1、山東省泰安市泰山中學2020屆高三數學三模試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.1 .已知集合4 =卜丫一4工一5V。,8 = ,中一工0,貝iAc8 =A. (YU)B. (-1,1)C. (-1,5)D. (0,5)2 .設復數z滿足(1i1z=5 + 2"則z的虛部為A. -1B. -iC. -D. -/223 .已知函數/(x)=,',則函數，( 'T)的定義域為V2V -4rx+1A. (yl)B. (-00,-1)D.c. (i)5i,o)4 .已知拋物線C：/=4y的準線恰好與圓/：

2、(工_3)2+()，-4)2 =/(，()相切，則r=A. 3B.4C. 5D.65 .設p：實數x滿足公一其中0。5), q：實數x滿足lnx2,貝U p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.我國古代數學名著九章算術中記載：“芻薨者，下有 £ 尸袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.餐，屋蓋也.”今有底而/ z為正方形的屋脊形狀的多面體(如圖所示)，下底而是邊長C為2的正方形，上棱E尸=之，EF平而ABCD, EF與平面/2 0ABCD的距離為2,該芻費的體積為A.6B. C. D. 123 47.函數/(x) = x3cos + sinx在燈

3、，句的圖象大致為8.如圖，已知雙曲線C：二- =1的左、右焦點分別為ci a + 2耳，死，”是C上位于第一象限內的一點，且直線廣2M與)，軸的正半軸交于A點，的內切圓在邊”片上的切點為N,若|M/V|=2,則雙曲線C的離心率為A.C.2D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多 項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.9.已知向量 =(2,1)力=(-3,2),。= (1/)，則A. al lbB. (<7+/?)±c C. a+b = cD. c = 5a + 3b10.某院校教師情況如下表所示、類別

4、 年度、老年中年青年男女男女男女201612060240120100402017210403202002001202018300150400270320280關于2016年、2017年、2018年這3年該院校的教師情況，下面說法正確的是A. 2017年男教師最多B.該校教師最多的是2018年C. 2017年中年男教師比2016年多80人D. 2016年到2018年，該校青年年齡段的男教師人數增長率為220%11.若= ci + aAx + a2x2 + + ax2 (x e 7?),貝ij32009 +1A. a() = 1B. + a3 + a5 hf «2009 =23*1D.4

5、 + & + % + +")= 2 22 23212.已知函數=cosx則下列結論正確的是C +a2+ 6/4 H F c12(x)8 =-A. /（X）是周期函數B. 7（X）的圖象是軸對稱圖形C. /（X）的圖象關于點（令0）對稱D. f（x）<ll三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 .已知直線y = x + 是曲線y = e'+3的一條切線，貝帥=上./ 九冗、14 .已知2sin2a =cosa =sin夕，且a, p e » 貝！Jcos（2a + /7）=< 2 2 yl15. 甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數學、物理

6、、化學三科競賽，每個同學只能參加一科競賽, 若每個同學可以自由選擇，則不同的選擇種數是人:若甲和乙不參加同一科，甲和丙必須參 加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數是.（用數字作答）（本題第一空2分, 第二空3分）16. 已知球0是正三棱錐P 48C的外接球，A3 = 3,24 = 26，點E是線段AB的中點，過點E作球0的截面，則截而面積的最小值是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （10 分）在S”=2+，%+ % = 16,&+ §5=42,4± =匕1,跖=56這三個條件中任選一 一 一 一 4個補充

7、在下面的問題中，并加以解答.設等差數列q的前項和為S”，數列也為等比數列，,仄=也=管.求數列的前項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18. （12 分）ABC的內角A, B, C所對的邊分別為“,5,c ,己知8s2A+8s28 + 2sinAsinB = l-cos 2C.（1）求角c.（2）設D為邊AB的中點，AA8C的面積為2,求82的最小值.19. （12 分）矩形,在四棱錐P A8C。中，APA3為等邊三角形，四邊形ABCD為E為PB的中點，DELPB.4（1）證明：平而ABC。，平面PAB.（2）設二面角4 PC3的大小為a ,求a的取值范圍.20. （12 分）

