1、均值不等式應用1. (1)假設，那么(2)假設，那么當且僅當時取“=2. (1)假設，那么(2)假設，那么當且僅當時取“=(3)假設，那么 (當且僅當時取“=3.假設，那么 (當且僅當時取“=假設，那么 (當且僅當時取“=假設，那么 (當且僅當時取“=4.假設，那么 (當且僅當時取“=假設，那么 (當且僅當時取“=5.假設，那么當且僅當時取“=ps.(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大(2)求最值的條件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比擬大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方

2、面有廣泛的應用應用一：求最值例1：求以下函數的值域1y3x 2 2yx解：(1)y3x 22 值域為，+(2)當x0時，yx22；當x0時， yx= x2=2值域為，22，+解題技巧技巧一：湊項例 ，求函數的最大值。 解：因，所以首先要“調整符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。評注：此題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數例1. 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為

3、8。評注：此題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設，求函數的最大值。解：當且僅當即時等號成立。技巧三： 別離例3. 求的值域。解析一：此題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有x1的項，再將其別離。當,即時,當且僅當x1時取“號。技巧四：換元解析二：此題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在別離求最值。當,即t=時,當t=2即x1時取“號。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。技巧五：在應用最值

4、定理求最值時，假設遇等號取不到的情況，結合函數的單調性。例：求函數的值域。解：令，那么因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。練習求以下函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.1 2 (3)2，求函數的最大值.；3，求函數的最大值.條件求最值1.假設實數滿足，那么的最小值是 .分析：“和到“積是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解： 都是正數，當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6變式：假設，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換屢次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性

5、，否那么就會出錯。2：，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： 1假設且，求的最小值(2)且，求的最小值技巧七x，y為正實數，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應化簡中y2前面的系數為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 技巧八：a，b為正

6、實數，2baba30，求函數y的最小值.分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或根本不等式求解，對此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用根本不等式，對此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u33，ab18，y點評：此題考查不等式的應用、不等式的

7、解法及運算能力；如何由不等式出發求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將條件轉換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假設直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、x，y為正實數，3x2y10，求函數W的最值.解法一：假設利用算術平均與平方平均之間的不等關系，此題很簡單 2解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用根本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2變式: 求函數的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。 故。評注：此題將解析式兩邊平方構造出“和為定值，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1為兩兩不相等的實數，求證：1正數a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三