1、線性代數(shù)考研輔導(dǎo)講義2第二部分 矩陣一.矩陣矩陣的概念,階矩陣,行矩陣(行向量),列矩陣(列向量),零矩陣,負(fù)矩陣,同型矩陣,矩陣的相等,單位矩陣二.矩陣的基本運(yùn)算及其性質(zhì)1.矩陣的加法與數(shù)乘設(shè),則,.性質(zhì):(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 或 (10) 2.矩陣的乘法與矩陣的冪設(shè),則,其中【注意】(1) 與可乘的條件是:左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù);(2)積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù),列數(shù)等于右矩陣的列數(shù).性質(zhì):(1) (2) (3) (4) 【注意】(1) ,從而若,則稱(chēng)與可交換,此時(shí),以上代數(shù)公式都成立.(2) 推不出或;但若且可逆,則.(3) 推不

2、出,當(dāng)若且可逆,則.設(shè)為階矩陣,則.規(guī)定:時(shí).性質(zhì):(1) (2) 設(shè)為階矩陣,則3.矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè),則.性質(zhì):(1) (2) (3) (4) (5) 4.階矩陣的行列式性質(zhì):(1) ;(2)設(shè)為階矩陣,則,雖然;(3) .【注意】(1) (2) (3) 當(dāng)時(shí),稱(chēng)為非奇異矩陣;否則,稱(chēng)為奇異矩陣(即).三.逆矩陣與伴隨矩陣設(shè)為階矩陣,若,則稱(chēng)可逆,是的逆矩陣,記為.階矩陣的伴隨矩陣其中是中元素的代數(shù)余子式.性質(zhì):(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 是惟一的;(8) 可逆,且;(9) 可逆為非奇異矩陣;(10) 可逆階矩陣,使得(或),此時(shí).伴隨矩陣的性質(zhì):(1) ;顯然可逆可

3、逆;(2) ;(3)若,則;(4) ;(5) 若,則;(6) ;(7) ;(8) .四.特殊矩陣1.對(duì)角矩陣: .對(duì)角矩陣的和、差、積、逆仍是對(duì)角矩陣,即設(shè),則(1) ;(2) ;(3) ;(4) 全不為零.2.數(shù)量矩陣(純量矩陣): .在矩陣的運(yùn)算中與數(shù)的運(yùn)算完全相同.3.三角矩陣:包括上、下三角矩陣.上(下)三角矩陣的和、差、積仍是上(下)三角矩陣.4.對(duì)稱(chēng)矩陣: .有若為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則都是對(duì)稱(chēng)矩陣.但為對(duì)稱(chēng)矩陣.5.反對(duì)稱(chēng)矩陣: ,有從而若為反對(duì)稱(chēng)矩陣,則任何一個(gè)矩陣可以表示為對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣之和,即.6.正交矩陣: .(1) ;(2)若、為階正交矩陣,則也是正交矩陣,但不是正交矩陣

4、;(3) 為正交矩陣的行(或列)向量組為兩兩正交且單位化的向量組.五.矩陣的初等變換與初等矩陣1.矩陣的初等行(列)變換行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣.任一矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變成行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣.典型例題一.行矩陣（向量）與列矩陣（向量）的乘積例1 設(shè),求與.解 .二.求的方法1.用的歸納定義計(jì)算:.例2 設(shè),則 .解 方法一:.方法二:,則.2.由計(jì)算要求:A與B可交換(即),且容易計(jì)算而.例3 設(shè),求.解 方法一: .方法二:注意A是初等矩陣,即將E的第三行加到第一行,所以.方法三: ,則又,所以.3.或A能分解成此形狀,其中為維列向量.例4 設(shè),求.解 ,則.4.設(shè)或或

5、 A能對(duì)角化,則.例5 設(shè),其中,求A及.解 ,.例6 設(shè)求.解 方法一:所以.方法二: ,則A的特征值,則A能對(duì)角化,且,其中.由,則,(其中).5.若,則.例7 設(shè),求.解 ,其中,則.,則.三.求及解矩陣方程1. 求(1) ; (2) ;(3)如果可逆,且;(4)分塊求逆:若,則;若,則.例8 設(shè),求.解 方法一:,則,所以.方法二:,其中.而,則.例9 設(shè)階矩陣A滿足,求.解 由條件得:,所以.例10 設(shè),且,求.解 ,則.例11 設(shè)為階可逆矩陣,則等于( )(A) (B) (C) (D) 解 方法一:.方法二:.例12 設(shè)為階矩陣,且,證明: 與均可逆,且.證 ,所以與均可

6、逆.,則.2.解矩陣方程將給定矩陣方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式:(1);(2);(3),解得.特別要注意的是:若已知A且在給定方程中含有及,運(yùn)用及先化簡(jiǎn),再解矩陣方程.例13 若滿足,其中,求.解 ,即,所以.四.與有關(guān)的問(wèn)題例14 設(shè),求.解 .例15 設(shè),求.解 ,由,得.例16 設(shè),則 .解 .例17 設(shè),則 .解 .例18 設(shè)為階矩陣, ,則 .解 .例19 設(shè)A為階非零矩陣,且,證明:A為正交矩陣.證 .又,不妨設(shè)A的第一行的元素不全為零,由得,所以,則,即A為正交矩陣.例20 設(shè),求.解 .五.與有關(guān)的問(wèn)題例21 求的秩.解 ,則當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .例22 證明: .證 (

7、1)若A可逆,則;(2) 若A不可逆,則.例23 設(shè),證明: .證 ,則即為的解,可由的基礎(chǔ)解系線性表示,所以即.例24 設(shè)階矩陣A滿足,證明: .分析 證 (1) ;(2) .例25 秩為的矩陣可表示為個(gè)秩為1的矩陣之和.證 設(shè),則存在可逆矩陣和,使得其中.則且.例26 設(shè)為矩陣, 是的前行構(gòu)成的矩陣,若,證明:.證 方法一:,則,所以.方法二:由,得.六.與初等矩陣有關(guān)的問(wèn)題例27 設(shè),其中A可逆,則( )(A) (B) (C) (D) 解 .七.與分塊矩陣有關(guān)的問(wèn)題例28 設(shè)A為階可逆矩陣,為維列向量,為常數(shù).令(1)計(jì)算并化簡(jiǎn);(2)證明: 可逆.解 (1) ;(2) ,則可逆.例29 設(shè)為階矩陣,證明: .證 (1),則.(2) .或.例30 設(shè)B為階可逆矩陣,C為階可逆矩陣,