋物線的解析式；(2) 點 P 是直線 AB 上方拋物線上的一點， 過點 P 作 PD 垂直 x 軸于點 D,交線段 AB 于點 E,使 PE=DE1求點 P 的坐標；2在直線 PD 上是否存在點 M,使厶 ABM 為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點 M 的坐標；若 不存在，請說明理由.3.( 2018 湖北江漢 1264.(2018 湖北十堰 12 分)已知拋物線 y=x+bx+c 經過點 A (- 2，0 )，B (0、- 4)與 x 軸交于 另一點 C,連接 BC.(1) 求拋物線的解析式；(2)如圖，P 是第一象限內拋物線上一點，且SAPBO=SAPBC,求證：AP/ BC(3)在拋物線上是否存在點 D,直線 BD 交 x 軸于點丘，使厶 ABE 與以 A, B, C，E 中的三點為頂點的 三角形相似(不重合)？若存在，請求出點 D 的坐標；若不存在，請說明理由.分)拋物線 y= - x2+x - 1 與 x 軸交于點 A, B (點 A 在點 B 的左側)，與 y 軸交于點 C,其頂點為 D.將拋物線位于直線 l : y=t