1、第一章 習題解答1.1 已知不變線性系統的輸入為 系統的傳遞函數。若b?。?）（2），求系統的輸出。并畫出輸出函數及其頻譜的圖形。答：（1） 圖形從略， （2） 圖形從略。 1.2若限帶函數的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零，（1） 如果，試證明 證明：（2） 如果， ，還能得出以上結論嗎？答：不能。因為這時。1.3 對一個空間不變線性系統，脈沖響應為 試用頻域方法對下面每一個輸入，求其輸出。（必要時，可取合理近似）（1）答：（2）答：（3）答： （4）答：1.4 給定一個不變線性系統，輸入函數為有限延伸的三角波 對下述傳遞函數利用圖解方法確定系統的輸出。（1）（2）答：圖解方法是在頻域

2、里進行的，首先要計算輸入函數的頻譜，并繪成圖形方括號內函數頻譜圖形為：圖1.4（1）圖形為：圖 1.4（2）因為的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時的最大值小于0.04%。故圖解頻譜結果為：圖 1.4（3）傳遞函數（1）形為：圖 1.4（4）因為近似后的輸入函數頻譜與該傳遞函數相乘后，保持不變，得到輸出函數頻譜表達式為：其反變換，即輸出函數為：該函數為限制在區間內，平均值為1，周期為3，振幅為1.37的一個余弦函數與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數的疊加。傳遞函數（2）形為：圖 1.4（5）此時，輸出函數僅剩下在及兩個

3、區間內分量，盡管在這兩個區間內輸入函數的頻譜很小，相對于傳遞函數（2）在的零值也是不能忽略的，由于可以解得，通過傳遞函數（2）得到的輸出函數為：該函數依然限制在區間內，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數與振幅為0.027，周期為0.6的另一個余弦函數的疊加。1.5 若對二維函數 抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答： 也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無限制。1.6 若只能用表示的有限區域上的脈沖點陣對函數進行抽樣，即 試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復。答：因為表示的有限區域以

4、外的函數抽樣對精確恢復也有貢獻，不可省略。1.7 若二維不變線性系統的輸入是“線脈沖”，系統對線脈沖的輸出響應稱為線響應。如果系統的傳遞函數為，證明：線響應的一維傅里葉變換等于系統傳遞函數沿軸的截面分布。證明：1.8 如果一個空間不變線性系統的傳遞函數在頻率域的區間，之外恒為零，系統輸入為非限帶函數，輸出為。證明，存在一個由脈沖的方形陣列構成的抽樣函數，它作為等效輸入，可產生相同的輸出，并請確定。答：為了便于從頻率域分析，分別設：物的空間頻譜 ；像的空間頻譜 ；等效物體的空間頻譜 ；等效物體的像的空間頻譜 由于成像系統是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數在之外恒為零，故可將其記為：、利用系

5、統的傳遞函數，表示物像之間在頻域中的關系為 在頻域中我們構造一個連續的、二維周期性分布的頻域函數，預期作為等效物的譜，辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍，選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊，于是 （1）對于同一個成像系統，由于傳遞函數的通頻帶有限，只能允許的中央一個周期成份（）通過，所以成像的譜并不發生變化，即 圖1.8用一維形式表示出系統在頻域分別對和的作用，為簡單計，系統傳遞函數在圖中表示為。 圖 題1.8 既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即 因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即 帶入（1）式，并利用卷積定理得到 （2）上式也可以從抽樣定理來解釋。 是一個限帶的頻譜函數，它所對應的空間域的函數可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場 ； （3） （4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到 利用函數性質（1.8）式，上式可寫為這一點源的方形陣列構成的等效物場可以和真實物體產生