1、課時提升作業十事件的獨立性一、選擇題(每小題5分,共25分)1. 設A,B,C為三個隨機事件，其中A與B互斥,B與C相互獨立，則下列命題 一定成立的是()A. A與B相互獨立B.A與C互斥C.B與C互斥D._與L相互獨立【解析】選D.注意“互斥事件”與“相互獨立事件”的區別，前者指的是 不可能同時發生的事件，后者指的是在兩個事件中，一個事件是否發生對另 一個事件沒有影響.2. 甲、乙二人各進行1次射擊,如果兩人擊中目標的概率都是 0.7,兩個人 射中與否相互之間沒有影響，那么其中恰有1人擊中目標的概率是( )A.0.49B.0.42C.0.7D.0.91【解析】選B.由題意可知，兩人恰有1人擊

2、中目標有兩種情況：甲擊中乙沒擊中或甲沒擊中乙擊中，設“恰有1人擊中目標”為事件A,則 P(A)=0.7 × (1-0.7)+(1-0.7)× 0.7=0.42.【補償訓練】 打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次,若兩人同時射擊，則他們同時中靶的概率是()14A. _L2BC【解析】選A.記“甲中靶”為事件A;“乙中靶”為事件B;“甲、乙同時中靶”為事件C.貝y P(C)=P(A B)=P(A) P(B)8714二一 ×一 10 10 2 213. 若 P(AB)=-,P(J)=-,P(B)=-,則事件 A與 B 的關系是()933A. 事件A與B

3、互斥B. 事件A與B對立C. 事件A與B獨立D. 事件A與B既互斥又獨立 2 1 1 1【解析】選C.因為P(C)=-,所以P(A)=-,又P(B)P(AB)=-,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A與B獨立但不一定互斥.4. 某校高一新生軍訓期間，經過兩天的打靶訓練，甲擊中目標的概率為一, 乙擊中目標的概率為-(甲、乙兩人射擊是否擊中目標相互不影響),甲、乙9兩人同時射擊一目標且各射擊一次，目標被擊中的概率為(8D.11【解析】選D.目標被擊中的對立事件是兩人都沒擊中，其概率為P=-×所以目標被擊中的概率為1 691二二5. 投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣

4、正面向上”為事件A, “骰子向上的點數是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發生的概率 是（）L73AB.C-D1212124【解題指南】“事件A,B中至少有一件發生”的對立事件是“事件 A,B 一 個都不發生”，可據此用正難則反的方法計算所求概率.【解析】選C.根據題意，“事件A,B中至少有一件發生”與“事件 A,B 一個都不發生”互為對立事件，由古典概型的計算方法，可得P（A）A ,P（B）二丄,2 6則PC丄）=二工.則“事件A,B中至少有一件發生”的概率為1- .12 12【補償訓練】端午節放假，甲回老家過節的概率為-，乙、丙回老家過節的概率分別為-,=假定三人的行動相互之間沒有影響

5、，那么這段時間內至少有1人回老家過節的概率為（）C.：【解析】選B.因為甲、乙、丙回老家過節的概率分別為-,-廠.所以他們不3 4 5回老家過節的概率分別為-,-,-.“至少有1人回老家過節”的對立事件是3 4 E51 “沒有人回老家過節”，所以至少有1人回老家過節的概率為P=1b X- × =34535'二、填空題(每小題5分,共15分)6. 已知將一枚質地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均向上的概率為一,則27拋擲這枚硬幣三次，恰有兩次正面向上的概率為 .【解析】設拋擲這枚硬幣一次，正面向上的概率為P.3 11依題意P=-,所以P=.273拋擲這枚硬幣三次，恰有兩次正面向上

6、，一次正面向下的概率Il 2 2P=BX-X-X-=-333 9答案：77. 明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己.假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80,乙鬧鐘準時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是 .【解析】方法一：甲鬧鐘沒準時響的概率為0.2,乙鬧鐘沒準時響的概率為0.1,兩鬧鐘同時沒準時響的概率為 0.2 X 0.1=0.02,故所求概率為1-0.02=0.98.方法二:兩個鬧鐘至少有一個準時響有三種情況：甲準時響而乙沒準時響，其概率為0.80 X (1-0.90)=0.08;乙準時響而甲沒準時響，其概率是(1-0.80)X 0.90

