1、精選文本數列通項公式的求法集錦,累加法形如anan1f(n)(n=2、3、4)且f(1)f(2).f(n1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。)，求 an的通項公式。例1.在數列an中，a1=i,anan1n1(n=2、3、4解：:n1時，a11n2時，a2a11a3a22a4a33這n-1個等式累加得：ana112.(n-1)=nn2anan1n122,n(n1)nn2nn2一故ana1且a11也滿足該式，an(nN).222例2.在數列an中，a1=1,an1an2n(nN)3an。n2時，a2al2a3a22解：n=1時，a1=1a4a323

2、以上n-1個等式累加得anan 12n2ana12 22n 1=*=2n 2,故 an2n2 a12n 1 且 a11也滿足該式an2n1(nN)。一、累乘法形如-a-f(n)(n=2、3、4)，且f(1)f(2).f(n1)可求，則用累乘法求an1an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3.在數列an中，a1=1,an1nan,求an。a解：由已知得n,分別取n=1、2、3(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即ana2 a3 a4.al a2 a3aa=1X2X3X3X(n-i)=(n-1)!所以時，一(n1)!故an(n1)!an1a1且a10!=1也適用該式a

3、n(n1)!(nN).例4.已知數列an滿足a1=2,an1nan,求an。3n1an解：由已知得咄，分別令n=1,2,3,.(n-1),代入an _ 1 2 3 n 1 an 12 3 4nann1上式得n-1個等式累乘，即恐.冬.包現a2a3所以,又因為闞a1n2、2一也滿足該式，所以an。33n三、構造等比數列法原數列an既不等差，也不等比。若把an中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出an。該法適用于遞推式形如an1=banc或an1=banfn或an1=bancn其中b、c為不相等的常數，fn為一次式。例5、(06福建理22)已知數列an滿足a1=1,an1=2a

4、n1(nN),求數列an的通項公式。解：構造新數列anp,其中p為常數，使之成為公比是an的系數2的等比數列即an1p=2(anp)整理得：an1=2anp使之滿足an二241p=1即an1是首項為a11=2,q=2的等比數列an1=22n1an=2n13a例6、(07全國理21)設數列an的首項a1(0,1),an=口，n=2、3、42()求%的通項公式。1解：構造新數列anp,使之成為q-的等比數列1133a即anp=2(an1p)整理得：an=2an1p滿足an二一2一得-p=1-p=-i即新數列an221等比數列.an1=(a11)(-)n12故 an= (a1 1)(1-的21 X

5、n 1.2 ) +1例7、(07全國理22)已知數列an中，a1=2,an1=G/21)(an2)()求2目的通項公式。解：構造新數列anp,使之成為q，21的等比數列an1p=(721)(anp)整理得：an1=(V21)an+(V22)p使之滿足已知條件an1=(721)an+2(721)(V22)p2(721)解得p盤.anJ2是首項為2J2qJ21的等比數列，由此得an拒=(2揚(亞1)n1an=72(721)n近例8、已知數列an中，a1=1,an1=2an3n,求數列的通項公式。分析：該數列不同于以上幾個數列，該數列中含3n是變量，而不是常量了。故應構造新數列an3n,其中為常數，

6、使之為公比是an的系數2的等比數列。解：構造數列an3n,為不為0的常數，使之成為q=2的等比數列即an13n1=2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1)滿足an1=2an3n得23n3n13n，1新數列an3n是首項為a13=2,q=2的等比數列an3=22n1an=3n2n例9、(07天津文20)在數列an中，a1=2,an1=4an3n1，求數列的通項an。解：構造新數列ann,使之成為q=4的等比數列，則an1(n1)=4(ann)整理得：an1=4an3n滿足an1=4an3n1,即3n3n1得1.新數列ann的首項為a11,q=4的等比數列.n1.n1ann4an4n四

