1、2010年全國大學生數學競賽中北大學選拔賽試題 總分得分一、選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）1以下說法錯誤的是（A）設與分別是上的奇函數與偶函數，則與都是上的偶函數；（B）若是可導的奇函數，則其導函數是偶函數；（C）若為上的奇函數，且存在反函數，則其反函數為奇函數；（D）若為（-a,a）上（a>0）的偶函數，且存在原函數，則為奇函數。2 是 的間斷點，則其類型為（A）無窮間斷點； （B）跳躍間斷點； （C）可去間斷點； （D）振蕩間斷點；3. 設為微分方程的解，則在處 （A）的鄰域內單增； （B）的鄰域內單減；（C）取極大值； （D）取極小值.4下列級數中，收斂的是（A）；

2、（B）；（C） ； （D）.5 若點為曲線的拐點，則（A）必有存在且等于0； （B）必有存在但不一定等于0；（C）如果存在則必有； （D）如果存在，則必不等于0.二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）1表示單位球面外側，則 .2設是以為周期的周期函數，且又設的傅立葉級數展開式的和函數為，則= 3表示由曲面圍成的立體，則= 4 設函數在處可導，且, 則 5設為橢圓，其周長為，則 。三、解答題（本大題共5小題，每題8分，共40分）1討論下面函數在處的連續性 2 已知函數在（）上連續，且其導函數的圖形如圖所示，求函數的所有極值點、極值和拐點。3 表示從沿上半圓周到一段弧，其中，曲線積分，求

3、的最大值。4. 求級數的收斂域5. 證明函數，在原點處可微。四、（本大題共5小題，每題6分，共30分）1試確定常數.使得當時,與互為等價無窮小2. 交換積分次序 3. 已知都在閉區間上連續，且，單調增，證明： 4. 已知連續函數滿足，判定級數的斂散性，并求極限數學競賽試題評分標準一、選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分） D,B,D,A,C二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）1 ； 2. ; 3. ; 4. ； 5. 12 三、解答題（本大題共5小題，每題8分，共40分）1解：因為：，3分，3分所以：, 1分因此函數在處連續。1分2. 解：根據導數的符號可以判斷出，極值點分別

4、為：“”，或極值分別為“”，3分如果沒有考慮到考察的是函數也可以不扣分 不可導點為0，再結合左右導數的符號判斷，極值點還有0，的極值點1為或極值為 2分拐點3分3解：以表示線段上到的一段，表示半徑為的上半圓域，由格林公式得：2分 =1分 = 1分，得 1分容易判定為極大值點，2分極大值為 1分4解：令，于是級數化為，1分容易求出新級數的收斂域為2分由于 1分解不等式 2分得收斂域為2分5解： 2分同理，于是 2分由2分根據夾逼準則，可得，因此可微。2分注：只要寫出微分概念就可得2分。四、（本大題共5小題，每題6分，共30分）1解： （本題使用泰勒公式方便，下面就是泰勒公式） 2分 2分為使上述極限為1，顯然應有： 2分注：使用羅比達法則，需要使用3次，只要正確使用2次就得3分，第三次1分，結果2分。2解：6分草圖正確，其余不對可以給1分。上面兩部分對一部分可以給3分。3證明： 2分2分1分1分注：若用定積分和單調性，則構造輔助函數得2分，求導數2分，結果2分。4. 解： （1）兩邊求導數得 （2）1