1、量子與統計物理課題論文論文名稱：量子力學中隧穿效應的原理及其應用所在班級：材料物理081小組成員：黃樹繁 （08920107）蔣昌達 （08920108）摘要：量子隧穿效應為一種量子特性，是如電子等微觀粒子能夠穿過它們本來無法通過的“墻壁”的現象。這是一種特殊的現象，這是因為根據量子力學，微觀粒子具有波的性質，而有不為零的幾率穿過位勢障壁。本文主要介紹量子隧穿效應的基本原理、簡單和稍微復雜一點的情況的推導過程，然后介紹下隧穿效應在實際中的應用掃描隧道顯微鏡（STM）。關鍵詞：量子力學；隧穿效應；STMAbstract:Tnneling effect is a property of quant

2、um,is a effect of Microscopic particles ,for example electrons,can get through “barriers” which they cannot used to.It is a unique phenomenon in Quantum mechanics which do not exist in classical mechanics. This paper mainly introduce the basic principle of QM,and conduct the mathematical derivation

3、of the modle. Finally,we introduce an important application in practice of quantum tunneling effectScanning Tunneling Microscope.Key Word: Quantum mechanics;Tunneling effect;STM0.引言 對于一個經典粒子(具有一定的有效質量)在外加電磁場中的行為服從牛頓力學，同時還受到聲子、雜質等的散射，無須考慮量子效應 ( 尺寸引起的量子化、量子力學隧穿透效應、量子相干效應等)。然而當空間尺寸小到一定程度時。量子效應就不能忽略。隧道效

4、應是指粒子在能量 E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象。它很難用經典力學來解釋，它完全是由于微觀粒子具有波動的性質而來。我們現在就是就是對量子尺寸下所具有的隧道效應非常感興趣，下面做一個具體的說明。1.簡單情況下的隧穿效應 1.1基本概念 量子隧穿效應(Quantum tunneling effect)，是一種衰減波耦合效應，其量子行為遵守薛定諤波動方程。假若條件恰當，任何波動方程都會顯示出出衰減波耦合效應。數學地等價于量子隧穿效應的波耦合效應也會發生于其它狀況。例如，遵守麥克斯韋方程的光波或微波；遵守常見的非色散波動方程的繩波或聲波。圖一：量子隧穿效應示意圖   

5、     如上圖所示，為最常見的一維的量子隧穿效應示意圖。若要使隧穿效應發生，必須有一個2型介質的薄區域，像三明治一般，夾在兩個1型介質的區域。2型介質的波動方程必須容許實值指數函數解答（上升指數函數或下降指數函數），而1型介質的波動方程則必須容許行進波解答。在光學里，1型介質可能是玻璃，而2型介質可能是真空。在量子力學里，從粒子運動這方面來說，1型介質區域是粒子總能量大于位能的區域，而2型介質是粒子總能量小于位能的區域（稱為位勢壘）。       假若條件恰當，從1型介質區域入射至2型介質區域

6、，行進波的波幅會穿透過2型介質區域，再以進行波的形式，出現于第二個1型介質區域。在量子力學里，穿透過的波幅可以合乎物理地解釋為行進粒子。遵守薛定諤波動方程，穿透波幅的絕對值平方和入射波幅的絕對值平方的比率給出了粒子隧穿的透射系數，也就是其透射幾率。對于遵守其它種波動方程的光波、微波、繩波、聲波等等，穿透波幅可以物理地解釋為行進能量，而穿透波幅的絕對值平方和入射波幅的絕對值平方的比率則給出了穿透能量和入射能量的比率。1.2數學推導 我們考慮一個入射波Areikx  ，遇到處于x=0 與x=a 之間的位勢 V(x) 。入射波的一部分會反射

7、回去，成為反射波 Ale-ikx  ；另一部分則會穿透過位勢 V(x)  ，成為透射波Creikx。那么，在位勢壘的左邊與右邊，波函數分別是A(x)=Areikx+Ale-ikx ， c(x)=Creikx圖二：一個具有不規則位勢壘的量子隧穿效應示意圖而在位勢壘的內部，根據 WKB 近似，波函數大約為其中，(x)=是動量。通過邊界條件的匹配，可以設定常數Al,Bl Br,Cr 對于Ar 的比例。一個粒子穿透過位勢壘的概率等于透射系數，定義為T=Cr2/Br2又強，那么，指數遞增項目必定很小，可以

