1、2 圓的對(duì)稱(chēng)性第1課時(shí) 1.1.利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性研究垂徑定理及其逆定理利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性研究垂徑定理及其逆定理.(.(重點(diǎn)重點(diǎn)) )2.(1)2.(1)和圓有關(guān)的相關(guān)概念的辨析理解和圓有關(guān)的相關(guān)概念的辨析理解. .(2)(2)垂徑定理及其逆定理的應(yīng)用垂徑定理及其逆定理的應(yīng)用.(.(重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)) ) 1.1.圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是_._.2.2.和圓相關(guān)的概念和圓相關(guān)的概念(1)(1)弦和直徑：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)間的弦和直徑：弦是連接圓上任意兩點(diǎn)間的_，直徑是經(jīng)過(guò)，直徑是經(jīng)過(guò)_的弦的弦. .(2)(2)弧：弧：_任意兩點(diǎn)間的部分叫做

2、圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)_._.(3)(3)等圓和等弧：等圓和等弧：_相等的圓叫等圓，在相等的圓叫等圓，在_中，中，能夠完全能夠完全_的弧叫做等弧的弧叫做等弧. . 任意一條過(guò)圓心的直線任意一條過(guò)圓心的直線線段線段圓心圓心圓上圓上弧弧半徑半徑同圓或等圓同圓或等圓重合重合3.3.垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論如圖，如圖，CDCD為為O O的直徑，的直徑，ABAB為弦為弦. .【思考思考1 1】(1)(1)當(dāng)當(dāng)CDABCDAB，垂足為，垂足為E E時(shí)，將圓沿直線時(shí)，將圓沿直線CDCD對(duì)折，點(diǎn)對(duì)折，點(diǎn)A A與與點(diǎn)點(diǎn)B B重合嗎？你會(huì)發(fā)現(xiàn)哪些相等的線段和相等的弧？重合嗎？你會(huì)發(fā)現(xiàn)哪些

3、相等的線段和相等的弧？提示：提示：重合重合. .(2)(2)你能證明你能證明AE=BEAE=BE嗎？嗎？提示：提示：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OB.OA=OB.CDABCDAB，OAEOAE和和OBEOBE都是直角三角形都是直角三角形. .又又OEOE為公共邊，為公共邊，兩個(gè)直角三角形全等，則兩個(gè)直角三角形全等，則AE=BE.AE=BE.AEBE ADBD,ACBC.，(3)(3)當(dāng)當(dāng)AE=BEAE=BE時(shí)，將圓沿直線時(shí)，將圓沿直線CDCD對(duì)折，對(duì)折， 相等嗎？相等嗎？提示：提示：連接連接OAOA，OBOB，則，則OEOE為等腰為等腰AOBAOB底邊上的中線，底邊上的中線，CDA

4、BCDAB，對(duì)折后點(diǎn)對(duì)折后點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)B B重合，重合，(4)(4)上述證明是在上述證明是在AOBAOB存在即存在即ABAB為非直徑的弦的條件下得到的為非直徑的弦的條件下得到的結(jié)論，那么當(dāng)結(jié)論，那么當(dāng)ABAB為直徑時(shí)是否成立呢？你能畫(huà)出圖形嗎？為直徑時(shí)是否成立呢？你能畫(huà)出圖形嗎？提示：提示：成立成立. .如圖所示如圖所示. .ADBD ACBC與， 與ADBD,ACBC.【總結(jié)總結(jié)】垂徑定理：垂直于弦的直徑垂徑定理：垂直于弦的直徑_，并且，并且_弦所弦所對(duì)的弧對(duì)的弧. .平分弦平分弦平分平分【思考思考2 2】(1)AB(1)AB是是O O的弦的弦( (不是直徑不是直徑) )，作一條平分，作

5、一條平分ABAB的直徑的直徑CDCD，交，交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E，那么，那么CDCD會(huì)垂直于會(huì)垂直于ABAB嗎？還會(huì)平分弦所對(duì)的兩嗎？還會(huì)平分弦所對(duì)的兩條弧嗎？條弧嗎？提示：提示：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OBOA=OB，AOBAOB為等腰三角形為等腰三角形. .直徑直徑CDCD平分平分ABAB，底邊底邊ABAB上的中線上的中線OEOE所在的直線所在的直線CDAB.CDCDAB.CD為直徑，為直徑，ADBD ACBC.，(2)(2)當(dāng)弦當(dāng)弦ABAB為直徑時(shí)，作一條平分為直徑時(shí)，作一條平分ABAB的直徑的直徑CDCD，那么，那么CDCD還垂直還垂直于于ABAB嗎？還平分弦所對(duì)的兩

