2025北京朝陽高三一模數學2025.3（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，集合，則（A） （B）（C） （D）（2）設復數的共軛復數為，則（A） （B）（C） （D）（3）在的展開式中，常數項為（A） （B）（C） （D）（4）為得到函數的圖象，可以將函數的圖象（A）向右平移個單位長度 （B）向左平移個單位長度（C）向右平移個單位長度 （D）向左平移個單位長度（5）已知是等比數列，，，則（A） （B）（C） （D）（6）已知曲線，則“”是“為焦點在軸上的雙曲線”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）已知，則（A） （B）（C） （D）（8）某市計劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示．這條河兩岸所在直線互相平行，橋與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個入口分別設在直角三角形的頂點處，其中入口（定點）在橋上，且到直線的距離分別為（為定值），入口分別在直線上，公園的一邊與直線所成的銳角為，另一邊與垂直．設該休閑公園的面積為，當變化時，下列說法正確的是（A）函數的最大值為（B）函數的最小值為（C）若且，則（D）若且，則（9）在中，，，點為所在平面內一點且，則的最小值為（A） （B）（C） （D）（10）位同學參加學校組織的某棋類單循環制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進行一場比賽．每場比賽的計分規則是：勝者計3分，負者計0分，平局各計1分．所有比賽結束后，若這位同學的得分總和為分，且平局總場數不超過比賽總場數的一半，則平局總場數為（A） （B）（C） （D）

第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數的定義域為________．（12）已知點在拋物線上，則拋物線的焦點的坐標為________；以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準線的位置關系是________．（填“相交”“相切”或“相離”）（13）已知函數是上的奇函數，當時，，則________；若存在，使得，則的一個取值為_______．（14）干支紀年法是我國古代一種紀年方式，它以十天干和十二地支（）的組合來表示年份，循環紀年．比如某一年為甲子年，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個己巳年是__________年．（用數字作答）（15）在棱長為的正方體中，點是底面內的動點，給出下列四個結論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最小值為．其中所有正確結論的序號是________．

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在四棱柱中，平面，在四邊形中，，，，為線段的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面平面，，求平面與平面夾角的余弦值．（17）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的周長．條件①：；條件②：邊上的高為；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．

（18）（本小題14分）某高中組織學生研學旅行．現有A，B兩地可供選擇，學生按照自愿的原則選擇一地進行研學旅行．研學旅行結束后，學校從全體學生中隨機抽取名學生進行滿意度調查，調查結果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設所有學生的研學旅行地點選擇相互獨立.用頻率估計概率.（Ⅰ）估計該校學生對本次研學旅行滿意的概率；（Ⅱ）分別從高一、高二、高三三個年級中各隨機抽取人，估計這人中至少有人選擇去B地的概率；（Ⅲ）對于上述樣本，在三個年級去A地研學旅行的學生中，調查結果為滿意的學生人數的方差為，調查結果為不滿意的學生人數的方差為，寫出和的大小關系．（結論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓的右焦點為，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點作直線與橢圓交于不同的兩點．設,直線與直線交于點，求證：直線的斜率為定值．（20）（本小題15分）已知函數．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若，求證：當時，；（Ⅲ）若函數有個不同的零點，求的取值范圍．

（21）（本小題15分）已知為有窮正整數數列，若存在，使得，其中，則稱為連續可歸零數列．（Ⅰ）判斷和是否為連續可歸零數列？并說明理由；（Ⅱ）對任意的正整數，記，其中表示數集中最大的數.令，求證：數列不是連續可歸零數列；（Ⅲ）若的每一項均為不大于的正整數，求證：當時，是連續可歸零數列．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）D （5）A（6）A （7）B （8）D （9）C (10)B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）；相切 （13）；（答案不唯一）（14）2049 （15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）連接．因為,為的中點，所以．又，所以四邊形為平行四邊形．所以．又因為，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又因為平面，平面，所以平面． 6分（Ⅱ）因為平面，所以,．又因為平面平面，平面平面,平面，所以平面．所以．所以兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系，則，，，．所以，，．因為平面，所以是平面的法向量．設平面的法向量為，則即令，則．于是．設平面與平面夾角為，則． 13分（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及得．所以．所以．又因為，所以．所以． 5分（Ⅱ）選條件①：因為，，，且，所以．因為，所以．所以．又因為，所以．所以．又，所以．所以的周長為． 13分選條件②：因為，邊上的高為，所以．又因為，所以．所以．因為，所以．（1）當時，由，得．又，所以．所以．所以的周長為．（2）當時，由，得．又，所以，不符合題意．綜上，的周長為． 13分（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）從表格數據可知，隨機抽取的名學生對本次研學旅行滿意的人數為．因此該校學生對本次研學旅行滿意的概率可估計為． 4分（Ⅱ）設事件：抽取的高一學生選擇去B地；事件：抽取的高二學生選擇去B地；事件：抽取的高三學生選擇去B地；事件：抽取的人中恰有人選擇去B地，；事件：抽取的人中至少有人選擇去B地．從數據表格可知，抽取的名學生中高一年級學生總數為，選擇去B地的總數為，所以可估計為；抽取的名學生中高二年級學生總數為，選擇去B地的總數為，所以可估計為；抽取的名學生中高三年級學生總數為，選擇去B地的總數為，所以可估計為；因為，所以所以抽取的人中至少有人選擇去B地的概率可估計為． 11分（Ⅲ）． 14分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意得解得所以橢圓的方程是． 4分（Ⅱ）由題可知直線的斜率存在.設直線．由得．由，得，即．設，則．直線的方程為．令，得的縱坐標為．因為，所以．又．所以，即．所以直線的斜率為定值． 15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）當時，，所以，．所以曲線在點處的切線方程為，即． 4分（Ⅱ）由題設知．設函數．當時，因為，所以，即．所以函數在區間上單調遞增．所以．所以當且時，． 9分（Ⅲ）函數的定義域為，．=1\*GB3①當時，，函數在區間上單調遞減，函數至多一個零點，不合題意．=2\*GB3②當時，由（Ⅱ）可知函數在區間上單調遞增，函數至多一個零點，不合題意．=3\*GB3③當時，對于函數，因為，所以方程有兩個實數根，滿足．不妨設，則．變化的情況如下：↗↘↗所以函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是．因為，所以為的一個零點．又，，且，所以存在唯一實數，使得．又，，且，所以存在唯一實數，使得．所以函數有個不同的零點．綜上，的取值范圍為． 15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）數列是連續可歸零數列，理由如下：取，，，則，所以數列是連續可歸零數列．數列不是連續可歸零數列，理由如下：當時，，因為是奇數，故是奇數，所以．當時，，因為是奇數，故是奇數，所以．當時，，因為是奇數，故是奇數，所以．所以數列不是連續可歸零數列． 4分（Ⅱ）因為是奇數，故，所以．因為，所以．因為，所以．所以數列．因為，所以與奇偶性相同．當或時，因為中，為奇數，其余各項均為偶數，所以為奇數．所以．當取時，由（Ⅰ）可知，綜上，數列不是連續可歸零數列． 9分（Ⅲ）設，，則是整數數列．下面證明對任意，均有．顯然滿足．假設