7、=0.18;甲、乙都準時響，其概率為0.80 X 0.90=0.72,故兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率為 0.08+0.18+0.72=0.98.答案：0.988. 已知電路中有4個開關,每個開關獨立工作，且閉合的概率為丄，則燈亮的 概率為.【解析】因為A,B斷開且CQ至少有一個斷開時，線路才斷開，導致燈不亮,所以燈不亮的概率為 P=PG FF) 1-P(CD)=P( P個) 1-P(CD)= - ×2.-× 亠- 一.2 V 227 16聲 13所以燈亮的概率為1-=.Lfe Lb答案:1316【拓展延伸】系統可靠性問題的求解策略由于該類問題常常與物理知識相聯系，在考查知

8、識縱向聯系的同時，重點考 查事件獨立性的綜合應用.求解時可先從系統的構造出發，分析所給的系統 是單純的串(并)聯還是串并聯混合體結構.(1) 直接法:把所求的事件分成若干個互斥事件之和，根據互斥事件的概率 公式求解.(2) 間接法:當所涉及的事件較多，而其對立事件所涉及的事件較少時，可根 據對立事件的概率公式求解.三、解答題(每小題10分,共20分)9. 一個袋子中有4個球,其中2個白球,2個紅球,討論下列A,B事件的相互 獨立性與互斥性.(1) A:取一個球為紅球,B:取出的紅球放回后，再從中取一球為白球.(2) 從袋中取2個球A取出的兩球為一白球一紅球；B：取出的兩球中至少 一個白球.【解

9、析】(1)由于取出的紅球放回，故事件A與B的發生互不影響，因此A與 B相互獨立.A,B能同時發生，不是互斥事件.(2)設兩個白球為a,b,兩個紅球為1,2,則從袋中取2個球的所有取法為a,b,a,1,a,2,b,1,b,2,1,2.“4 2S2則 P(A)=UP(B)= ,P(AB)",因為P(AB) P(A)P(B),所以事件A,B不是相互獨立事件，事件A,B能同時 發生,不是互斥事件.10. 甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分,負者得O分(不計和棋), 比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概 率為p(p>05),且各局勝負相互獨立.已知第

10、二局比賽結束時比賽停止的概 率為-若框圖為統計這次比賽的局數n和甲、乙的總得分數S,T的程序框 圖.其中，如果甲獲勝則輸入a=1,b=0;如果乙獲勝，則輸入a=0,b=1.L>'jJBC云¾r I(1) 在圖中，第一、第二兩個判斷框應分別填寫什么條件？求P的值.(3) 設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量的分布列.【解析】(1)程序框圖中的第一個條件框應填M=2第二個應填n=6.(答案不唯一.如:第一個條件框填M>1第二個條件框填n>5,或者第一、第 二條件互換都可以).(2) 依題意,當甲連勝2局或乙連勝2局時,第二局比賽結束時比賽停止.所以有 p2+

11、(1-p) 2=.2 1 2解得Ph或ph.因為p>0.5,所以ph.(3) 依題意知，的所有可能值為2,4,6.設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為-.若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時,該輪比 賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P( =2)=-,P( =4)=P( =6)= I- 1=-81所以隨機變量的分布列為246P5201698181一、選擇題（每小題5分,共10分）1. 從某地區的兒童中挑選體操學員，已知兒童體型合格的概率為7,身體關 節構造合格的概率為-.從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是（假定體型與身體關節構造合格與否

12、相互之間沒有影響）（）131A.B.20512C-D4S【解析】選D.設體型合格為事件A,身體關節構造合格為事件B,A與B為獨 立事件，且P（A）=-,P（B）= -,所以兩項中至少一項合格的概率為54P=I-PI）=I-P i） P（一）=1- ×-h.54 52. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去 （每次跳躍時， 均從一葉跳到另一葉）,而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的 兩倍,如圖，假設現在青蛙在A葉上,則跳三次之后停在A葉上的概率是12A-B-39【解題指南】根據條件先求出順時針和逆時針跳的概率，然后根據跳3次回 到A,則應滿足3次逆時針或者3次順時

