1、-1 -【全程復習方略】(陜西專用)2013版高考數學4.5數系的擴充與復數的引入課時提能演練理北師大版(45 分鐘 70 分)一、選擇題(每小題 5 分，共 30 分)a 1 + i1. (2012 宜春模擬)設 a R,且 訂 y + 是實數，則 a=()13(A) 2(B)1(C)2(D)22. 在復平面內，復數 缶對應的點位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3. (2011 ?大綱版全國卷)復數 z=1+i,z為 z 的共軛復數，則 zz-z-1=()(A)-2i(B)-i(C)i(D)2ia + i4. (2011 遼寧高考)a 為正實數，i 為虛數單位，

2、| = 2,貝 U a=()(A)2(B)3(C).2(D)15. (預測題)已知匚牛=1 ni，其中 m n 是實數，i 是虛數單位，則 m+ ni =()(A )1 + 2i (B)1 2i (C)2+ i (D)2 im 2i6.復數 z=(m R,i 為虛數單位)在復平面上對應的點不可能位于1+2i二、填空題(每小題 5 分，共 15 分)7 (1 i)(1 + 2i)=1 + i - .8._ 已知復數 z 與(z + 2)2 8i 均是純虛數，則 z =卜y1I=X1Y2-X2y1，則復數 z4+i_1Ny2一疋-ii(i 是虛數單位)的共軛復數是_三、解答題(第 10 題 12

3、分，第 11 題 13 分，共 25 分)10.(2011 上海高考)已知復數 乙滿足(Z1 2)(1 + i) = 1 i(i 為虛數單位)，復數 Z2的虛部為 2，且乙Z2(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限9.定義一種運算如下:-2 -【解【解析】 選 A.z=1 2im-2i 1-2i5心込 2i，顯然心555竝二 0 不可能5是實數，求 Z2.11.(易錯題)復數 Z1= 1 + 2i , Z2=- 2+ i , Z3=- 1 2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數【選做？探究題】已知 A(1,2) , B(a,1)

4、 , C(2,3) , D( 1, b)(a , b R)是復平面上的四點，且向量AB,CD對應的復數分 別為 Z1, Z2.1 + i 1 i(1)右乙 + Z2= 1 + i，求 +.Z1Z2若 Z1+ Z2為純虛數，Z1 Z2為實數，求 a、b.答案解析a ai 1+ i (a + 1) + (1 a)i2+2= 2a 1 + iT1 + i + 2是實數，二 1 a= 0,即卩 a= 1.2.【解析】選 A.因為 z= 叫尹=1+，所以Z對應的點位于第一象限1 + i (1 + i)(1 i) 223.【解題指南】 先求出Z的共軛復數，然后利用復數的運算法則計算即可4.【解析】選 B.

5、因為|a-:+| = 2，故可化為|1 ai| = 2,又由于 a 為正實數，所以 1 + a2= 4,得 a = , 3,故選 B.m(1 i) m m(1 + i)(1 i) = 22rm/ m+ ni = 2+ i.6.【解題指南】 先把 z 化成 a+bi(a、b R)的形式，再進行判斷a 1 + i1.【解析】選 B.市+丁 =i)+ 凹(1 + i)(1 i) 2【解【解析】選 B.Z=1-i,ZZ-Z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-仁-i.5.【解析】m1+ i=1 nim2=|m= 2，即|n= 1-3 -同時成立，則 z=m2i對應的點不可能位于第一象限1 +2im

6、- 2i m - 4-(2m 2).m - 4- -(2m 2)【一題多解】 選 A.z= - =-+-i,設 x=- y= - -貝 U 2x+y+2=0.又直線1 +2i 55552x+y+2=0 不過第一象限，則 z=m 2i對應的點不可能位于第一象限1 +2i【方法技巧】復數問題的解題技巧(1)根據復數的代數形式，通過其實部和虛部可判斷一個復數是實數，還是虛數復數 z=a+bi,a R,b R 與復平面上的點 Z(a,b)是對應的，通過復數 z 的實部和虛部可判斷出其對應點在復平面上的位置z2 2z (1 i)2 2(1 i)228.【解析】 設 z= ai , a R 且 a 0,則