6、條弧嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明嗎？還平分弦所對(duì)的兩條弧嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明. .提示：提示：不一定不一定. .如圖，如圖，CDCD平分平分ABAB，但是，但是CDCD不垂直于不垂直于ABAB，不平分，不平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧. . 【總結(jié)總結(jié)】垂徑定理的推論垂徑定理的推論: :平分弦平分弦( (不是直徑不是直徑) )的直徑的直徑_于弦于弦, ,并且并且_弦所對(duì)的弧弦所對(duì)的弧. .垂直垂直平分平分 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)任意一條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸任意一條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸.( ).( )(2)(2)半徑是一個(gè)圓中最短的弦半徑是一個(gè)圓中最短的弦.( ).( )(3)(3)平分弦的直徑

7、垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.( ).( )(4)(4)等弧一定出現(xiàn)在等圓或同圓中等弧一定出現(xiàn)在等圓或同圓中.( ).( ) 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 1 1 垂徑定理垂徑定理【例例1 1】如圖，如圖，O O的半徑為的半徑為2 2，弦，弦 點(diǎn)點(diǎn)C C在弦在弦ABAB上，上， 則則OCOC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( )( )AB2 3，1ACAB4，2 37A. 2B. 3C.D.32【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】作作ODABODAB于點(diǎn)于點(diǎn)DD構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，應(yīng)用勾構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，應(yīng)用勾股定理和垂徑定理股定理和垂徑定理求出求出OCOC的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. .【自主解答自主解答】選選D.

8、D.如圖，作如圖，作ODABODAB于點(diǎn)于點(diǎn)D D，則，則 由勾股定理，得由勾股定理，得1BDAB3.2113ACABCDAB.442又，22222222237OCCDODCDOBBD()23247OC.2，【總結(jié)提升總結(jié)提升】垂徑定理運(yùn)用中的垂徑定理運(yùn)用中的“兩注意兩注意”1.1.兩條輔助線：一是過(guò)圓心作弦的垂線，二是連接圓心和弦的兩條輔助線：一是過(guò)圓心作弦的垂線，二是連接圓心和弦的一端一端( (即半徑即半徑) )，這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構(gòu)建，這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解在一個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解. .2.2.方程的思想

9、：在直接運(yùn)用垂徑定理求線段的長(zhǎng)度時(shí)，常常將方程的思想：在直接運(yùn)用垂徑定理求線段的長(zhǎng)度時(shí)，常常將未知的一條線段設(shè)為未知的一條線段設(shè)為x,x,利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x x的方程解決問(wèn)的方程解決問(wèn)題題. .這是一種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的解題思路這是一種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的解題思路. . 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 2 2 垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用【例例2 2】如圖是一個(gè)隧道的橫截面，若它的形狀是以如圖是一個(gè)隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè) O為圓心的為圓心的圓的一部分，路面圓的一部分，路面AB=10AB=10米，凈高米，凈高CD=7CD=7米，則此圓的半徑米，則此圓的半徑OAOA是是多少

10、米？多少米？【解題探究解題探究】1.1.根據(jù)題意及圖示，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述垂根據(jù)題意及圖示，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述垂徑定理嗎徑定理嗎( (假設(shè)假設(shè)CECE為為O O的直徑的直徑) )？提示：提示：CECE為為O O的直徑，的直徑，CEABCEAB，ADBD ACBC AEBE.，2.2.如何根據(jù)垂徑定理求如何根據(jù)垂徑定理求ADAD的長(zhǎng)？的長(zhǎng)？提示：提示：在在O O中，中，AB=10AB=10米，米，ODABODAB，3 3設(shè)設(shè)O O的半徑的半徑OAOA為為x x米，請(qǐng)用代數(shù)式表示線段米，請(qǐng)用代數(shù)式表示線段ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .提示：提示：ODOD可表示為可表示為(7-x)(7-x)米米.

