1、導數的概念及運算,導數的概念1.設函數yf (x)在x X0處附近有定義，當自變量在x X0處有增量 x時，那么函數y f(x)相應地有增量 y f(x0 x) f(x0),如果 x 0時，y與x的比 二 x也叫函數的平均變化率有極限即一y無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函x數yf (x)在xx0處的導數，記作 丫*,即(%) lim上0x)一fx 0x在定義式中，設 x x x,那么 x x x0 ,當 x趨近于0時，x趨近于x0 , 因此，導數的定義式可寫成f(xx) f(x0)f (x) f(x0)f (x0) lim - lim .x oxx m x x02 .求函數y f(x

2、)的導數的一般步驟：1求函數的改變量y f (x x) f (x)2求平均變化率 一y Uxx一出 ；3取極限，得導數 y f (x) lim y xxx 0 x3 .導數的幾何意義：導數f (x0) lim上色一f是函數y f (x)在點x0處的瞬時變化率，它 x 0反映的函數y f (x)在點x0處霧化的快慢程度.它的幾何意義是曲線y f(x)上點x0,f(x0)處的切線的斜率.因此，如果y f (x)在點x0可導，那么曲線y f (x)在點x0, f (x0)處的切線方程為 y f(x0) f (x)(x %)4 .導函數(導數):如果函數yf(x)在開區間(a, b)內的每點處都有導數

3、，此時對于每一個f (x),稱這個函x (a,b),都對應著一個確定的導數f (x),從而構成了一個新的函數數f (x)為函數y f (x)在開區間內的導函數， 簡稱導數，也可記作ylimlim f(x x)f(x)x 0 xx 0x函數y f (x)在x0處的導數%就是函數y f (x)在開區間(a,b) (x (a,b)上導數f (x)在小處的函數值，即 y=f (%).所以函數yf (x)在x0處的導數也記作f (%) .1.用導數的定義求以下函數的導數:1 y f(x)24x ； 2y f(x) x2 .1 lim f(x。x) .3x1 ,求 f (x。)2假設f (3) 2,那么l

4、im上x 1f(1 2x)x 1,導數的四那么計算常用的導數公式及求導法那么:1公式 C 0,C 是常數(sinx) cosx(cosx)sin x (xn)nxn 1(ax)axlna(ex)ex1D (log a x) (In x)x In a、，1 一 、D (tan x)2 cot x)2法那么：f(x) g(x)x12sin xf(x) g(x),cos xf(x)g(x) f (x)g(x) g (x)f (x)f(x), f (x)g(x) g(x)f(x)g(x)g2(x)2,復合函數的求導法那么：復合函數 yf (g(x)的導數和函數y f (u), u g(x)的導數間的關

5、系為yx yu ux.題型1,導數的四那么計算1,求以下函數的導數：xex 11 y e lnx 2 y ex 1sin x , 41 cosx2x 1 sin x x cosx5 y 3x ex 2x e 6 y3x3 4x2x 12,求導數1y2ysin x3y 3cosx 4sin x4y2x(5) y In x 2三，復合函數的導數鏈式法那么假設 y= f (u), u= (x) y= f (x),那么yx= f (u) (x)假設 y= f (u), u= (v), v= (x) y= f ( (x),那么yx= f (u) (v) (x)說明：復合函數求導的關鍵是正確分析已給復合函

6、數是由哪些中間變量復合而成的， 且要求這些中間變量均為根本初等函數或經過四那么運算而成的初等函數。在求導時要由外到內，逐層求導。11,函數y 4的導數.(1 3x)42,求y的導數.3,求以下函數的導數y 3 2x4,求以下函數的導數1y= 1 2x cos x2y=ln (x+ 1 x25 ,設 y ln（x 、x 1）求 y .跟蹤練習：求下函數的導數x6,1y cos-2y 2x 137, (1)y=(5x 3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2 - x2)3 y=(2x3+x)28，(1)y=21r(2)y= 4；1(3)y=sin(3x- -)(4)y=cos(1 + x2)(2x21)33x 162、3.29, y (2 x )；