7、(z + 2) 8i = 4 a + (4a 8)i./ (z + 2)2 8i 是純虛數， 4 a2= 0 且 4a 8 工 0.解得 a= 2.因此 z= 2i.答案：2i9.【解析】由定義知,z=(、3+i)i-(、3-i)x(-1)=.3-1+( .3-1)i,故 z.7.【解析】(1i)(1+2i)_1Ti=21+2ii2i 3+i (3+i)(1 1Ti=TTT=(1+i)(1i)i)3 3i + i + 124 2i2=2 i.答案：2 i【變式備選】【解【解析】方法丨丨+ i| = 11(1、3i)* 2| =2，4)已知復數z = 1 i，則z2 2zz1【解析】(1)已知復

8、數z是 z 的共軛復數，則z z= |z|2= 4.-4 -z 1 =(1 i) 12i 2 + 2i 2i3-1-( .3-1)i.-5 -答案：,3-1-( ,.3-1)i10.【解析】 設 Z2= a + 2i(a R),由已知復數 zi滿足(zi 2)(1 + i) = 1-i，得 zi= 2 i，又已知 ziz=(2 i) (a + 2i) = (2a + 2) + (4 a)i 是實數，則虛部 4 a = 0,即卩 a = 4,則復數 Z2= 4+ 2i.32【變式備選】復數乙=+ (10 a2)i , Z2= + (2a 5)i ,若z1+ Z2是實數，求實數 a的值.a 十 5

9、I a322【解析】Z1十 Z2=十(a 10)i 十 十(2a 5)ia 十 51 a322=(斗十二十(a 10)十(2 a 5)ia 132=十(a 十 2a 15)i.(a 十 5)(a 1) Z1+ Z2是實數,2 a + 2a 15= 0，解得 a= 5 或 a= 3.又(a 十 5)(a 1)豐0,. aM 5 且 a 工 1,故 a = 3.11.【解析】如圖，Z1、Z2、Z3分別對應點 A、B、C.T T TAB=OBOA,AB所對應的復數為 Z2Z1= ( 2+ i) (1 十 2i) = 3 i , 在正方形 ABCD 中,DC=AB, DC所對應的復數為一 3 i ,1

10、 T T 又DC=OCOD,=(1 2i) ( 3 i) = 2 i ,第四個頂點對應的復數為2 i.【變式備選】 已知復數 z 滿足|z| = 1，求|z (1 十 i)|的最大值與最小值.【解題指南】|z| = 1=復數 z 對應的點是以原點為圓心，1 為半徑的圓上的點=所求即為圓上的點到點(1,1)的距離的最大值、最小值.【解析】因為|z| = 1,所以 z 對應的點是單位圓 X2+ y2= 1 上的點，而|z (1 十 i)|表示單位圓上的點到(1,1)DC所對應的復數為Z3 ( 3i)-6 -點的距離所以最大值為，(0 1)2+ (0 1)2+ 1 = , 2+ 1,最小值為.(0 1)2+ (0 1)2 1=2 1.【選做？探究題】【解析】(1) AB= (a,1) (1,2) = (a 1, 1),ICD= ( 1, b) (2,3) = ( 3, b 3), Z1= (a 1) i , Z2= 3 + (b 3)iZ1+ z2= (a 4) + (b 4)i ,Z|a 4=1a=5又 Z1+Z2=1+i ,.*,.j,b 4 = 1b= 5 Z1= 4 i , Z2= 3 + 2i ,1+ i 1 i 1 + i 1 i + = +ZiZ24 I 3 + 2i(1 + i)(4 + i) (1 i)( 3 2i)=42+