7、、構造等差數列法數列an既不等差，也不等比，遞推關系式形如an1banbn1f(n),那么把兩邊同除以bn1后，想法構造一個等差數列，從而間接求出an。例10.(07石家莊一模)數列an滿足an2an12n1(n2)且a481。求(1)a1、a2、a3(2)是否存在一個實數，使此數列、為等差數列？若存在求出的值及an；若不存在，說明理由。43.一解：(1)由24=22321=81得a3=33；又a3=2a221=33得22=13；2,又,a2=2a121=13).a1=5(2)假設存在一個實數，使此數列芻1為等差數列即亙曳L=an2an1=2=一=1該數為常數22222=1即兔為首項亙彳12,

8、d=1的等差數列2n21a°1.卞一=2+(n1)1=n+1an=(n1)2n1n1_例11、數列an滿足an1=2an(2)(nN),首項為a12,求數列an的通項公式。解：an1=2an(2)n1兩邊同除以(2)n1得an11=-a+1(2)n1(2)n數列是首項為-27=1，d=1的等差數列，一l=1+(n1)1n(2)(2)(2)故an=n(2)n例12.數列an中，a1=5,且an3an13n1(n=2、3、4)，試求數列an的通項公式。解：構造一個新數列a4,為常數，使之成為等差數列，即a%an11d3n3n3n1整理得an3an13nd+3,讓該式滿足an3an13n1

9、.取d3n3n,21 得d=121a a1 o 3,即-是首項為 一W ,公差d=1的等差數歹U。3n3121an 23n3 (n 1) 1211、 _n 1n 二 an = (n 7)3 二222例13、（07天津理21）在數列an中，a1=2,且an1an(2)2n (n N )其中>0,（）求數列an的通項公式。解：n1的底數與an的系數相同，則兩邊除以n1nn即an1n2aHn2-1，包是首項為旦0,公差d=1的等差數列。.ann20(n1)n1an(n1)n2no五，取倒數法有些關于通項的遞推關系式變形后含有anan1項，直接求相鄰兩項的關系很困難,an1an兩邊同除以anan

10、1后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出例14、已知數列an,a1=1,an111解：把原式變形得an1an1anan兩邊同除以anan1得一1anan12是首項為1,d=1的等差數列故1(n1)(1)nananan例15、（06江西理22）已知數列 an滿足a1一，且 an23nan 1( n 2n2an 1 n 1求數列an的通項公式。解：把原式變形成 2anan 1(n 1)an 3nan 1兩邊同除以anan 1得n即一an1 n 13 an 1 n 12構造新數列一 ，使其成為公比q=-的等比數列 an3即an3(n 1+ 廣)整理得:an 1an -滿足式使3an 1 3，

11、數列n1一 1是首項為一1an1q=的等比數列3an1/1、n1 1、n1-(-)(-)3 33一 ann 3n 3n°例16. (06江西文22)已知各項均為正數的數列 an滿足:ai3,2an 1 an2ananan an 1nN求數列an的通項公式。解：把原式變形為2an 1 ananan 1 (2anan兩邊同除以anan1得馬 an2anan 1移項得:an所以新數列故工anan六.利用公式anan 1an 112(一 anan )an是首項為1一 a1a1q=2的等比數歹U。2n 2解關于an的方程得Sn Sn 1(n 2)求通項an3(2n1 J22n 2 9)。有些數

12、列給出 an 的前n項和Sn與an的關系式Sn = f (an),利用該式寫出“,1解：由 a1S1= - (a1 1)(a16,1由 an 1 Sn 1 Sn = T (an 16(an 1 an )(an 1an 3) =0an >0 an 1an3Sn1f(an1),兩式做差，再利用an1Sn1Sn導出an1與an的遞推式，從而求出an。例17.(07重慶21題)已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn滿足S>1且6Sn=(an1)(an2)nCN求an的通項公式。2)解得a1二1或4=2,由已知aSI>1,因此a1=2又1小1)(an12)-(an1)(an2)得6

