1、初等幾何選講復(fù)習(xí)資料平面幾何定理及公式過兩點(diǎn)有且只有一條直線兩點(diǎn)之間線段最短同角或等角得補(bǔ)角相等同角或等角得余角相等過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接得所有線段中，垂線段最短平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn) , 有且只有一條直線與這條直線平8 如果兩條直線都與第三條直線平行 , 這兩條直線也互相平9 同位角相等 , 兩直線平行10內(nèi)錯角相等，兩直線平行11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行12兩直線平行，同位角相等13兩直線平行 , 內(nèi)錯角相等14兩直線平行 ,同旁內(nèi)角互補(bǔ)15定理 三角形兩邊得與大于第三邊6 推論 三角形兩邊得差小于第三邊17 三角形內(nèi)角與定理 三角形三個內(nèi)角得與等

2、于 1 8 0°1 8推論1直角三角形得兩個銳角互余1920角21全等三角形得對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等推論 2 三角形得一個外角等于與它不相鄰得兩個內(nèi)角得與推論 3 三角形得一個外角大于任何一個與它不相鄰得內(nèi)22邊角邊公理（ SAS ） 有兩邊與它們得夾角對應(yīng)相等得兩 個二角形全等2 3角邊角公理（AS A）有兩角與它們得夾邊對應(yīng)相等得兩個三角形全等24推論（A AS）有兩角與其中一角得對邊對應(yīng)相等得兩個二 角形全等25 邊邊邊公理 （SSS） 有三邊對應(yīng)相等得兩個三角形全等26 斜邊、直角邊公理 （HL） 有斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等得 兩個直角三角形全等27 定理 1 在角得平分線上得點(diǎn)

3、到這個角得兩邊得距離相等28 定理 2 到一個角得兩邊得距離相同得點(diǎn)，在這個角得平 分線2 9角得平分線就是到角得兩邊距離相等得所有點(diǎn)得集合30 等腰二角形得性質(zhì)定理 等腰二角形得兩個底角相等 （ 即等邊對等角）31 推論 1 等腰二角形頂角得平分線平分底邊并且垂直于底 邊32 等腰三角形得頂角平分線、底邊上得中線與底邊上得高互 相重合33 推論 3 等邊三角形得各角都相等，并且每一個角都等于60°3 4 等腰三角形得判定定理 如果一個三角形有兩個角相等， 那么這兩個角所對得邊也相等 （等角對等邊 ） 35 推論 1 三個角都相等得三角形就是等邊三角形36 推論 2 有一個角等于 6

4、0 °得等腰三角形就是等邊三角形37在直角三角形中,如果一個銳角等于3 0°那么它所對得直角邊等于斜邊得一半38 直角三角形斜邊上得中線等于斜邊上得一半39 定理 線段垂直平分線上得點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)得距離 相等4 0 逆定理 與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等得點(diǎn)，在這條線段 得垂直平分線上41 線段得垂直平分線可瞧作與線段兩端點(diǎn)距離相等得所有 點(diǎn)得集合4 2定理1關(guān)于某條直線對稱得兩個圖形就是全等形43 定理 2 如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱 ,那么對稱軸就是對應(yīng)點(diǎn)連線得垂直平分線44定理 3 兩個圖形關(guān)于某直線對稱 ,如果它們得對應(yīng)線段或延長線相交 , 那么交點(diǎn)在對稱軸上45

5、 逆定理 如果兩個圖形得對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱46 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a、b 得平方與、等于斜邊 c得平方,即a八2+b八2=cA2a、a 八2+b八2 =c247勾股定理得逆定理 如果二角形得二邊長a、b、c有關(guān)系，那么這個三角形就是直角三角形48 定理 四邊形得內(nèi)角與等于3 60° 49四邊形得外角與等于36 0 5 0多邊形內(nèi)角與定理 n邊形得內(nèi)角得與等于（5 1推論 任意多邊得外角與等于3 6 0 °52平行四邊形性質(zhì)定理 1 平行四邊形得對角相等53 平行四邊形性質(zhì)定理 2平行四邊形得對邊相等54 推論 夾在兩條

6、平行線間得平行線段相等55行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形得對角線互相平分56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等得四邊形就是平行四邊形57 平行四邊形判定定理 2 兩組對邊分別相等得四邊形就是 平行四邊形5 8平行四邊形判定定理3對角線互相平分得四邊形就是平行四邊形59 平行四邊形判定定理 4 一組對邊平行相等得四邊形就是 平行四邊形60 矩形性質(zhì)定理 1矩形得四個角都就是直角61矩形性質(zhì)定理2矩形得對角線相等6 2矩形判定定理1有三個角就是直角得四邊形就是矩形63 矩形判定定理對角線相等得平行四邊形就是矩形64 菱形性質(zhì)定理菱形得四條邊都相等65 菱形性質(zhì)定理線平分一組對角菱形得對角線互相垂直

7、，并且每一條對角66 菱形面積= 對角線乘積得半，即 S =( a Xb) -267 菱形判定定理 1四邊都相等得四邊形就是菱形6 8菱形判定定理2對角線互相垂直得平行四邊形就是菱形6 9 正方形性質(zhì)定理1 正方形得四個角都就是直角 , 四條邊都2 正方形得兩條對角線相等 , 并相等并且互相垂直70 正方形性質(zhì)定理平分，每條對角線平分一組對角7 1定理 1 關(guān)于中心對稱得兩個圖形就是全等得72定理2關(guān)于中心對稱得兩個圖形,對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱 中心,并且被對稱中心平分73 逆定理 如果兩個圖形得對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被 這一點(diǎn)平分 , 那么這兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱74等腰梯形性質(zhì)定理 等

