1、21動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即GMmr2v二m2_r二是地球對物mMR2=mg 從而得出 GM= 3萬有引力定律及其應用教學目標：1.掌握萬有引力定律的內容并能夠應用萬有引力定律解決天體、衛星的運動冋題2 .掌握宇宙速度的概念3 .掌握用萬有引力定律和牛頓運動定律解決衛星運動問題的基本方法和基本技 能教學重點： 萬有引力定律的應用教學難點： 宇宙速度、人造衛星的運動教學方法： 講練結合，計算機輔助教學教學過程：一、萬有引力定律：（1687 年）適用于兩個質點或均勻球體；r 為兩質點或球心間的距離；G 為萬有引力恒量（1798 年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出）G =6.67

2、 10 N m2/kg2二、萬有引力定律的應用1.解題的相關知識：（1）在高考試題中，應用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點：一是天體運F =Gm1m22r2（2 ）圓周運動的有關公式:點評：需要說明的是，萬有引力定律中兩個物體的距離，對于相距很遠因而可 以看作質點的物體就是指兩質點的距離；對于未特別說明的天體，都可認為是均勻 球體，則指的是兩個球心的距離。人造衛星及天體的運動都近似為勻速圓周運動。2 常見題型萬有引力定律的應用主要涉及幾個方面：（1）測天體的質量及密度：（萬有引力全部提供向心力）3r2GT2R【例 1】中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大。現有一中子星，1觀測到它

3、的自轉周期為 T=S。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩討論：i）由GMmr2v=m-r可得：v =GMr 越大，v 越小。由GMmr2)r 可得: lT 丿T =2二.r3GMr 越大，T 越大。由GMmr=ma向可得：a向二2rGMr 越大，a向越小。Mm2r42r3GTr 越大，3 越小。330定，不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。（引力常數斗132G=6.67 10 m /kg.s ）4解析：設想中子星赤道處一小塊物質，只有當它受到的萬有引力大于或等于它 隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設中子星的密度為 ，質量為 M，半徑為 R,自轉角速度為，位于赤道處的小

4、物塊質量為 m，則有GMm=m -2R 丄M =4- R3RT3由以上各式得匸二，代入數據解得：=1.27 1014kg/m3。GT2點評：在應用萬有引力定律解題時，經常需要像本題一樣先假設某處存在一個 物體再分析求解是應用萬有引力定律解題慣用的一種方法。表面重力加速度：G = mg g0=卑RR【例 2】一衛星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速度為g。，行星的質量 M 與衛星的質量 m 之比 M/m=81,行星的半徑 R。與衛星的半徑 R 之比 R/R =3.6,行星與衛星之間的距離r 與行星的半徑 Ro之比 r/Ro= 60。設衛星表面的重力加速度為g,則在衛星表面有Gm二mg

5、 r2經過計算得出：衛星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果。解析：題中所列關于 g 的表達式并不是衛星表面的重力加速度，而是衛星繞行星做勻速圓周運動的向心加速度。正確的解法是Gm/一冃+十GM”/Ro、2m g衛星表面=g 仃星表面=go 即（）= _（2） 行星表面重力加速度、 軌道重力加速度問題:（重力近似等于萬有引力）軌道重力加速度:GMmR h2二mgghGMR h25R2R M go即 g =o.16g。（3）人造衛星、宇宙速度:人造衛星分類（略）：其中重點了解同步衛星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發衛星發

6、射速度的區別）【例 3】我國自行研制的“風云一號”、“風云二號”氣象衛星運行的軌道是不同 的。“一號”是極地圓形軌道衛星。 其軌道平面與赤道平面垂直，周期是 12h; “二號”是地球同步衛星。兩顆衛星相比 _ 號離地面較高；_號觀察范圍較大；_ 號運行速度較大。若某天上午8 點“風云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是 _。解析：根據周期公式 T=2：GM知，高度越大，周期越大，則“風云二號”氣象衛星離地面較高；根據運行軌道的特點知，“風云一號”觀察范圍較大；根據運行速度公式 V=忙知，高度越小，速度越大，則“風云一號”運行速度較大，由于“風云一號”衛星的周期是 1