13、從而an是首項為2,公差為3的等差數列，故an的通項為an=2+3(n-1)=3n-1.，、1一例18.（07陜西理22）已知各項全不為0的數列ak的前k項和為Sk,且Sk=akak1（keN）2其中ai=l,求數列ak的通項公式。一一1一一.解：當k=1時，a1S1=a1a2及a1=1得a2=2;當k>2時，11由ak二SkSk1二akak1akak倚ak(ak1ak1)=2ak-akw0.ak1ak1=222)故 ak=k(kC N ).2& ( nC N，求 an的通項從而a2m1=1+(m-1)2=2m-1a2m=2+(m-1)2=2m(m6N例19.（07福建文21）數

14、列an的前n項和為Sn,a二1,an1公式。解：由a1=1,a22§=2,當 n>2 時 an = SnSn 1二 一 (a2a n 1 an )得=3 ,因此 an an是首項為a2 =2,q=3的等比數列。故an = 23n 2 (n>2),M a1 =1不滿足該式所以an =(n=1)2 3n 2(n 2)例20.（06全國I理22）該數列J an的前n項和Sn41an 一332n(n=1、2、3an的通項公式。.41解：由Snan -33所以a1 =2 再Sn2n 1 23_ 41= 3 an 1(n=1、2、3)得a146 =/n 2一(n=2、3)3將和相減得

15、:an = Sn“相 an1) 1 (2n1 2n) 33整理得an 2n 4(an 12n1)(n=2、3)因而數列an2n是首項為a124,q=4的等比數列。即an2n=44n1=4n,因而an4n2no七.重新構造新方程組求通項法有時數列an和bn的通項以方程組的形式給出，要想求出an與bn必須得重新構造關于an和bn的方程組，然后解新方程組求得an和bn。例21.（07遼寧第21題）：已知數列an,bn滿足a1=2,b|=1且anbn3an 141an 14”n 144bn12),求數列第, bn的通項公式。解析：兩式相加得anbnan 1bn 12 則 % bn是首項為 a13 ,

16、d=2的等差數列，故anbn=3+2(n-1)=2n+111 .1 ,而兩式相減付an bn =an 1bn 1 = (an 1222bn 1)則 anbn是首項為a1 bi =1 ,11q=-的等比數列，故anbn=(-)n1(2)an bn 2n 1聯立(1)、(2)得1an bn (2)n1由此得an11 n11 nn 2(萬)，bn n 2 9。分析該題條彳新穎，給出的數據比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構造成等差或等比數列，從而再通過解方程組很順利求出 an 、 bn的通項公式。若改變一下數據，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。an12an6bn例22.在數歹Uan、bn中a1=

17、2,6=1,且(nCN)求數歹Uan和bnbn1an7bn的通項公式。解析：顯然再把an1與bn1做和或做差已無規律可循。不妨構造新數列anbn其中為0的常數。則76.、人an1bn1=2an6>(an7切)=(2)an+(76)4=(2)(an2bh)令76/口2得1=2或2=3則anbn為首項a1b1，q=+2的等比數列。即1=2時，an2bn是首項為4,q=4的等比數列，故an2bn=4x4n1=4n;2=3時，an3bn是首項為5,q=5的等比數列，故an3bn=5x5n1=5na2b4n聯立二式nn解得an34n25n,bn5n4n。an31bl5n注：該法也可適用于例21,下面給出例21的該種解法解：構造新數列anbn,則an,3113bn=()an1+()bn1+(14444bn1(1人13m,令得1=1或2=1即1=13時，新數列anbn中，anbn=an1bn12數列一ananbn)(an1bn1)2anbn=32(n1)=2n1時,bn=聯立（1）、(2)新數列anbn是首項為aibid=2的等差新數列anbn是首項為aib1=1,1q=的等比數列2(2)anbn2nanbn得anbn例23.在數列an、bn中,a1