1、麥克斯韋麥克斯韋（18311879）第一章電磁現象的普遍規(guī)律第一章電磁現象的普遍規(guī)律基本實驗定律基本實驗定律 1. 庫侖定律庫侖定律 2. 安培定律安培定律 3. 畢奧畢奧沙伐爾定律沙伐爾定律 4. 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律 5. 電荷守恒定律電荷守恒定律 疊加疊加原理原理原理原理推廣推廣 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 0 BEtDDHJtB 洛侖茲力洛侖茲力 fEJB介質電磁性質方程介質電磁性質方程 電磁場電磁場的基本的基本方程方程第五章第五章電磁場電磁場的傳播的傳播第二章第二章靜電靜電場場第三章第三章靜磁場靜磁場第四章第四章電磁場電磁場的輻射的輻射第第一一章章電電磁磁場場的的基

2、基本本方方程程靜止場變化場 動量守恒定律動量守恒定律gfTt 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 0 BEtDDHJtB 洛侖茲力洛侖茲力 fEJBwSE Jt 能量守恒定律能量守恒定律電磁場電磁場的基本的基本規(guī)律規(guī)律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 0 BEtDDHJtB 2 12eWdV E DE12 mWJAdV20AJA BHBAHJ0B0ED靜電靜電場場靜磁靜磁場場波動方程波動方程 2222100 EEctBEEt亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 22010, E xk E xE xB xE xi麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 0 BEtDDHJtB 0, 0J傳播傳播麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組達朗泊

3、方程達朗泊方程222220220221110cctAAJctAt 推遲勢推遲勢00,1,4 ,4VVrx tcx tdVrrJx tcA x tdVr 0 BEtDDHJtB AEt BA 0 BH0DE輻射輻射推遲勢推遲勢達朗泊方程達朗泊方程222220220221110cctAAJctAt 00,4 ,4VVrx tcx tdVrrJx tcA x tdVrAEt BA 0 BH0DE0BHJ12 mWJAdV20AJA BA BHDE0ED 2 12eWdV E 0, 0J亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 波動方程波動方程 2222100 EEctBEEt 22010, E xk E xE xB

4、 xE xi麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 0 BEtDDHJtB 洛侖茲力洛侖茲力 fEJ B 動量守恒動量守恒wSE Jt gfTt 能量守恒能量守恒靜電靜電場場輻射輻射傳播傳播靜磁靜磁場場電磁場電磁場的基本的基本規(guī)律規(guī)律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組洛侖茲力洛侖茲力 動量守恒：動量守恒： 0 BEtDDHJtB wSE Jt gfTt fEJB能量守恒能量守恒:麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組洛侖茲力洛侖茲力 動量守恒：動量守恒： 0 BEtDDHJtB wSE Jt gfTt fEJB能量守恒能量守恒:第一章第二章第二章第二章 靜電場（靜電場（Electrostatic Field)電磁現電磁

5、現象的普象的普遍規(guī)律遍規(guī)律靜電場靜電場靜磁場靜磁場電磁場電磁場的輻射的輻射電磁場電磁場的傳播的傳播靜電場的性質和求解靜電場問題的各種方法。是解決一般電磁場問題的基礎。標量函數標量函數-靜電場標勢（靜電場標勢（ electrostatic scalar potential ) E D 0EEn DDn 1212ED基本方程：基本方程：邊值關系邊值關系:電磁性質方程電磁性質方程各向同性介質各向同性介質為求解靜電場方程為求解靜電場方程1 1 靜電場的標勢及其微分方程靜電場的標勢及其微分方程 Epppp00E dl0ppl dE（一）（一） 靜電場的標勢靜電場的標勢2不唯一不唯一3 表達式表達式若電荷

6、分布在有限區(qū)域：若電荷分布在有限區(qū)域：一般：一般：1 引入引入4 參考點參考點選坐標空間某一點選坐標空間某一點例例1 求一電偶極子在遠處的電勢。求一電偶極子在遠處的電勢。 例例3 均勻帶電的無限均勻帶電的無限長直導線的電荷長直導線的電荷線密度線密度 的的，求，求空間的電勢?？臻g的電勢。 例例2 求均勻電場求均勻電場 的電勢。的電勢。 0E（二）電勢的微分方程（二）電勢的微分方程2 02 xxq020q 4rniiirq1041v0 x1dv4r 連續(xù)電荷體系：連續(xù)電荷體系： n個點電荷體系的勢個點電荷體系的勢: 點電荷的電勢點電荷的電勢3、無界空間的電勢、無界空間的電勢2、拉普拉斯方程、拉普拉

7、斯方程1、泊松方程、泊松方程例：真空中點電荷的電勢滿足：例：真空中點電荷的電勢滿足：（三）、求電勢的邊值關系（三）、求電勢的邊值關系場量滿足的邊值關系：場量滿足的邊值關系：12120DDnEEn211212.nn（1）兩介質界面上電勢滿足的邊值關系）兩介質界面上電勢滿足的邊值關系（2）介質導體界面上電勢滿足的邊值關系）介質導體界面上電勢滿足的邊值關系 給定導體的電勢給定導體的電勢 0Qdsn sn導體介質0給定導體上總電荷給定導體上總電荷Q：或給出導體表面電荷密度：或給出導體表面電荷密度：（ 2）在兩種介質界面上邊值關系： 在導體和介質分界面上邊值關系： 或 三、靜電場的電勢的定解問題： （1