11、.ABAD5.2 米4 4應(yīng)用垂徑定理計(jì)算的關(guān)鍵是尋找以弦的一半、半徑和弦到應(yīng)用垂徑定理計(jì)算的關(guān)鍵是尋找以弦的一半、半徑和弦到圓心的垂線段為邊的直角三角形圓心的垂線段為邊的直角三角形. .利用勾股定理列方程求解，利用勾股定理列方程求解，請(qǐng)你找出此直角三角形，并求解請(qǐng)你找出此直角三角形，并求解. .提示：提示：此直角三角形是此直角三角形是RtRtAOD.AOD.在在RtRtAODAOD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2，即即x x2 2=(7-x)=(7-x)2 2+5+52 2，解得，解得37x.7【總結(jié)提升總結(jié)提升】垂徑定理基本圖形的四變量、兩關(guān)系垂徑定理基本圖形的四

12、變量、兩關(guān)系1.1.四變量：如圖，弦長(zhǎng)四變量：如圖，弦長(zhǎng)a a，圓心到弦的距離，圓心到弦的距離d,d,半徑半徑r,r,弧的中點(diǎn)弧的中點(diǎn)到弦的距離到弦的距離( (弓形高弓形高)h,)h,這四個(gè)變量知任意兩個(gè)可求其他兩個(gè)這四個(gè)變量知任意兩個(gè)可求其他兩個(gè). .2.2.兩關(guān)系：兩關(guān)系：222a( )drhdr.2；題組一：題組一：垂徑定理垂徑定理1.(20131.(2013廣安中考廣安中考) )如圖，已知半徑如圖，已知半徑ODOD與弦與弦ABAB互相垂直，垂足互相垂直，垂足為點(diǎn)為點(diǎn)C C，若，若AB=8 cmAB=8 cm，CD=3 cmCD=3 cm，則圓，則圓O O的半徑為的半徑為( )( )【解

13、析解析】選選A.A.連接連接AOAO，設(shè)圓，設(shè)圓O O的半徑是的半徑是r cm,r cm,則則AO=r cm,CO=(r-AO=r cm,CO=(r-3)cm.3)cm.由垂徑定理得由垂徑定理得 在在RtRtAOCAOC中，由勾股定理中，由勾股定理得得4 42 2+(r-3)+(r-3)2 2=r=r2 2，解得，解得25A. cmB.5 cm619C.4 cmD. cm61ACAB4 cm.225r cm.62.(20132.(2013濰坊中考濰坊中考) )如圖，如圖，O O的直徑的直徑AB=12AB=12，CDCD是是O O的弦，的弦，CDABCDAB，垂足為，垂足為P P，且，且BPAP

14、=BPAP=15,15,則則CDCD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( )( )【解析解析】選選D.D.連接連接OCOC，OP=4.APCDOP=4.APCD，CP=DP.CP=DP.在在RtRtOCPOCP中，中，A.4 2B.8 2C.2 5D.4 51BPAB2OCOB6,6，2222CPOCOP642 5CD2CP4 5.，3.3.如圖，如圖，ABAB為為O O的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB于于E E，已知，已知CDCD1212，BEBE2 2，則，則O O的直徑為的直徑為( )( )A.8 B.10A.8 B.10C.16 D.20C.16 D.20【解析解析】選選D.D.連接連接OCOC，設(shè)，設(shè)

15、OCOC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為r r，CDCD1212，由垂徑定理，由垂徑定理可得可得CECE6 6，OECOEC是直角三角形，是直角三角形，BEBE2 2，OEOEr r2 2， 由勾股定理可得由勾股定理可得OCOC2 2OEOE2 2+CE+CE2 2，即即r r2 2(r(r2)2)2 2+6+62 2，解得，解得r r1010，O O的直徑為的直徑為10102=20.2=20. 4.4.如圖，在半徑為如圖，在半徑為1010的的O O中，如果弦心距中，如果弦心距OC=6OC=6，那么弦，那么弦ABAB的的長(zhǎng)等于長(zhǎng)等于_._.【解析解析】連接連接OAOA，在，在RtRtOACOAC中，中，OA=10

16、OA=10，OC=6OC=6，根據(jù)勾股定理，根據(jù)勾股定理得到得到 因而因而AB=2AC=16AB=2AC=16，弦，弦ABAB的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)等于1616答案：答案：161622AC1068 ，5.5.如圖如圖, ,在在O O中中,AB,AB為為O O的弦的弦,C,D,C,D是直線是直線ABAB上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn), ,且且AC=BD,AC=BD,求證：求證：OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. .【證明證明】過(guò)過(guò)O O點(diǎn)作點(diǎn)作OMAB,OMAB,垂足為垂足為M.OMAB,AM=BM.M.OMAB,AM=BM.AC=BD,CM=DM.AC=BD,CM=DM.又又OMAB,OMAB,OC=OD.OC=

