1、精品文檔數(shù)學(xué)物理方法試卷答案一、選擇題（每題4分，共20分）1 .柯西問題指的是（B ）A.微分方程和邊界條件. B.微分方程和初始條件C.微分方程和初始邊界條件.D. 以上都不正確.D ）唯一性和穩(wěn)定性.存在性、唯一性和穩(wěn)定性2 .定解問題的適定性指定解問題的解具有（A .存在性和唯一性.B.C.存在性和穩(wěn)定性.D.2u0,3 .牛曼內(nèi)問題u有解的必要條件是（C ） fnA. f 0.C. fdS 0.B. U 0.X (x) X(x) 0, 0 xX(0) X(l) 02(,sin- x).llD. udS 0.4,用分離變量法求解偏微分方程中，特征值問題的解是(B )2A . ( n ,

2、cosnx).B.ll22(2n 1)(2n 1)(2n 1). (2n 1)、C . ( ,cosx) . D . ( ,sinx).2l2l2l2l5 .指出下列微分方程哪個是雙曲型的( D )A.Uxx4U xy5u yyU x2Uy 0 .B-Uxx4Uxy4Uyy0.222Cx Uxx 2xyUxy yUyy乂丫山 丫 Uy 0.D.Uxx3Uxy2U yy0 .精品文檔、填空題(每題4分，共20分)1.求定解問題u2u t22一 0, 0 x , t 0 x2sint, u 2sint, t 0x x'0, ut t 0 2cosx, 0 x的解是(2sintcosx).2

3、 .對于如下的二階線性偏微分方程a(x, y)uxx2b(x, y)%c(x, y)uyy dux euyfu 0其特征方程為(a(x, y)(dy)2 2b(x, y)dxdy c(x, y)(dx)2 0).3 .二階常微分方程y (x) - y (x) (- -32-)y(x) 0的任一特解y ( J飛(x) x 4 4x 22或0).1，4.二維拉普拉斯方程的基本解為(ln-),三維拉普拉斯方程的基本解為r5.已知 J 1 (x).2一 sin x, J 1 (x)2一cosx,利用Bessel函數(shù)遞推公式求 x3 /,當(dāng)32(即。).x dx x解：第一步：分離變量(4分)2 1J3

4、 (x)(J-(-sin x cosx)2x x、(15分)用分離變量法求解如下定解問題22u 2 ua 0,0 x l,t0tx0,-0,t0x x 0x x Iut 0 x,utt0 0, 0 x |.設(shè)u(x,t) X(x)T(t),代入方程可得"nX (x) T (x)X(x)a2T(x)t的函數(shù)。因此，左端和右端相等, ,則有T (x)a2T(x)2 a2T(t) 0,X (x) 0.B QAsin l 0X(x)T(t) a2X (x)T(t)此式中，左端是關(guān)于x的函數(shù)，右端是戈 就必須等于一個與x,t無關(guān)的常數(shù)。設(shè)為X (x) X(x) T (t) X (x)將u(x,

5、t)代入邊界條件得X (0)T(t) X (l)T(t) 0,從而可得特征值問題X (x) X(x) 0X (0) X (l) 0,第二步：求解特征值問題(4分)1)若 0,方程的通解形式為X(x) Ae x Be x由定解條件知A 0,B 0,從而X(x) 0,不符合要求。2)若 0,方程的通解形式為X(x) Ax B由邊界條件知A 0,從而X(x) B 3)若 0,方程的通解形式為X (x) Acos、, x Bsin . x代入邊界條件得B 0,n 、2(),n 1,2,3,從而得特征值問題的一系列特征值及相應(yīng)的特征函數(shù),n 、2n(l-) , n0,1,2,3,.Xn(x) An co

6、sn x, n 1,2,3,.(3分)第三步：求特解，并疊加出一般解求解了特征值問題后，將每特征值n代入函數(shù)T(t)滿足的方程可得出相應(yīng)的解_ ，To(t)CoDotn . nTn(t) Cn cos at Dn sin at, n 1,2,3,.因此，也就得到滿足偏微分方程和邊界條件的一般解u(x,t)CoDot(Cn1n . cosatlDn sin -n at) cosn- x,第四步：確定疊加系數(shù)(4分)由初始條件可知CoCn COS1nxlDoDnn a ncos-可得CoCnDn_22l2 nO,n(1)n0,1,2,1,n 1,2,3故原方程的解為u(x,t)l_22l-22 (