8、忽略。所以， 毛估 對于的比例為，其中所以，粒子穿透過位勢壘的概率為T=e-2 1.3 量子力學中“隧穿效應”的形象例子 對于量子力學中的隧穿效應，我們可以做兩個很形象的類比，一是嶗山道士的“穿墻術”。在量子力學中，電子像嶗山道士一樣穿墻而過，但是，嶗山道士的“穿墻術”有不靈的時候，就是在持有“穿墻術”的人有不善之念時。嶗山道士曾經收過一個徒弟，此人心術不正，學穿墻術純屬為了從別人家偷東西。此人很快就學會了穿墻術，在下山時，嶗山道士千叮嚀，萬囑咐，不要有不善之念。下山后，他就忘了老師的叮囑。念咒穿入鄰人家中，進去時非常順利，當他拎著東西要從墻而出時，咒語不靈，撞了個頭破血流，被當場抓

9、獲。從這個形象的例子我們可以更好地理解量子隧穿效應。二是當小石子放在碗中時，石子不會出來，除非石子的能量很大，大過碗壁的能量時，它就會從碗的上面跳出來。但是量子物理學上有一個非常奇怪的效應，當碗壁足夠矮，非常薄，即便碗壁的能量依然大于石子的能量，石子也會莫名其妙地跑出來，究竟它是怎么出來的誰也不知道，就像變魔術一樣。而這個跑出來的“石子”實際上是通過一個隧道跑出來的，這就是量子的隧穿效應。2.復雜情況下的隧穿效應 2.1 一維雙勢壘結構的諧振隧穿效應 諧振隧穿效應足指電子接連隧穿過靠得很近的兩個勢壘時，隧穿幾率隨入射電子能量的變化會出現數個極大值。雖然電子對單個勢壘隧穿幾率可能很小，但在諧振發

10、生時。電子對雙勢壘的隧穿幾率(最大隧穿幾率)可以很大。發生諧振隧穿的物理機制來自兩個勢壘之間的勢阱內電子能量的量子化。當入射電子能量等于勢阱中電子的量子化能級時，共振現象就會發生。 2.2 諧振隧穿效應條件和透射幾率 以rij 和tij分別代表電子隧穿單個勢壘時的反射波和透射波復振幅，i代表入射區，j代表出射區。實際上rij 和tij就是電子隧穿單個勢壘問題的解。如上圖所示的雙勢壘結構中，設電子從左邊入射，連續隧穿過兩個勢壘后從右邊射出，出射波的 復振幅為S。另一方面可以設想，入射波首先隧穿過左邊單個勢壘，其射入勢阱的波的復振幅為t13，這個波在勢阱中來回反射，每在右邊勢壘反射一次都有一部分t

11、35從右邊勢壘射出。.總的出射波(振幅為S)可以看作多束波隧穿過右邊單個勢壘后的出射波的疊加，從而得到下面的等式：S=S1+S2+S3+=t13t35+t13r13r35t35+t13r13r35r13r35t35+=t13(1+r35+r35r31r35r31+)t35=t13t35/(1-r35r13)總的透射幾率(出射波幾率流與入射波幾率流之比)為T=k5/K1SS*=K5/k1 (t13t35t13*t35*)/(1-r35r13)/(1-r35r13)= k5/K1T13T35/(1+R13R35-2Cos3513)。其中Tij=tij,Rij=rij, 35和13分別是r13，r3

12、5的立體角它們與勢壘的高度、寬度及勢阱。在一般情況下，TCT31T35,其中C的數量級為1，此即相繼隧穿過程，兩個勢壘問量子阱的存在對隧穿影響不大。但對于電子能量的某些特殊值，35+13=2n，此時隧穿幾率達到最大值，即發生諧振隧穿，其透射幾率為在單個勢壘的透射幾率很小時，其反射幾率Rij很大。因而諧振隧穿幾率比相繼隧穿幾率要大得多。把上面得到的結果運用到一維對稱雙勢壘(兩勢壘的高和寬都相同，勢阱底也等高，如圖三所示)以得到一個重要的結論：在發生諧振隧穿時，雙對稱勢壘對入射電子足完全透明，無反射波。 圖三：一維對稱雙勢壘結構3.量子隧穿效應的應用 量子隧穿效應理論上可以有很多的應用，比如 “瞬

