1、自再現模所應滿足的積分方程分離變量法方形鏡對稱共焦腔鏡面場分布（長橢球函數）厄米-高斯函數圓形鏡對稱共焦腔鏡面場分布（超橢球函數）對稱共焦腔拉蓋爾-高斯函數N近似鏡面場分布鏡面場分布空間行波場分布空間行波場分布本征值本征值 D，n nmnq腔內、外行波場腔內、外行波場基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、本征函數本征函數鏡面上光斑，模體積鏡面上光斑，模體積fw 0空間場分布空間場分布光斑、相位光斑、相位 201fzwzw zfzzR2f22e1衍射損耗1、證明：任何一個共焦腔與無窮多個穩定球面腔等價：020000zfzzffzfzR2222212111zfzzRRzfzzRR111021

2、RLRL可以證明R1, R2, L滿足 共焦腔與穩定球面腔的等價性 ?任何一個共焦腔可以與無窮多個穩定球面鏡腔等價，而任何一個穩定球面鏡腔只能有一個等價共焦腔12zzL是穩定球面腔的情況：，考慮0021zz2.8 一般穩定球面鏡腔的模式特征2、證明：任意一個穩定球面腔只有一個等價的共焦腔： 關鍵問題：已知 R1 , R2 , L 如何求出等價共焦腔位置及 f 值 2222212111zfzzRRzfzzRR12zzL 21122121RLRLLRLzRLRLLRLz 22121212RLRLLRRLRLRLf02f111021RLRL當可得推導中應注意對反射鏡曲率的符號定義：凹面鏡 R0。11

3、1021RLRL一、鏡面上的光斑尺寸（基模） 201fzwzw 一般穩定球面鏡腔的模式特征fzz,21將前面 的表達式帶入，得到7 . 8 . 2116 . 8 . 204121210241211201412121222412112211LwggggwwggggwworLRRLRLLRRLwLRRLRLLRRLwsssssss zwrezwwEAzyxE22000000,穩定腔二、模體積（基模）9 . 8 . 2221141222122000021122100020021LLwVggggggVwwLVsss1212000000nmVVVVmnmn模體積（高階模）對方形鏡穩定腔：三、等相位面分布

4、： zffzfzfzzR2等相位面（2.8.4） 22121212RLRLLRRLRLRLf四、基模遠場發散角：41212122121122ggggggggLf2zfz12L2lim22ze12 zzwz2lim0000121221VnmwwLVnsmsmn五、諧振頻率：11. 8 . 22122,212,22zfzfarctgnmkfRrzkzrzfzfarctgnmkfRrzkzrmnmn方形鏡圓形鏡12. 8 . 22, 0, 02,12qzzzr2mnmnmnfzz,21表達式代入將14. 8 . 213. 8 . 2cos1212cos1122121ggarcnmqLcggarcnm

5、qLcmnqmnqnn方形鏡穩定球面腔：圓形鏡穩定球面腔：六、衍射損耗：2022swaLaN202022ssiwawaiiefN穩定球面鏡腔的有效菲涅爾數Lws0共焦腔菲涅耳數共焦腔菲涅耳數 穩定球面腔與等價共焦腔的衍射損耗遵循相同規律時，兩個腔的單程損耗應該相等。帶入（2.8.6）和（2.8.7）19. 8 . 211211222121222222222121212211121221121ggggLaLRLLRRLRRawaNggggLaLRLLRRLRRawaNsefsef可以按共焦腔的Nmn關系，將有效菲涅耳數代入，分別求出對應的mn1和mn221. 8 . 22121mnmnmn共焦腔

6、 TEM00 近似公式 00=10.9104.94N 行波場相同共焦腔各模式的損耗單值的由N決定2.9 高斯光束的基本性質及特征參數一、基模高斯光束沿z軸方向傳播的基模高斯光束，不管它是由何種結構的穩定腔所產生的，均可表示為： 2 .9 .21 .9 .2,112,0202220222200222fwwfzfzzffzfzfzzRRfzwzwkyxreezwczyxfzarctgRrzkizwr共焦參數腰斑半徑等相位面曲率半徑光斑半徑 f 或w0為高斯光束的典型參數發散(+)會聚(-)二、基模高斯光束的特征參數1. 用w0 (或f )及位置表征； 已知 w0 (或 f) w(z), R(z),

7、等參數2. 用w(z)及R(z)表征; 已知 w(z), R(z) w0 , z 1222122011zwzRzRzzRzwzww 201fzwzww 21zfzzRR20wf fw 01、曲率不斷變化的非均勻球面波；2、橫截面內振幅/強度分布為高斯分布；3、等相位面始終保持為球面。基模高斯光束特點3. 高斯光束的q參數 fztgkziezwizRrikzwczyx1220012exp,(2-9-1) 改寫為1/ q(z)q 參數 zwizRzq211(高斯光束的復曲率半徑)q 參數物理意義：同時反映光斑尺寸及波面曲率半徑隨z的變化 zqzwzqzR1Im1,1Re12 fzarctgRrzk

8、izwreezwczyx200222, 若已知高斯光束某一位置的q參數w(z), R(z)w0, z 若已知高斯光束某一位置的q參數 w(z), R(z) q 參數表征高斯光束的優點: 將描述高斯光束的兩個參數w(z)和R(z)統一在一個參數中, 便于研究高斯光束通過光學系統的傳輸規律 高斯光束三種描述方法的比較 00101120wiRqqifwiq200 zqzifzq0光腰處（z0）0 2020ww整理可得： 22020222011wzwzw,zwzzR zwizRzq211三、高階高斯光束 13. 9 . 2221221,12122222fzarctgnmzqrzkinmmnfzarct