8、某水果批發商經銷某種水果（以下簡稱A水果），購入價為300元/袋，并以360元/袋的價格 售出，若前8小時內所購進的A水果沒有售完，則批發商將沒售完的A水果以220元/袋的 價格低價處理完畢（根據經驗，2小時內完全能夠把A水果低價處理完，且當天不再購進）.該 水果批發商根據往年的銷量，統計了 100天A水果在每天的前8小時內的銷售量，制成如下 頻數分布條形圖.° 14151617前8小時內儲售量"單位:袋）現以記錄的100天的A水果在每天的前8小時內的銷售量的頻率作為A水果在一天的前8小 時內的銷售量的概率，記X表示A水果一天前8小時內的銷售量，表示水果批發商一天批發 A水

9、果的袋數.（D求X的分布列： （2）以日利潤的期望值為決策依據，在 =15與九=16中選其一，應選用哪個?21. （12 分）22已知橢圓， + W = 11”> >0）的右頂點為A,上頂點為B, 0為坐標原原點，點0到直線AB的距離為占，AOAB的面積為L（1）求榷圓的標準方程；直線/與橢圓交于C, D兩點，若直線/直線AB,設直線AC, BD的斜率分別為6水2證明：占修為定值22. （12 分）已知函數/（x） = lnx-ar+l有兩個零點.-5-(1)求a的取值范圍;(2)設為,占是/(x)的兩個零點，證明：/r(x1>x2)<l-fl .數學參考答案1.B【解

10、析】本題考查集合交集運算，考查運算求解能力.因為A =所WAc3 = (-l,l).2. C【解析】本題考查復數的四則運算，考查運算求解能力.5 + 2/5 + 2/ (5 + 2/)z -2 + 5/1 5 .(I-/)2-2/-2/223.D【解析】本題考查函數的定義域，考查運算求解能力.令2、>4)即2" vl,解得x<0.若"''一1有意義,貝卜 X+1x-1 <0,/.、即 X£(YO,-1 UX+1H0,'74 .C【解析】本題考查拋物線的標準方程及直線與圓的位置關系，考查數形結合的思想. 拋物線C:/=4y的

11、準線方程為y = 1,則r = |4+l| = 5.5 . A【解析】本題考查充分必要條件，不等式的解法，考查運算求解能力，邏輯推理能力. 設 A = 1丫 一卜/ + 1)工 + 4 WO = M(x-l)(x-4)K0,8 = x|lnx v 2 = x|0 vx v/,因為0<。<5,所以所以是夕的充分不必要條件.6.B【解析】本題考查空間幾何體的體積，考查空間想象能力和運算求解能力.如圖，作FNAE, FM/ED,則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，則該芻薨的體積為%_mnbc + Vn)e_mnf = T Smnbc . 2 + S直收面13 1=x2x 2 x2 +2x2

12、3 11x -=22 37.A【解析】本題考查函數圖象的應用，考查邏輯推理能力.由f(r) = -/(x),所以/(x)是奇函數，排除B,D：由/，停H巧乂聶孝，可知/仔卜小)，結合圖象可知選a.8.D【解析】本題考查雙曲線的定義以及內切圓的應用，考查數形結合的思想以及轉化與化歸 的思想.設的內切圓在邊的切點分別為E,G,則|AE| = |AG|,|E"| = |耳N|,MN = MG .又周=2，則快用+眼一|姐| =為,由對稱性可知9|A同=|4用，化簡可得|MN| = o,貝iJa = 2,a + 2 = 4 ,所以雙曲線C的離心率為號S9.BD【解析】本題考查平面向量的坐標運

