1、空間向量專題練習一、填空題(本大題共4小題，共20.0分)1.平面的法向量為（1，0，-1），平面的法向量為（0，-1，1），則平面與平面所成二面角的大小為 _ 【答案】 或 【解析】 解：設平面的法向量為=（1，0，-1），平面的法向量為=（0，-1，1）， 則cos，=-， ，= 平面與平面所成的角與，相等或互補， 與所成的角為或 故答案為：或 利用法向量的夾角與二面角的關系即可得出 本題考查了利用用法向量的夾角求二面角的方法，考查了計算能力，屬于基礎題 2.平面經過三點A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），則平面的法向量可以是 _ （寫出一個即可）【答案】 （0，1，

2、-1） 【解析】 解：=（2，1，1），=（3，-1，-1）， 設平面的法向量=（x，y，z）， 則，令z=-1，y=1，x=0 =（0，1，-1） 故答案為：（0，1，-1） 設平面的法向量=（x，y，z），則，解出即可 本題考查了線面垂直與數量積的關系、平面的法向量，屬于基礎題 3.已知=（1，0，2），=（2，1，1），則平面ABC的一個法向量為 _ 【答案】 （-2，3，1） 【解析】 解：=（1，0，2），=（2，1，1）， 設平面ABC的法向量為=（x，y，z）， 則，即，取x=-2，則z=1，y=3 =（-2，3，1） 故答案為：（-2，3，1） 設平面ABC的法向量為=（x，y

3、，z），則，解出即可 本題考查了平面的法向量、線面垂直與數量積的關系，屬于基礎題 4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量與平面ABC垂直，且|=，則的坐標為 _ 【答案】 （2，-4，-1）或（-2，4，1） 【解析】 解：設平面ABC的法向量為=（x，y，z）， 則=0，且=0， =（-1，-1，2），=（1，0，2）， ， 即， 令z=1，則x=-2，y=4， 即=（-2，4，1）， 若向量與平面ABC垂直， 向量， 設=（-2，4，）， |=， |=， 即|=1， 解得=1， 的坐標為（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案為：（

4、2，-4，-1）或（-2，4，1） 根據條件求出平面的法向量，結合向量的長度公式即可得到結論 本題主要考查空間向量坐標的計算，根據直線和平面垂直求出平面的法向量是解決本題的關鍵 二、解答題(本大題共3小題，共36.0分)5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，BAD=60，Q為AD的中點 （1）若PA=PD，求證：平面PQB平面PAD； （2）點M在線段PC上，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小 【答案】 解：（1）證明：由題意知：PQAD，BQAD，PQBQ=Q， AD平面PQB， 又AD平面PAD， 平面PQB平面PAD （2）PA=

5、PD=AD，Q為AD的中點， PQAD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD， 以Q這坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸， 建立如圖所求的空間直角坐標系， 由題意知：Q（0，0，0），A（1，0，0）， P（0，0，），B（0，0），C（-2，0） =（-，）， 設是平面MBQ的一個法向量，則， ， 又平面BQC的一個法向量， cos=， 二面角M-BQ-C的大小是60 【解析】 （1）由題設條件推導出PQAD，BQAD，從而得到AD平面PQB，由此能夠證明平面PQB平面PAD （2）以Q這坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空

6、間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小 本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC=2，點E是PC的中點，F在直線PA上 （1）若EFPA，求的值； （2）求二面角P-BD-E的大小 【答案】 解：（1）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD， 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系， PD=DC=2，點E是PC的中點，F在直線PA上， P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，

7、0），E（0，1，1）， 設F（a，0，c），則（a，0，c-2）=（2，0，-2）=（2，0，-2）， a=2，c=2-2，F（2，0，2-2）， =（2，-1，1-2），=（2，0，-2）， EFPA，=4-2+4=0，解得， = （2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1）， =（0，0，2），=（2，2，0），=（0，1，1）， 設平面BDP的法向量=（x，y，z）， 則，取x=1，得=（1，-1，0）， 設平面BDE的法向量=（x，y，z）， 則，取x=1，得=（1，-1，1）， 設二面角P-BD-E的大小為， 則cos= 二面角P-BD-E的大小為a

8、rccos 【解析】 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出的值 （2）求出平面BDP的法向量和設平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小 本題考查線段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用 7.如圖所示的幾何體是由棱臺ABC-A1B1C1和棱錐D-AA1C1C拼接而成的組合體，其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且BAD=60，BB1平面ABCD，BB1=2A1B1=2 （）求證：平面AB1C平面BB1D； （）求二面角A1-BD-C1的余弦值 【答案】 （）證明：BB1平面ABCD，BB1AC， ABCD是菱形，BDAC， 又BDBB1=B，AC平面BB1D， AC平面AB1C，平面AB1C平面BB1D； （）設BD、AC交于點O，以O為坐標原點，以OA為x軸，以OD為y軸，建立如圖所示空間直角坐標系 則， ， 設平面A1BD的法向量， 由，取z=，得， 設平面DCF的法向量， 由，取z=，得 設二面角A1-BD-C1為， 則 【解析】 （）由BB1平面ABCD，得BB1AC，再由ABCD是菱形，得BDAC，由線面垂直的判定可得AC平面BB1D，進一步得到平面AB1C平面BB1D； （）設BD、AC交于點O，以O為坐