1、各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。筆者總結出九種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。一、定義法直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目例1等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，求數列的通項公式解：設數列公差為成等比數列，即，得，由得：，點評：利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數列或其它可求和的數列）的數列通項，可用累加法，即

2、令n=2，3，n1得到n1個式子累加求得通項。例2已知數列an中，a1=1，對任意自然數n都有，求解：由已知得，以上式子累加，利用得-=，點評：累加法是反復利用遞推關系得到n1個式子累加求出通項，這種方法最終轉化為求f(n)的前n1項的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如(其中為常數) 的數列通項，可反復利用遞推關系迭代求出。例3已知數列an滿足a1=1，且an+1 =+1，求解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-21+3n-31+31+1=點評：因為運用迭代法解題時，一般數據繁多，迭代時要小心計算，應避免計算錯誤，導致走進死胡同四、公

3、式法若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式求解。例4已知數列的前項和滿足求數列的通項公式；解：由當時，有，經驗證也滿足上式，所以點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并五、累乘法對形如的數列的通項，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累乘求得通項。例5已知數列中，前項和與的關系是，求通項公式解：由得兩式相減得：，將上面n1個等式相乘得：點評：累乘法是反復利用遞推關系得到n1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求f(n)的前n1項的積，要注意求積的技巧六、分n奇偶討論法在有些數列問題中，有時要對n的奇偶性進行分類討論以方便問題的處理。例6已知數列an

4、中，a1=1且anan+1=2，求通項公式解：由anan+1=2及an+1an+2=2，兩式相除，得=，則a1,a3,a5,a2n-1，和a2,a4,a6,a2n，都是公比為的等比數列，又a1=1,a2=，則：（1）當n為奇數時，；（2）當n為偶數時，綜合得點評：對n的奇偶性進行分類討論的另一種情形是題目中含有時，分n為奇偶即可自然引出討論分類討論相當于增加條件,變不定為確定注意最后能合寫時一定要合并。這是近年高考的新熱點，如05年高考江西卷文科第21題七、化歸法想方設法將非常規問題化為我們熟悉的數列問題來求通項公式的方法即為化歸法同時，這也是我們在解決任何數學問題所必須具備的一種思想。例7已

5、知數列滿足求an解：當兩邊同除以，即成立，首項為5，公差為4的等差數列點評：本題借助為等差數列得到了的通項公式，是典型的化歸法常用的化歸還有取對數化歸，待定系數化歸等，一般化歸為等比數列或等差數列的問題，是高考中的常見方法八、“歸納猜想證明”法直接求解或變形都比較困難時，先求出數列的前面幾項，猜測出通項，然后用數學歸納法證明的方法就是“歸納猜想證明”法例8若數列滿足：計算a2，a3，a4的值，由此歸納出an的公式，并證明你的結論解：a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，a3=2（2×1+3×2°）+3

6、5;21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想an=2n1+（n1）×3×2n2=2n2（3n1）；用數學歸納法證明：1°當n=1時，a1=21×=1，結論正確；2°假設n=k時，ak=2k2（3k1）正確，當n=k+1時，=結論正確；由1°、2°知對nN*有點評：利用“歸納猜想證明”法時要小心猜測，切莫猜錯，否則前功盡棄；用數學歸納法證明時要注意格式完整，一定要使用歸納假設九、待定系數法（構造法）求遞推式如（p、q為常數）的數列通項，可用待定系數法轉化為我們熟知的數列求解，相當如換元法。例9已知數列an滿足a1=1，且an+1 =+2，求解：設，則，為等比數列，點評：求遞推式形如（p、q為常數）的數列通項，可用迭代法或待定系數法構造新數列an+1+=p(an+)來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例10已知數列滿足求an解：將兩邊同除，得，變形為設，則令，得條件可化成，數列為首項，為公差的等比數列因，所以=得=點評：遞推式為（p、q為常數）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數）型例11已知