7、2h，每天能對同一地區進行兩次觀測，在這種軌道上 運動的衛星通過任意緯度的地方時時間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時 刻將是第二天上午 8點。【例 4】可發射一顆人造衛星，使其圓軌道滿足下列條件（）A、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓B、與地球表面上某一經度線是共面的同心圓C、 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛星相對地面是運動的D、 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛星相對地面是靜止的解析：衛星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，且萬有引力始終指向地心，因此衛星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故A 是錯誤的。由于地球在不停的自轉，即使是極

8、地衛星的軌道也不可能與任一條經度線 是共面的同心圓，故 B 是錯誤的。赤道上的衛星除通信衛星采用地球靜止軌道外， 其它衛星相對地球表面都是運動的，故C、D 是正確的。6【例 5】偵察衛星在通過地球兩極上的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為 h，要使衛星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下7來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是 多少？設地球半徑為 R,地面處的重力加速度為 g，地球自轉的周期為 T。解析：如果周期是 12 小時，每天能對同一地區進行兩次觀測。如果周期是6 小時，每天能對同一緯度的地方進行四次觀測。如果周期是亍小時，每天

9、能對同一緯度的地方進行 n 次觀測。【例 6】 在地球(看作質量均勻分布的球體)上空有許多同步衛星， 下面說法中 正確的是( )A.它們的質量可能不同B.它們的速度可能不同C.它們的向心加速度可能不同D.它們離地心的距離可能不同解析：同步衛星繞地球近似作勻速圓周運動所需的向心力由同步衛星的地球間的萬有引力提供。設地球的質量為 M,同步衛星的質量為 m,地球半徑為 R,同步衛星mM4兀21GMT2距離地面的高度為 h, 由 F引=F向，GmM=m - ( R+h )得：h=3- -R,(R + h)2T2Y綁2設上星運行周期為Ti，則有GMm(h R)24二2(h R)物體處在地面上時有(h R

10、)3g在一天內衛星繞地球轉過的圈數為T，即在日照條件下有 次經過赤道上空,Ti所以每次攝像機拍攝的赤道弧長為S-2遲TT1T1，將 Ti結果代入得4二2T(h R)3g解得:2二8可見同步衛星離地心的距離是一定的。由G=mV得：v= JGM,所以同步衛星的速度相同。(R h)2R hR h由 G mM =ma 得：a= G M 即同步衛星的向心加速度相同。(R h)2(R h)2由以上各式均可看出地球同步衛星的除質量可以不同外，其它物理量值都應是固定的。所以正確選項為 A。點評：需要特別提出的是：地球同步衛星的有關知識必須引起高度重視，因為在高考試題中多次出現。所謂地球同步衛星，是相對地面靜止

11、的且和地球有相同周期、角速度的衛星。其運行軌道與赤道平面重合。解析：由萬有引力定律導出人造地球衛星運轉半徑的表達式，再將其與題給表 達式中各項對比，以明確式中各項的物理意義。AD 正確。【例 8】我國自制新型“長征”運載火箭，將模擬載人航天試驗飛船 “神舟三號 送入預定軌道，飛船繞地球遨游太空t=7 天后又順利返回地面。飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。1設飛船軌道離地高度為h,地球半徑為 R,地面重力加速度為 g.則“神舟三號飛船繞地球正常運轉多少圈？(用給定字母表示)：2若 h= 600 km , R= 6400 km，則圈數為多少？【例 7】地球同步衛星到地心的距離

12、r 可由r3a2b2c求出，已知式中a 的單位是 m, b 的單位是 s, c 的單位是m/s2，則:A . a 是地球半徑,b 是地球自轉的周期,C 是地球表面B. a 是地球半徑。b 是同步衛星繞地心運動的周期,C 是同步衛星的加速度;C. a 是赤道周長,b 是地球自轉周期,C 是同步衛星的加速度D. a 是地球半徑,速度。b 是同步衛星繞地心運動的周期,C 是地球表面處的重力加9解析：(1 )在軌道上GmM2二(R + h)2R十hv=2 (Rh)T在地球表面：GmM=mgR聯立式得：丁=乞遲R=hR Y g代人數據得：n=105 圈(4)雙星問題：【例 9】兩個星球組成雙星，它們在相