13、間轉移”和上面所提到的“穿墻術”。所謂的“瞬間轉移”與“穿墻術”的原理是一樣的，通過量子隧道，電子能瞬間逃離原子，小石子莫名其妙就穿過了碗壁，這說明量子隧穿效應有可能實現，但這僅僅是理論上得到的。迄今為止，量子隧穿效應還不是非常的多，其中最重要的當屬掃描隧道顯微鏡（STM）。STM是于1981年美國 IBM 公司蘇黎世實驗室的兩位科學家：法國人G.Binnig和瑞士人H.Rohrer發明的,STM的發現使我們直接觀察原子、分子圖像的愿望真正成為現實，他們兩人因為此項發明而獲得1986年的諾貝爾物理學獎。下面來簡單介紹下STM： 1 .STM 的具體工作原理   &

14、#160;  假設現在有兩塊不同的金屬導體 A 和 B ，它們非常靠近但是并沒有接觸，中間為一層薄的絕緣層或真空區，則在金屬 A 和金屬 B 之間存在 個勢壘，如圖 3 所示。如果在兩個金屬之間加上一個電壓U0，則由于隧道效應，電子可以穿過絕緣層而形成隧道電流。經過量子力學計算，隧道電流密度的大小與兩塊金屬的逸出電勢和，所加的電壓U0及兩塊金屬之間的距離S有關，即,式中A為常數，為平均逸出電勢，對于兩塊均勻的金屬表面 。由上式看出，S在指數上，所以隧道電流對S的變化十分敏感。      如果把一塊已知功函數的金屬A做成針尖狀的電極作為探針，使它

15、能夠在 x、y、z三個方向上移動，另一個金屬B為被研究物質的平表面，則隧道電流,式中為樣表面的平均墊壘高度 (一般為幾個電子伏的數量級)；S為探針尖與樣品之間的距離。當S改變0.1nm時，JT就會發生數量級的變化。隧道穿透電流JT對S的變化十分敏感是掃描隧穿顯微鏡工作的基本依據。1979年，Binnig在思考STM探針制造時在筆記本中有這樣一段話：“針尖的球形表面與樣品平表面之間的隧道電流呈指數衰減，足以把電流孔徑限制在 0.5nm 之內?！?顯然，考慮到隧道電流隨距離的指數衰減是Binni成功發明 STM 的關鍵。 假設樣品表面的逸出電勢值U0保持恒定，如果我們使探針在樣品表面 (即 xy平

16、面)作二維掃描，并保持隧穿電流為恒定的數值不變，這就要求針尖與樣品表面之間的相對距離保持不變，也就是說針尖在z方向上必須隨樣品表面的高低起伏而做同樣的高低起伏的運動。可見，針尖在空間的高度變化能反映出樣品表面的信息。換句話說，隨著樣品平面的xy值的變化，針尖的z值將會 “仿”樣品表面的高低起伏而具有不同的數值，通過數字圖像轉換系統即可獲得有關樣品表面的三維立體信息，讓人們“看到”樣品表面的原子分布圖像。2.儀器設備掃描隧穿顯微鏡由四個部分組成，它們是STM主體、電子反饋系統、計算機控制系統及高分辨圖像顯示終端，其核心部件STM的探針裝在主體箱內。電子反饋系統主要用于產生隧道電流及維持隧道電流的恒定，并控制針尖在樣品表面進行掃描，而計算機控制系統則猶如一個總司令部，由它發出一切指令控制全部系統的運轉，并收集和存貯所獲得的圖像，高分辨圖像終端主要用于顯示所獲取的顯微圖像。4.結束語 量子隧穿效應作為一種量子力學里獨特的與經典不相符合的的現象，本文主要介紹量子隧穿效應的基本原理和一般的推導過程，然后介紹了隧穿效應在實際中的應用