1、數(shù)學(xué)建模期末考查作業(yè)一、某化工廠生產(chǎn) A,B,C,D四種化工產(chǎn)品，每種產(chǎn)品生產(chǎn) 1噸消耗的工時，能 源和獲得的利潤如下表：產(chǎn)品ABCD工時/小時10025038075能耗/噸標(biāo)準(zhǔn)煤利潤/萬元2581該廠明年的工時限額為18480小時，能耗限額為100噸標(biāo)準(zhǔn)煤，建立能使該廠明年的總利潤最高的數(shù)學(xué)模型，并利用MATLAB寫出簡單的求解程序。解：設(shè)該廠明年生產(chǎn)A，A2，A3，四種產(chǎn)品的數(shù)量分別為 花，X2，X3，X4單 位：t總利潤為z。約束條件：工時限額：100x,250x2380x375x418480能耗限額：0.2x10.3x2 0.5x3 0.1x4100確定目標(biāo)函數(shù)：Z2x1 5x2 8x

2、3 xmaxZ 2x1 5x2 8x3 x4100x1250x2380x375x418480s.t. 0.2x-i 0.3x20.5x30.1x4100xi0,且xi N i 1,2,3,4求解：model:max=2*x1+5*x2+8*x3+x4;100*x1+250*x2+380*x3+75*x4<=18480;0.2*x1+0.3*x2+0.5*x3+0.1*x4<=100;gi n(x1);gi n(x2);gi n(x3);gi n(x4);endGlobal optimal solutio n found.Exte nded solver steps:0Total s

3、olver iterati ons:0Row Slack or SurplusDual Price分析：由程序及結(jié)果可知，當(dāng)四種化工產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量分別為x1=2, x2=0, x3=48,X4=0時，該廠利潤取最大值，最大值為 388萬元。二、某單位將用三個月時間開發(fā)一項新產(chǎn)品，其間的材料、工資及銷售費用等 均需支付，而此項生產(chǎn)的收益都要到產(chǎn)品銷售后三個月才能獲得。因此，該單 位必須做好資金的籌措工作。此單位目前可以提供的內(nèi)部資金只有3000元，可提供的組裝工序的工時為2500h，調(diào)試包裝工序的工時為150h，兩種不同型號 所需工序時間、本錢及售價如下表所示：型號所需工時h本錢售價兀組裝調(diào)試包裝

4、單位本錢單位售價邊際利潤A12150588B25210012020最初投入市場至少需要 A產(chǎn)品50件、B產(chǎn)品25件。該單位向銀行貸款，銀 行同意總數(shù)不超過10000元的短期貸款。銀行的條件是借貸期的利率為每年借 貸款額平均額的12% ;此外要求信貸保證：安排產(chǎn)品生產(chǎn)的現(xiàn)金和生產(chǎn)產(chǎn)品的 應(yīng)收帳款不得小于未歸還的借款額與三個月未到期的利息的兩倍之和。這樣的 情況下，該單位應(yīng)如何考慮產(chǎn)品生產(chǎn)與銀行貸款。1、問題分析與建模設(shè)單位生產(chǎn)的產(chǎn)品A數(shù)量為x1,產(chǎn)品B的數(shù)量為x2,銀行貸款的金額為x3, 獲得的利潤為z。由題意可知此題是要求得出 x1、x2、x3的值使得單位獲利最 多。根據(jù)可提供的組裝工序的工時

5、為 2500 h，即產(chǎn)品A與產(chǎn)品B的組裝時間 不能超過2500h，由此可以得到方程：12*x1 +25*x2 <=2500(1)根據(jù)可提供的包裝工序的工時為150 h，即產(chǎn)品A與產(chǎn)品B的包裝時間不 能超過150h,由此可以得到方程： x1 +2*x2 <=150(2)根據(jù)題目所述安排產(chǎn)品生產(chǎn)的現(xiàn)金 3000 元和生產(chǎn)產(chǎn)品的應(yīng)收賬款58*x1+120*x2不得小于未歸還的借貸款額x3與三個月未到期的利息的兩 倍之和，其中銷售后三個月末的利息為貸款額的6%。可以列出方程：3000+58*x1+120*x2>=x3+2*x3*6%整理可得方程： 1.12*x3-58*x1-120*

6、x2<=3000(3)由生產(chǎn)產(chǎn)品的本錢要少于生產(chǎn)資金的關(guān)系又可得到一個方程：50*x1+100*x2<=3000+x3整理可得： 50*x1+100*x2-x3<=3000(4)另外題目中對產(chǎn)品數(shù)量及貸款金額還有明確的限定： 產(chǎn)品A不得少于50件, 產(chǎn)品B不得少于25件，貸款金額不能多于10000元。即有約束條件：x1>=50, x2>=25， x3<=10000。而獲得的利潤為產(chǎn)品邊際利潤的總和減去銀行貸款六個月的利息，計算的 公式為 z=8*x1+20*x2-0.06*x3 。根據(jù)以上對題目的分析可以建立以下模型：目標(biāo)函數(shù)： max(z)= 8*x1+2