13、互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩星中心距離為R,其運動周期為 T,求兩星的總質量。解析：設兩星質量分別為 M1和 M2,都繞連線上 0 點作周期為 T 的圓周運動,(5)有關航天問題的分析:故 n=丄TtRr_g_2：(R h/ R h星球 1 和星球 2 到 0 的距離分別為 J 和 12。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得 M1: GM 1 M 2= M1(R2T)211M2=GT2對 M2： GM1M2= M2( _)R2T212.M1=4：2R2|2GT22 24R2兩式相加得 M1+ M2=GT2(11+l2)4-2R3。GT210【例

14、10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為 H = 3. 4 105m 的圓軌道上運行 了 47小時。求在這段時間內它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37 106m,重力加速度 g= 9.8m/s2）解析：用 r 表示飛船圓軌道半徑 r=H+ R=6. 71 106m。M 表示地球質量，m 表示飛船質量，；.?表示飛船繞地球運行的角速度，G 表示利用 G = g 得gR= ?2由于；, T 表示周期。解得R2gr3TT=-rr，又 n=i 代入數值解得繞行圈數為n=31。R gT【例 1112003 年 10 月 16 日北京時間 6 時 34 分， 中國首位航天員楊利偉乘坐 “神 舟”五號飛

15、船在內蒙古中部地區成功著陸，中國首次載人航天飛行任務獲得圓滿成 功。中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個有能力將航天員送上太空的國家。據 報道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號載人飛船，于北京時間十月十五 日九時，在酒泉衛星發射中心用“長征二號F”型運載火箭發射升空。此后，飛船按照預定軌道環繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時，若其運動可近似認為是勻_1速圓周運動，飛船距地面高度約為340 千米，已知萬有引力常量為G=6.67X10_牛米2/千克2,地球半徑約為 6400 千米，且地球可視為均勻球體，則試根據以上條 件估算地球的密度。（結果保留 1 位有效數學）解析：設地球半么為 R,地

16、球質量為 M，地球密度為p;飛船距地面高度為 h,運行周期為 T,飛船質量為 m。據題意題T = - =213600s=5400s萬有引力常數。由萬有引力定律和牛頓定律得GMmr211n 14mM(R h)24二2m(R h)T2飛船沿軌道運行時有1243而M = r：VR33由式得：3、3二(R h)-GT2R3代入數據解得、3 3.14 (6400 103340 103)3廠 “3仆23 3:610kg/m6.67 10154002(6400 103)3(6 )天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現，不 僅考查學生對知識的掌握，而且考查考

17、生從材料、信息中獲取有用信息以及綜合能 力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息給予部分是向學 生提供解題信息，包括文字敘述、數據等，內容是物理學研究的概念、定律、規律 等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考查學生能否從信息給予部分獲得有用 信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的 關鍵所在。【例 12】地球質量為 M，半徑為 R,自轉角速度為。萬有引力恒量為 G,如 果規定物體在離地球無窮遠處勢能為 0，則質量為 m 的物體離地心距離為 r 時，具有 的萬有引力勢能可表示為Ep二-GMm。國際空間站是迄今世界上最大的航天工r程，它是在地球大

18、氣層上空繞地球飛行的一個巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學實驗。設空間站離地面高度為 h,如果雜該空間站上直接發射一顆質量為m的小衛星，使其能到達地球同步衛星軌道并能在軌道上正常運行，由該衛星在離開 空間站時必須具有多大的動能？解析:由GMm r得, 衛星在空間站上動能為EkJmv2Mm2(R h)衛星在空間站上的引力勢能為EPMm(R h)13同步衛星在軌道上正常運行時有G啤二m，2r故其軌道半徑r J聲r由上式可得同步衛星的機械能E2二-= -丄m3G2M222r 2衛星運動過程中機械能守恒，故離開航天飛機的衛星的機械能應為E2設離開航天飛機時衛星的動能為Ekx則Ekx=E2-Ep二