17、OD.OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. . 6.6.已知：如圖，已知：如圖，PAC=30PAC=30，在射線，在射線ACAC上順次截取上順次截取AD=3 cmAD=3 cm，DB=10 cmDB=10 cm，以，以DBDB為直徑作為直徑作O O交射線交射線APAP于于E E，F(xiàn) F兩點(diǎn)，求圓心兩點(diǎn)，求圓心O O到到APAP的距離及的距離及EFEF的長(zhǎng)的長(zhǎng). .【解析解析】過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O O作作OGAPOGAP于點(diǎn)于點(diǎn)G G，連接，連接OFOF，DB=10 cmDB=10 cm，OD=5 cmOD=5 cm，AO=AD+OD=3+5=8(cm)AO=AD+OD=3+5=8(cm)，PAC=30

18、PAC=30，OGEFOGEF，EG=GFEG=GF，EF=2GF=6(cm)EF=2GF=6(cm)，圓心圓心O O到到APAP的距離為的距離為4 cm,EF4 cm,EF的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為6 cm.6 cm.11OGAO84 cm22，2222GFOFOG543 cm，【解題技巧解題技巧】解決有關(guān)弦的問(wèn)題解決有關(guān)弦的問(wèn)題, ,常常需要作輔助線：弦心距常常需要作輔助線：弦心距和半徑和半徑, ,把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來(lái)把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來(lái). .題組二：題組二：垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用1.1.如圖如圖, ,將半徑為將半徑為2 cm2 cm的圓形紙片折疊后的圓形紙片折疊后, ,圓弧恰好經(jīng)

19、過(guò)圓心圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O,O,則折痕則折痕ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( )( )【解析解析】選選C.C.作作ODABODAB于于D,D,連接連接OA.OA.根據(jù)根據(jù)題意得題意得 再根據(jù)勾股定理得：再根據(jù)勾股定理得：AD= cm,AD= cm,根據(jù)垂徑定理得根據(jù)垂徑定理得A.2 cmB. 3 cmC.2 3 cmD.2 5 cm1ODOA1 cm,2AB2 3 cm.32.(20132.(2013麗水中考麗水中考) )一條排水管的截面如圖所示，一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑已知排水管的半徑OB=10OB=10，水面寬，水面寬AB=16AB=16，則截面，則截面圓心圓心O O到水面的距離到水

20、面的距離OCOC是是( )( )A.4 B.5 C.6 D.8A.4 B.5 C.6 D.8【解析解析】選選C.C.由垂徑定理知由垂徑定理知OCOC垂直平分垂直平分ABAB，故，故BC=8BC=8，由勾股定，由勾股定理得理得OC=6.OC=6. 3.3.工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是徑是10 mm10 mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm8 mm，如圖所，如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口示，則這個(gè)小圓孔的寬口ABAB的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為_(kāi)mm._mm.【解析解析】設(shè)圓心為設(shè)圓心為O O

21、，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O O作作ODABODAB于點(diǎn)于點(diǎn)D D，根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，OA=5 mmOA=5 mm，OD=8OD=85=3(mm)5=3(mm)，根據(jù)勾股定理，得：，根據(jù)勾股定理，得： 則則AB=2AD=8 mm. AB=2AD=8 mm. 答案：答案：8 8 22ADOAOD4 mm，4.4.如圖，以點(diǎn)如圖，以點(diǎn)P P為圓心的圓弧與為圓心的圓弧與x x軸交于軸交于A A，B B兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(4(4，2)2)，點(diǎn)，點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2(2，0)0)，則點(diǎn)，則點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_(kāi)._.【解析解析】如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)P P作作PCxPCx軸于軸于C

22、 C，則，則OC=4OC=4，又又OA=2OA=2，所以，所以AC=2AC=2，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)垂徑定理可得BC=AC=2.BC=AC=2.因此，點(diǎn)因此，點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(6(6，0).0).答案：答案：(6,0)(6,0) 5.5.在直徑為在直徑為52 cm52 cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后, ,截面如圖截面如圖, ,如如果油的最大深度為果油的最大深度為16 cm,16 cm,那么油面寬度那么油面寬度ABAB為為_(kāi)cm._cm.【解析解析】作作OCAB,OCAB,交交O O于于D,D,連接連接OA,OA,依題意依題意OC=26-16=10(cm),ACOC