8、）在 均勻區(qū)域滿足 泊 松 方 程： 或拉普拉斯方程： ssssnn221121iii202is0sSQdsn（3）整個區(qū)域邊界滿足邊界條件sn 12eWE DdV（四）靜電場的能量（四）靜電場的能量e1WdV2電 磁 場 的 能 量 密 度12ewE D12ew2 唯一性定理（Uniqueness Theorem) 給定區(qū)域V內每個導體上的電勢 或電荷總量 以及導體外介質中的自由電荷分布 和 ，給定區(qū)域V邊界S上的 或 值，區(qū)域V內的電場是唯一的。kkQn研究唯一確定一個區(qū)域研究唯一確定一個區(qū)域V V內靜電場的內靜電場的條件條件唯一性定理的重要性唯一性定理的重要性對于一個滿足唯一性條件的靜電

9、場問題，它保證了不論用什么方法得到的問題的解都是真正的解泊松方程靜電場的理論基礎靜電場的理論基礎邊值關系唯一性定理例例1 有一半徑為a的導體球，它的中心恰位于兩種均勻無限大介質的分界面上，介質的介電常數分別是 與 。 若導體球總電荷為Q，求導體球表面處自由電荷分布。12例2兩同心導體球殼之間充以兩種介質，左半球介電常數為 ，右半球介電常數為 。設內球殼半徑為 ，帶電荷為Q，外球殼接地，半徑為 ，求電場和球殼上的電荷分布。 12ab3 拉普拉斯方程 分離變量法 20利用解00001, cossincossinmmmmmmmmmx yAB xCD yAk xBk xCk yDk y001,lnco

10、ssincossin mmmmmmmCDAmBmCmDm01)(cos)(),(nnnnnnPrBrAr( )BrAr直角（場分布與z無關 ）柱坐標（場分布與z無關 ）球坐標(球對稱)（軸對稱)20ijiijijij (S)nn在面上SSn或QdsnSE 1 1、 根據分界面的形狀及物理的對稱性，選坐標系根據分界面的形狀及物理的對稱性，選坐標系2 2、 寫出定解問題的數學表達式寫出定解問題的數學表達式 若有若有i i 個區(qū)域（均勻分布），寫出個區(qū)域（均勻分布），寫出 i i個個方程方程 在每個區(qū)域的交界面上，寫出滿足的邊值關系在每個區(qū)域的交界面上，寫出滿足的邊值關系 邊界條件：邊界條件：3 3

11、、寫出、寫出拉普拉斯方程的通解；拉普拉斯方程的通解；4 4、根據邊值關系和邊界條件確定待定常數，從而得出根據邊值關系和邊界條件確定待定常數，從而得出5 5、利用、利用步驟及導體的總電荷及導體的總電荷，得出電場的分布。，得出電場的分布。A 、求全空間的場：外邊界是 與 若原點無點電荷,則 電勢有限 若電荷分布有限區(qū)域，則 電勢為零 若有均勻場： ，則： 若電勢零點選在原點處：則：B、 若是有限空間，須給出包圍V的外邊界上的電勢 或邊界條件邊界條件0rr0rrzzeEE0r00cosrEssncos0rE例題CAB 02,00,0,0,0,0,0,00CyxyxzBxzxzyAzyr【例【例4-1

12、】長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其余接地，求盒內的電位分布。 000lim, 有 限 值nnnn 0,A cos nB sinn 0nnnn 00V,0a,aA cosnB sinnV,22k 10n 04V1,sin 2k12k1a 00mmmmmmm 1,CD ln A cosmB sinmC cosmD sinm 220000022nn000022nn0n0000n0nn 0111Aa,dV dV d0222111a Aa,cosn dV cosn dV cosn d02V111a Ba,sinn dV sinn dV sinn d11n4V,sin 2n12n1 a

13、例題：兩個介質區(qū)域無體電荷分布；內球面總電量已知；外球面電勢已知提出嘗試解：場強要垂直導體表面，必沿著半徑方向，具有球對稱區(qū)域內電場確定 rDCrrBAr21 ,解滿足的條件：1、2、3、內球面電荷總量4、內球面等勢體5、0, 02212brbrQssssnn221121AB,C和D,無論取何值滿足1用其它條件求ABCD值5：r處內球面：dbcardcrba, rbarrbar21 ,21212122222122112 02 22 21bQAQBQaaBaaBQdsrdsrQdsrbrbrSSSaQaQEPaQEPaQEDaQEDrrQErrQEbrQpprrprrprrrr柱：直： 100s