19、一丄口3.G2M22 G衛巴p2R+h【例 13】1997 年 8 月 26 日在日本舉行的國際學術大會上，德國Max Planek學會的一個研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的 根據是用口徑為 3.5m的天文望遠鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進行近六 年的觀測所得的數據。他們發現，距離銀河系中約60 億千米的星體正以 2000km/s的速度圍繞銀河系中心旋轉。根據上面數據，試在經典力學的范圍內（見提示2）通過計算確認，如果銀河系中心確實存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數是 G=6.67X102km3kg1s2）解析：表面上的所有物質， 即使速度等于光速

20、 e 也逃脫不了其引力的作用。本題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內容則給出了本題的基本原理：（1）它是一個“密度極大的天體”，表面引力強到“包括光在內的所有物質都逃脫 不了其引力的作用” ，（2）計算采用“拉普拉斯黑洞模型”。這些描繪當代前沿科學的詞匯令人耳目一新，讓人感到高深莫測。但是反復揣摩提示就會看到，這些詞句 恰恰是本題的“眼”，我們據此可建立起“天體環繞運動模型”，且可用光速 e 作為“第 一宇宙速度”來進行計算。設位于銀河系中心的黑洞質量為M，繞其旋轉的星體質量為m,星體做勻速圓2周運動，則有：GMm=mVrr根據拉普拉斯黑洞模型有：機械能為Mm2(R h)Ei=

21、Ek -Ep14聯立上述兩式并代入相關數據可得：R= 2.67x105km三、針對訓練1 利用下列哪組數據，可以計算出地球質量：（）A .已知地球半徑和地面重力加速度B .已知衛星繞地球作勻速圓周運動的軌道半徑和周期C .已知月球繞地球作勻速圓周運動的周期和月球質量D.已知同步衛星離地面高度和地球自轉周期2 .“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發現A、B 兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛星，并測得兩顆衛星的周期相等，以下判斷錯誤的是A .天體 A、B 表面的重力加速度與它們的半徑成正比B .兩顆衛星的線速度一定相等C .天體 A、B 的質量可能相等D .天體 A、B 的密度一定相等3

22、.已知某天體的第一宇宙速度為8 km/s，則高度為該天體半徑的宇宙飛船的運行速度為A .2. 2 km/sB. 4 km/sC. 42km/sD . 8 km/s4.探測器探測到土星外層上有一個環為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛星群，可以測量環中各層的線速度v 與該層到土星中心的距離R 之間的關系來確定MmR2-c2=mR15A .若 vxR,則該環是土星的一部分B .若V*R,則該環是土星的衛星群C 若 vx1/R,則該環是土星的一部分D .若 v2x1/R,則該環是土星的衛星群5 2002 年 12 月 30 日凌晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發射場發射升空，按預定計劃在太空

23、飛行了6 天零 18 個小時，環繞地球 108 圈后，在內蒙古中部地區準確著陸，圓滿完成了空間科學和技術試驗任務，為最終實現載人飛行奠 定了堅實基礎若地球的質量、半徑和引力常量 G 均已知，根據以上數據可估算出“神 舟”四號飛船的A.離地高度B.環繞速度C.發射速度D.所受的向心力6航天技術的不斷發展，為人類探索宇宙創造了條件.1998 年 1 月發射的“月球勘探者號”空間探測器，運用最新科技手段對月球進行近距離勘探，在月球重力 分布、磁場分布及元素測定等方面取得最新成果探測器在一些環形山中央發現了質量密集區，當飛越這些重力異常區域時A .探測器受到的月球對它的萬有引力將變大B 探測器運行的軌

24、道半徑將變大C探測器飛行的速率將變大D 探測器飛行的速率將變小7 （1998 年全國卷）宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一 小球。經過時間 t,小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2 倍，則拋出點與落地點之間的距離為一3L。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R,萬有引力常數為 G。求該星球的質量 M。8 我國自制新型“長征”運載火箭，將模擬載人航天試驗飛船“神舟三號”送 入預定軌道，飛船繞地球遨游太空t=7 天后又順利返回地面飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。16（1 ）設飛船軌道離地高度為h,地球半徑為 R,地面重力加速度為 g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運轉多少圈？（用給定字母表示）.17(2)若 h =