13、算，考查運算求解能力.=-1 + 1 = 0,故(a+)_Lc ,設 c = 4 + /y?(4，& eR),則(1/)=4(2，1)+4(3,2) = (2434,一4+2%)，貝，"一所以 4=:所以 4 + 2x2 = L =3,c = 5a+3b.10. BCD【解析】本題考查統計知識，考杳數據處理能力.由題意知，2018年的男教師最多，A錯誤；將表中各年度人數橫向求和可知，2018年共有1720 人，為人數最多的一年，B正確；2017年中年男教師比2016年多320- 24。= 80 (人)，故C 項正確；20162018青年男教師增加了 220人，增長率為2201

14、00 = 220% ,故D正確.11. ACD【解析】本題考查二項式定理的應用，考查運算求解的能力.由題意，當嬉=0時,=12009 = 1,、上/ -2OO9.TX=1 時,4)+41 +2+3 + + '"2009 =(二1 ) =-1，當 x = -1 時,。0 _.1 +% _。3 +_。2009 = 3°"，3?期+ 132(x)9-1所以 4+%+% + %)09=-"%+42+%+- + /008 =- 乙乙卜會 + 舞，xg + /xQ) + +、x1<22009當 X = 1 時，0="+ 4 x- +(k x2

15、2/ 2009<2)12;+ + 420()9 X1<2;200912. AB【解析】/、 cosn(x + 27r cosn(nx + 2n7r cos“x , 、 、由于/(1+ 24)=,=一； = = /(必，所以/(x是周期函 cos(x + 2J cos(x + 27r) cosx數，故A正確；由t)=cos( )=T = /(x),從而/(X)為偶函數，其圖象關于x = o對稱，故B cos(-x) COSX正確;cos nx cost H7r-nx) 寸奇數)，由于/(x) + J(萬一 x) =+、9 = 1 COSX從而當為奇數時,cosx cos-x)o(為偶

16、數)，/(X)的圖象不一定關于點H，o|對稱，故C不正確;當 =2 時，/(¥)= 2"藝、7 =2cosx 一,令 cosx = L,則此時/(x)>2,故 D cos xcos x5不正確.1 3.4【解析】本題考查導數的幾何意義，考查運算求解能力.設f(x) = e'+3,切點為10，4+)因為r(x) = F,所以蠟=1力=蠟+3-%則 =4.14-41解析】本題考查三角恒等變換,考查運算求解的能九由 2sin2a =cosa, 則 4sinacosa =cosa,因為 a e, 故 sina = ,aek 2 2)40,g).由cosa = sin/

17、7 = ,可得a + /?=5,所以cos(2a + /7) = -sina = -；.15 . 243； 30【解析】本題考查排列組合的應用，考查邏輯推理能力.若每個同學可以自由選擇，由乘法原理可得，不同的選擇種數是第=243；因為甲和乙不參加同一科，甲和丙必須參加同一科，所以有2、2、1和3、1、1兩種分配方 案.當分配方案為2、2、1時，共有C；A; = 18種；當分配方案為3、1、1時，共有C；A； = 12種；所以不同的選擇和數是18 + 12 = 30.16 .【解析】本題考查空間幾何體的外接球，考查空間想象能力.4設三棱錐的外接球半徑為R ,正三角形ABC的外接圓圓心為。'

18、;，則 PO' = 3,J+(3 R)2 = R2,解得R = 2,OO' = 1,因為過E作球。的截面，當截面與0E 垂直時，截面圓的半徑最小，所以當截面與0E垂直時，截面圓的面積有最小值.在 心CO'O中，8,=6,所以= W.在油AE0O中，。石=<，所以，=也2_。爐=所以截面面積S = /r/=絲. 2417 .解：選當 =1時=5 =2, 1分當 2 2時，弓=S-=2，2分又 =1滿足勺=2，所以為=2.4分設也的公比為q,又因為4=2,%=4,由4=6也=等，5分得"=2,q = 2,所以a=2”.6分由數列也的前a項和為專三 =2向一

19、2, 7分可知告=n2 +n z?(/7 + l) n n + 數列的前項和為1一1+!-1+2 2 3故12u_2 + 1_-L "n + 1選10分設公差為d,由%+% = 16,53 + 65 =42,得2al +6d = 16, 8q+13c/ = 42,4=2,.j .所以 4“ =2,S =-+. d = 2,設"的公比為q,又因為q = 29 =4由4=a(,b2 =M三得”=2,q = 2,所以2=21由數列"的前項和為1-2=2"22,-111 111pj 知=Sn n2 + n /?(/? + 1) n + l數列的前項和為1一1+?