9、gnmzRrzkizwrnmmnmneyzwHxzwHzwCeeyzwHxzwHzwCzyx1、厄米-高斯光束橫向場分布由高斯函數與厄米多項式的乘積決定 zwrnmeyzwHxzwH2222mn光腰尺寸：15. 9 . 21212202202wnwwmwnmz 處光斑尺寸： 16. 9 . 212122222zwnzwzwmzwnm遠場發散角： 17. 9 . 2122122lim122122lim0000nwnzzwmwmzzwnznmzm2、拉蓋爾-高斯光束 18. 9 . 2sincos22,12222222mmeezwrLzwrzwCzrfzarctgnmzRrzkizwrmnmmnm

10、nmn橫向場分布z 處光斑尺寸：光腰尺寸：012wnmwmn 20. 9 . 212zwnmzwmn21. 9 . 2120nmmn遠場發散角：二、高斯光束通過光學元件的變換ABCD公式1.自由空間2.薄透鏡(透鏡焦距為F）球面波球面波Fll11121FRR111122211,lRlR發散(+) 會聚(-)l1l2R1R2S1S2物距 像距 焦距近軸情況FRR11112R1R2（薄透鏡）12ww Fqq11112222211wiRq高斯光束高斯光束q1q2202101zqqzqqLqq12兩式相減高斯光束高斯光束LRR12球面波球面波LRzzRRzRzR112122211,3. 光學系統傳輸矩

11、陣為 的光學系統112112DCrBArrDCRBARrR11222222Rr 111Rr 球面波高斯光束 q參數通過光學系統的變換與球面波R的變換相同DCqBAqq1121122rDCBArABCD公式R1R212DCBA近軸光 , Lqq12Fqq11112FRR11112LRR12自由空間透鏡球面波 高斯光束 zwizRzq2110時，q(z) R(z)，波動光學幾何光學三、用q參數分析高斯光束的傳輸問題已知：w0, l, F求：通過透鏡后lc處，高斯光束 參數wc, Rc22022022202220)()()(wlFwFiwlFwlFlFlqCCqA qBz=0 q0= if f =

12、w02/ A處 qA = q0+ lB處 1/qB = 1/qA- 1/F C處 qc= qB+ lc0wcw0wclll關鍵A B0)()(2202220wlFwlFlFlCC點取在像方束腰處01ReCCqR22022)()(wFlFFlFllC由此得2202202)(wlFwFiqC202220201111Im1wFFlwqwC220220220)(wlFwFwqA qB0wcw0wclllA B2222020222flFFwwfFlFFlFl2200fFlFwwqA qB0wcw0wclll討論: 高斯光束成象與幾何光學成象規律的比較1. l F 即有 ( l - F )2f 2 和幾何

13、光學成象規律相同FllFFlFFfFlFFlFl2222Fll111llFlFfFlFwwK2200腰斑放大率2. l = F 時Fl 和幾何光學成象規律不同幾何光學: l=F l= (平行光)無實象2222020flFFww222020fFwwFl qA qB0wcw0wclll20wf 3. l F l = 0Fl 0仍有實象 幾何光學: l F 虛像00wFw四、高斯光束的聚焦: 即00ww2222020flFFww222fFlFFlFl20wf 1. F f 要使 要求00ww 222flFF2222fFFlfFFl即或才能聚焦2222fFFlfFF如果不能聚焦（分母分子）(2.10.

14、18)(2.10.17)FlwFwFl00(1)0wlFl(2)Flwl00(3)Fwl0wF0w0wlF F 一定一定22fFF22fFF( l F , l f)0w0wllR(l) 2201lwllfflflR 2/lRF 才有聚焦作用 F 0w201 w201 w 2lR lR0Fl 一定一定, 關系關系 結論：要獲得良好的聚焦效果： 使用短焦距透鏡使用短焦距透鏡 光腰遠離透鏡光腰遠離透鏡 ( ( lF, l f ) 取取 l=0時，令時，令 fF 2222020flFFwwFw 0 21zfzzR20wf 00wFwFl 五、高斯光束的準直減小發散角高斯光波 平面光波 單透鏡準直效果可

15、見，高斯光束通過薄透鏡 當l = F 時 , w0 = F/ w0 最大 1、 F , 長焦距透鏡利于準直 2、 w0 盡可能小 002w00w發散角 要使 盡量大0w有限，無論l，F取何值都不可能使 說明用單透鏡不能實現完全準直0w0w2222020flFFww由FfFwww200000此時：Fwl0wF0w0wlF F 一定一定22fFF22fFF 短焦距透鏡聚焦, lF1 使w0 ， 長焦距透鏡F2準直 利用倒裝望遠鏡準直12212111FlfFlFFlFlFl 10000011022212220202120212120202021212020221212020,1111111111FlwwwwFlFlwwlwFwlwFwFFlwwwFFlwwflFFwwFl 得到最小 及其位置0w當 位置在F2焦點上時， w0”= F/ w0 最大0w2200000 Fwww準直倍率(發散角壓縮比) 2202120120011 wlMflFFwlwFFM1Fl 光腰幾乎落在焦平面上, 組成一倒裝望遠鏡21FFS望遠鏡放大倍率Mw0lF1F2sw(l)w0w0 L1L2F l ,wFw00 lwwMlwwFFwwwwww00210000000000001 112FFM較小腰斑必然使發散角增加200w五、光束衍射倍頻因子對于高