7、0*x2-0.06*x312* x1 25* x2 2500x1 2* x2 1501.12* x3- 58* x1-120* x2 300050* x1 100* x2-x3 3000約束條件x1 50x2 25x3 100002、程序代碼model: max=8*x1+20*x2-0.06*x3;12*x1+25*x2 <=2500;x1+2*x2<=150;1.12*x3-50*x1-100*x2<=3000;50*x1+100*x2-x3<=3000;x1>=50;x2>=25;x3<=10000;gin(x1);gin(x2);gin(x3)

8、;EndGlobal optimal solution found.Extended solver steps:Total solver iterations:Reduced CostVariable ValueRow Slack or Surplus Dual Price3、結(jié)果分析經(jīng)計算得出結(jié)果如以下圖所示：x1=50, x2=50, x3=4500。也就是說單位在 考慮產(chǎn)品生產(chǎn)與銀行貸款是要向銀行貸款 4500元，生產(chǎn)產(chǎn)品A件數(shù)為50件、產(chǎn) 品B件數(shù)為50件能夠獲得最好的收益1130元。三、某工廠生產(chǎn)A、A2兩種型號的產(chǎn)品都必須經(jīng)過零件裝配和檢驗兩道工序, 如果每天可用于零件裝配的工時只

9、有 100h，可用于檢驗的工時只有 120h，各 型號產(chǎn)品每件需占用各工序時數(shù)和可獲得的利潤如下表所示：產(chǎn)品可用工時工序AA裝配23100檢驗42120利潤(元/件)64(1)試寫出此問題的數(shù)學(xué)模型，并求出最優(yōu)化生產(chǎn)方案;(2)對產(chǎn)品A1的利潤進行靈敏度分析；(3 )對裝配工序的工時進行靈敏度分析；(4)如果工廠試制了 A3型產(chǎn)品，每件A3產(chǎn)品需裝配工時4h，檢驗工時2h， 可獲利潤5元，那么該產(chǎn)品是否應(yīng)投入生產(chǎn)？問題分析：原問題即是線性規(guī)劃問題。1、2、3小問也即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度 分析中的分析C的變化范圍、分析bi變化范圍、增加一個約束條件的分析。于 是，上訴問題都可通過靈敏度分析

10、的步驟運用單純形表法得以解決。第一小問，建立線性規(guī)劃模型，用單純形表法求最優(yōu)解，同時可為第二、三 小問做準(zhǔn)備。第二小問，即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的Cj的變化范圍分析。將A1的利潤變?yōu)?元，以入的取值范圍進行分析。第三小問，即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的 bi變化范圍分析。將裝配工序工時變?yōu)?100 h，按公式1: 算出b，將其加到基變量列的數(shù)字上，然后由于其對偶問題仍為可行解，故只 需檢查原問題是否仍為可行解。第四小問，即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的增加一個約束條件的分 析。只需參加約束條件建立新的線性規(guī)劃模型，通過LINGO程序直接獲得新的最優(yōu)解。模型的建立和求解：1建

11、立模型maxZ 6x! 4x22xi 3x2 100s.t. 4x1 2x2120x1, x20x1, x2 NZ表示總的利潤，X1、X2分別表示兩種型號生產(chǎn)數(shù)量。添加松弛變量X3、X4，列出單純形表：6400Cb基bX1j X2X3X40X310023100X41204201Cj-Zj6400求得最終單純形表:010-3/2Cb基bX1X2X3X44X220011/2-1/46X1 2010-1/43/8 :Cj-Zj-6-3-1/2-11/4得最優(yōu)解為X2=X1=2O,即最優(yōu)方案為A1、A2兩種型號各生產(chǎn)20件。得最大 利潤200元。2將A1的單件利潤改為6元，得如下新的線性規(guī)劃問題，通過

12、 變化分析原問題的靈敏度。maxZ ( 6)x1 4x2 0x3 0x410012002xi 3x2 X3st. 4x1 2x2 x4Xi,X2,X3,X4 x1,x2 N上述線性規(guī)劃問題的最終單純形表:表101-"2°-3/2- /4Cb基bX1X2：X3X44X220011/2-1/46+入X120101/43/8Cj-Zj-6-入-3-2/2-1/2+3 /2-11/4-5 /8表中解的最優(yōu)條件是:6 03/2 01/2 3/2 0 11/5 5/8 0B11/21/420,b1/43/8203時滿足上述要求由此推得當(dāng) 88/253由表1可知由公式1有:1/21/4/2b1/43/80/4使問題最優(yōu)基不變的條件是20 /2b b020/4由此推得40804) 加放產(chǎn)品A3,建立新的線性規(guī)劃問題：maxZ 6x1 4x2 5x32x1 3x2 4x3100s.t. 4x1 2x2 2x3120X1.X2.X30X1.X2.X3 N用 LINGO 求解，程序代碼如下： model :max=6*x1+4*x2+5*x3;2*x1+3*x2+4*x3<=100;4*x1+2*x2+2*x3<=120;gin(x1) ;gin(x2)