20、-:+，一一 = 1一上，9分Sn2 2 3 n n + n + 故 7； = 2“ - 2 +1!- = 2"+I- -1.10 分n + n + 選由得皿=包,所以% =5,即為=的,2分au n n + nn S7 = 7a4 = 28。 = 56, 所以 = 2 , 3分所以* = 2/z,Sn=n2+n.4分設也的公比為q,又因為=2,/=4,由&=%也=竽，5分得= 2,q = 2,所以"=2"6分由數列也的前項和為 -=2"“ 一 2 ,可知臺n2 +n /?(/? + 1) n n + 的前n項和為1 11+2 2 3-i，n n

21、 + n + 1210分故r= 2-2 + 1- -!- = - -1n + i +118 .解：(1)由A + l-2sirr3 + 2sinAsin3 = l + l-2siiC,2 分所以cosC = " =所以C=工.5分lab 23(2)由 = LisinC,即2=所以岫= 7分2223由 c75 = ；(c4+cX), JWttcr>: =+ cb2+2cA.cb), 9分則麗 2=；(/+/ + 2他cosC)= ；W+a2+""：(2 +加)=26，當且僅當a=Z?時取等號，所以82的最小值為2JJ.12分19. (1)證明：連接AE,因為為

22、等邊三角形，所以AE_LP8, 1分又DE工PB,AEcDE = E,所以尸3,平面ADE, 2分所以依，AO.4分5分因為四邊形ABCD為矩形，所以且A5c8尸=8, 所以AD_L平面PAB.因為AOu平面ABCD,所以平面ABC。J平面PAB.（2）解：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-gz，不妨設PB = AB = PA = 1, C(0,l,),則 4(0,0,0)/由空間向量的坐標運算可得PC =手事,。,而=2 2#442 2設平面BPC的法向量為加=（% J,4）,y/31八干玉+5/+%=0"1 n方內-y二。，X-16-令X=l,則=0,所以"?

23、=(L JJ,O)7 分 設平面PAC的法向量為=（七,y2, z2）61 n-=0,I 2 - 2 一勺+；乃+22=0,令”1,則獷3g邛二面角4一。一3的大小為。，由圖可知，二面角。為銳二面角,所以COS2 =分 10所以12分 20.解：(1)由題意知A水果在每天的前8小時內的銷售量為14, 15, 16, 17的頻率分別是0. 2, 0.3, 0.4 和 0.1, 2分所以X的分布列為X111：）1617P0.20. 30.40. 14分(2)當 =15時，設Y為水果批發商的日利潤，則Y的可能取值為760, 900,5分 P(Y = 760) = 0.2, P(r = 900) =

24、0.8,E(r)= 760x0.2+900x0.8 = 872, 7分當 =16時，設Z為水果批發商的日利潤，則Z的可能取值為680, 820, 960,8分 P(Z = 680) = 0.2, P(Z = 820) = 0.3, P(Z = 960) = 0.5,£(Z) = 680 x 0.2+820 x 0.3+960 x 0.5 = 862 10 分綜上可知，當 =15時的日利潤期望值大于 =16時的日利潤期望值，故選 =15.12分 21.解：(1)直線AB的方程為+上=1,即加+緲一"=0, 1分a br ab 2x/5八則2分因為三角形0AB的面積為1,所以必=1,即3分2解得。=2力=1, 4分所以橢圓的標準方程為+ /=1.5分4(2)簸AB&W為；，斯斯)，= ；1 + /,。(不凹),力(占，%)，6分代入一+ 卡=1,得2)，2-2。，+ /-1 = 0, 7分4t"PC =0, _代入可得