14、incossincos ln,mmmmmmmmDmCmBmADC10000sincossincos ,mmmmmmmmmykDykCxkBxkAyDCxBAyx在球坐標系中拉普拉斯方程的解 rbarPrbrarmPrdrcmmPrbrarnnnnnnmnmnnnmnnmmnmnnnmnnm)(cos,sin)(coscos)(cos,)(,)(,)(一般解軸對稱解球對稱解4 鏡象法主要解決點電荷的邊值問題主要解決點電荷的邊值問題 把界面上的未知的導體感應電荷或介質的極化電荷對場的貢獻，用一個或幾個稱為“象電荷”的點電荷對該點場的貢獻來等效。基本的思想只要象電荷的位置和大小確定電勢的分布就可以直

15、接得出。 注意問題注意問題 2、象電荷確定后，要把求解區(qū)域看成是只有點電荷和象電荷存在的無界的均勻空間，此無界的均勻空間介電常數應與求解區(qū)域的介質的介電常數相同。 4、適用于求解某些形狀簡單的界面附近，有一個或幾個點電荷情況下的電場分布問題。 1、電荷必須放在求解區(qū)域以外。 3、象電荷電量一般并不一定與界面上的感應電荷或極化電荷相等。1、接地導體平面2、如圖示，x 0為真空區(qū)域， x 0的區(qū)域充滿各向同性、線性、均勻的介子，其電容率為 ，真空區(qū)有一點電荷q, 它到分界面的距離為d, 求各區(qū)域的電荷分布。 ,d,xzy6 電多極矩1、電勢 的多極展開 真空中的帶電體（ ）的電勢 x 對于帶電體系

16、而言，若電荷分布在有限區(qū)域V內，在V中任取一點o作為坐標原點，區(qū)域V的線度為l。多極矩法討論 Rl 情況下的場分布問題。 014vxxdvr，222Rxxyz 201111142!vxxxxdvRRR1 0 xr在泰勞展開 023xxxx 0014QxR 20114xPR 2300111111D :4646ijijijxDx x RR 23 ( ) 3xx-rI 3vvijijvviiiiiiiQx dvPx x dvDx x xdvDxdvpq xDq x x 令典型的多極矩產生的場zP(x,y,z)-q(o,o,-z )oq(o,o,z )lRr-r+總偶極矩不為零，則zzzziiiepe

17、qlelqelqxqp)(2)(22030)1()0(cos41410 RpRRpzP(x,y,z)-qolRr-r+qq-qba這里即RD1:61410)2(zzzzzzzzzziiiieeabqeeqbeeqaeeqaeeqbxxqD)(6)()(33222222)13(416141352022330)2(RRzplRzD2、電荷體系在外場 中的能量 dVW e電荷分布小區(qū)域，取區(qū)域內適當點為坐標原點， 對坐標原點展開把xe ,!, ejijijieiiieexxxxxxx xe WWW DpQ xxDxpQ dVxxxxxxW 0eeeejijijieiiieejijijieiiie,:

18、!, 子的能量不為零。只有在非均勻場中四極電場中的能量。第二項：電四極子在外和力矩受力電偶極子在外電場中所場中的能量。原點上電偶極子在外電體系的電荷相當于放在第二項：的能量。中在原點上在外電場中第一項：體系的電荷集 EDW pEpEWL EpEpWF LF EppW QW eeeeeeee,:sincos:,*（二）電勢的微分方程和邊值關系在各向同性介質中討論 泊松方程當 時： 拉普拉斯方程真空中點電荷的電勢滿足：利用公式： 真空中點電荷的電勢和電場：n個點電荷體系的勢: 連續(xù)電荷體系： 22321321EEDEEDD出發(fā)由002 xxq02) xx(4r123004 4rrqErqniiir

19、q1041 dvrxv410（三）靜電場的能量 eee( 3)( 4 )(1)211WE DdVWdV22D1E0 2E3AAA41WE DdV21 DdV21 DD dV211 DdSdV221111,D,S,Drr2r redS01 WdV2 ee11WE DdVWdV22*求邊值關系z 場量滿足的邊值關系： 2 （1）兩介質界面上電勢滿足的邊值關系 ， 1 同理可證： 而 即 又 可推出 12120DDnEEn2 1 21l dE0pp210l dE2 1 2121 2 21 2222 1 1 1111lEl dElEl dEttt2t 1EE012EEn12DDnnn221112pp1

20、2pp*（2）介質導體界面上電勢滿足的邊值關系 由歐姆定律： ， （ 為電導率）， 則導體內場 ， 那么： 常數，導體為等勢體。 又由： 則導體內無堆積電荷 由： 則導體表面附近只有法線分量場 所以導體邊界條件可分為兩類： （1） 給定導體的電勢 （2） 給定導體上總電荷Q： 或給出導體表面電荷密度： ： EJ0J0EED021ttEE0dsnQsnSQdsn 311rArrE 322rArrEttEE21nnDD212122112ddd21QAQSSSSESESD設兩個同心導體球殼之間充滿兩種介質。內導體帶電，電荷量為Q，外導體球殼接地。 CAB 02,00,0,0,0,0,0,00CyxyxzBxzxzyAzyr【例【例4-1】長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其余接地，求盒內的電位分布。 0 0000000000000dd1dd1dd1222222Z, y, xYBYz ,