7、 1 n1)nn at n1coscos 一 xl l_24l_22n o(2n1)2 2coscosJLx.四、（10分）用行波法求解下列問題222u cu c u2 23 2 0, y 0,x x y yu y o 3x , 0, xy y 0解：其特征方程為（2分）（2分）（2分）(dy)2 2dxdy 3(dx)20由此可得特征線方程為3x y cx y d因此作變換3x y,x y從而可得從而有u(x,y) F(3x y) G(x y)由初始條件可得F(3x) G(x) 3x2F (3x) G (x) 0所以有F(3x) 3G(x) C ,從而可得9x2F(3x)C(2分)(2分)4

8、G(x)" C4故而可知22u(x, y) F (3x y) G(x y) 3x y。五、(10分)用Laplace變換法求解定解問題:20,-2, 0 x 2, t xux2 0, t 0,sin x, 0 x 2.解：由題意知，需關(guān)于時間t作拉普拉斯變換，記U(x, s)Lu(x,t),對方程做拉氏變換可得d2Udx2sUsin x,（4分）U x0 U x20,用系數(shù)待定法很容易解求上常微分方程的一特解（2分）sin xU 02s又上常微分方程相應(yīng)的齊次問題的通解為U1AelxBe sx所以，上常微分方程的通解為（2分）U Ae sx Be 4 ,s再由定解條件可得A= B=

9、0,從而U4s故而，原定解問題的解（2分）u(x,t)L 1UL 1sin x e 2t sin x.。s六、(15分)用格林函數(shù)法求解下定解問題2u2x2 u0, y 0,y f(x),u(Mo)111 (u(M) (ln ) In - 2n rMM0rMM)dSn(2分)解：設(shè)Mo(xo，yo)為下半平面中任意一點。已知二維調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式為設(shè)v為調(diào)和函數(shù)，則由第二格林公式知(u 2v2v u)d(u v)dS 0n n(2)(1) +(2)可得u(Mo)U(M)T(lnn1)dSrMM 0rMM 0v)dSn(2分)若能求得v滿足(3)Qy 011ln2rMM0則定義格林函數(shù)G(M,

10、M0)Lnv,則有rMM 0(2分)u(M0)u(M )dSn由電象法可知，M(x0, y°)為M°(x0, y°)的象點，故可取v Ln2rMM 1(2分)顯然其滿足(3)。從而可得格林函數(shù)G(M,Mo)1 .1ln2 rMM 01 q1(ln2 y r MM0LnrMM 1111n1)小1 MM1 以(y y°)(y v。)22(x x°) (y y°)2(x Xo) (y y。)2)故而u(Mo)u(M )-GdSn(x：；2 y2f( )d(5分)(2分)七、(10分)將函數(shù)f xx在區(qū)間0, 1上展成Bessel函數(shù)系Ji(

11、1) mx)m1 的級數(shù)，其中m為Bessel函數(shù)Ji(x)的正零點，m 1,2,L.解：設(shè)f xx有如下級數(shù)形式f (x) AJ( ix)i 1(1分)卜面利用Bessel函數(shù)的正交性確定系數(shù)Ai易知，對上等式兩邊同時乘以xJi( i(1)x)并關(guān)于x在0,1內(nèi)積分可得Airr,匹 0 x J1( i()x)dxJ2 ( i )(2分)再由遞推公式x2J2(x)x2J1(x)，可得dxy2 I ()x J2 ( i x) 2d而x J( i x)dx(2分)故而21 2A 2(1) nx J1(J2( i() 0、d2 x2J2( ix)x)dx ,2(1)J2 ( i )i2咒2(i(1)

12、2(1)Jo( i(1)(3分)這里用到遞推公式Jn 1(X) Jn1(x) 2nJn(x)x所以,2(1)2、,/<) /V f (x)(1 (i)T J1( i x)(1) . (1)、J1( i x)(2 刀)i 1 i J2 ( i )i 1 i Jo( i )T12、(12分)將函數(shù)f xx2在區(qū)間(0,1)上展開成Bessel函數(shù)系Jo( ix)i1的級數(shù)，其中i是Bessel函數(shù)Jo(x) 0的正零點，i 1,2,3,解：設(shè) f (x) x2AJo( i x)i 1其中“11 213,、.A 1 oxf (x)Jo( i x)dx 2 ox Jo( i x)dx2J12(i)J1(i)(3分)作變量代換，令 ix t ,則1 31 i 3ox Jo( i x)dx -4 o t Jo(t)dt由遞推公式 xnJn(x)xnJn1(x)，可得dx1 i 31 i 2 d13 t ii 2T o t3Jo(t)dt-70t2dtJ1(t)dt-7t3J1(t)t o 20t2J1(t)dtiid