13、針,根據相互獨立事件的概率公式 即可得到結論.【解析】選A.設按照順時針方向跳的概率為 P,則逆時針方向跳的概率是 2P,則 P+2P=1 解得 Ph,所以按照順時針方向跳的概率為-，逆時針方向跳的概率是若青蛙在A葉上，跳3次后停在A葉上，則滿足3次逆時針或者3次順時針, 若先按逆時針開始從 A B C A,則對應的概率為-×× L ,333 27 若先按順時針開始從 ACBA,則對應的概率為-×× ,則概率為333 271891+=27 27 27 3'二、填空題（每小題5分,共10分）1 1 1 3. 已知 A,B,C 相互獨立,如果 P（A

14、B）h,p（c）h,p（ABl）=-,則 P- B）=OOO(P (AB) = £ ,【解析】依題意得P (BC)=-二一IP tABC)=-1 1 2解得 P(A)=-,P(B)=-.所以 PC- B) × =3232I答案:-34. （2018 沈陽高二檢測）在某道路A,B,C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這個道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為.【解析】由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為一,一廠.在這個道12 1Z 4£73路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為 一XX-= _ .答案:【補償訓

15、練】有一道數學難題，在半小時內，甲能解決的概率是丄，乙能解決 的概率是-,2人試圖獨立地在半小時內解決它，則兩人都未解決的概率為,問題得到解決的概率為.【解析】都未解決的概率為× =.問題得到解決就是至少有1人能解決問題，所以P=1-=-.答案:；7 三、解答題(每小題10分,共20分)5. 某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A,B,C,D四個問題，規則如下： 每位參加者記分器的初始分均為10分,答對問題A,B,C,D分別加1分,2 分,3分,6分,答錯任一題減2分； 每回答一題，記分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時,答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時,答題結束,

16、進入下一輪；當答完四 題,累計分數仍不足14分時,答題結束，淘汰出局； 每位參加者按問題A,B,C,D順序作答，直到答題結束.假設甲同學對問題A,B,C,D回答正確的概率依次為廠,廠，且各題回答正 確與否相互之間沒有影響.(1) 求甲同學能進入下一輪的概率.(2) 用表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求的分布列.【解析】(1)設事件A為：甲同學進入下一輪.事件B為：甲同學答對了第i題,匚為：甲同學答錯了第i題,則P(A)=P(BIBBO+P(BB _ B)+PQ - B3B)+P( L B B)+P( L RBe)=(2) 的所有可能取值為：2,3,4P( =2)=P(I_)=,P( =3)

17、=P(B1BB3)+P(B1%i S)=.p（ =4）=1W的分布列為：234P1318826. （2018 牡丹江高二檢測）某城市實施了機動車尾號限行，該市報社調查組 為了解市區公眾對“車輛限行”的態度，隨機抽查了 50人，將調查情況進行 整理后制成下表：年齡（歲）15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻數510151055贊成人數469634（1）請估計該市公眾對“車輛限行”的贊成率和被調查者的年齡平均值. 若從年齡在15,25）,25,35）的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查,記被選4人中不贊成“車輛限行”的人數為,求隨機變量的分布列. 若在這50名被

18、調查者中隨機發出20份的調查問卷，記為所發到的20人中贊成“車輛限行”的人數，求使概率P（ =k）取得最大值的整數k.【解析】（1）該市公眾對“車輛限行”的贊成率約為：二× 100%=64%.被調查者年齡的平均約為2 0x5+310x10+40 X LS + GXlOl 60x5+70x5(2)依題意得： =0,1,2,3.P( =0)、一=二=5,13P( X- ×4 15 24 34=× 1 × =,IC 4S IC 4S 7SP( =2)= × 丄 + × j4FZ4 66 22, . ,、=×+ × ofl IO 4 IO 4 75 ,P( =3)=一 ×一×=Cl G迪砧陌所以的分布列是:0123P13422457