8、腰梯形在同一底上得兩個角相等7 5等腰梯形得兩條對角線相等7 6等腰梯形判定定理 在同一底上得兩個角相等得梯形就是 等腰梯形77 對角線相等得梯形就是等腰梯形7 8平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得 得線段相等 ,那么在其她直線上截得得線段也相等79推論1經(jīng)過梯形一腰得中點(diǎn)與底平行得直線，必平分另 一腰80 推論 2 經(jīng)過三角形一邊得中點(diǎn)與另一邊平行得直線 ,必平 分第三邊81 三角形中位線定理 三角形得中位線平行于第三邊 ,并且 等于它得一半L= (a +b) - 2 S=L X h8 2 梯形中位線定理 梯形得中位線平行于兩底 ,并且等于兩底 與得(1)比例得基本性質(zhì)如果a:

9、b= C :d，那么a d=bc如7果 a d = b c, 那S么 a: b =c:d 84 ( 2 )合比性質(zhì) 如果 a /b = c/d,那么(a ±b) /b=(c ±d)/d85(3)等比性質(zhì) 如果 a/b=c/d = /n (b + d + +n 工 0),那$么(a+c + )/( b+d + n) = a /b行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得 得對應(yīng)線段成比例87 推論 平行于三角形一邊得直線截其她兩邊（或兩邊得延 長線）,所得得對應(yīng)線段成比例8 8定理 如果一條直線截三角形得兩邊（或兩邊得延長線 ） 所得得對應(yīng)線段成比例 ,那么這條直線平行

10、于三角形得第三邊平行于三角形得一邊 ,并且與其她兩邊相交得直線 ,所截得得三角形得三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例90 定理 平行于三角形一邊得直線與其她兩邊 （ 或兩邊得延 長線） 相交,所構(gòu)成得三角形與原三角形相似91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜邊上得高分成得兩個直角三角形與原三 角形相似93 判定定理 2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似 （SA S ） 94 判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SS S ） 95 定理 如果一個直角三角形得斜邊與一條直角邊與另一個直角三角形得斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角 三角形相似9

11、 6性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)咼得比，對應(yīng)中線得比與對 應(yīng)角平分線得比都等于相似比9 7性質(zhì)定理2相似三角形周長得比等于相似比 9 8 性質(zhì)定理 3 相似三角形面積得比等于相似比得平方9 9 任意銳角得正弦值等于它得余角得余弦值，任意銳角得 余弦值等于它得余角得正弦值100 任意銳角得正切值等于它得余角得余切值，任意銳角得余 切值等于它得余角得正切值101 圓就是定點(diǎn)得距離等于定長得點(diǎn)得集合1 02圓得內(nèi)部可以瞧作就是圓心得距離小于半徑得點(diǎn)得集合103 圓得外部可以瞧作就是圓心得距離大于半徑得點(diǎn)得集合104 同圓或等圓得半徑相等10 5到定點(diǎn)得距離等于定長得點(diǎn)得軌跡,就是以定點(diǎn)為圓心，定 長為半

12、徑得圓10 6與已知線段兩個端點(diǎn)得距離相等得點(diǎn)得軌跡,就是看條線 段得垂直平分線107到已知角得兩邊距離相等得點(diǎn)得軌跡，就是這個角得平分線1 0 8 到兩條平行線距離相等得點(diǎn)得軌跡， 就是與這兩條平行線 行且距離相等得一條直線109 定理 不在同一直線上得三點(diǎn)確定一個圓1 10垂徑定理垂直于弦得直徑平分這條弦并且平分弦所對得兩條弧111推論1平分弦（不就是直徑）得直徑垂直于弦，并且 分弦所對得兩條弧弦得垂直平分線經(jīng)過圓心， 并平分弦所對得兩條弧平分弦所對得一條弧得直徑，垂直平分弦，并且 平分弦所對得另一條弧112 推論 2 圓得兩條平行弦所夾得弧相等13 圓就是以圓心為對稱中心得中心對稱圖形1

13、14 定理 在同圓或等圓中 ,相等得圓心角所對得弧相等 ,所對 得弦相等，所對得弦得弦心距相等115 推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條 弦或兩弦得弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)得其余各組 量都相等116 定理 一條弧所對得圓周角等于它所對得圓心角得11 7推論1同弧或等弧所對得圓周角相等；同圓或等圓中， 相等得圓周角所對得弧也相等118推論2角所對得弦就是直徑半圓（或直徑 ）所對得圓周角就是直角 ;90 °得圓周半，那么1 1 9推論3如果三角形一邊上得中線等于這邊得這個三角形就是直角三角形1 2 0 定理 圓得內(nèi)接四邊形得對角互補(bǔ) 等于它得內(nèi)對角121直線L

14、與O O相交d < r 直線L 與O O相切d =r直線L 與O O相離 d> r1 22切線得判定定理 經(jīng)過半徑得外端并且垂直于這條半徑 得直線就是圓得切線12 3切線得性質(zhì)定理 圓得切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)得半徑12 4推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線得直線必經(jīng)過切點(diǎn)125 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線得直線必經(jīng)過圓心126 切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓得兩條切線 ,它們得切線長 相等，圓心與這一點(diǎn)得連線平分兩條切線得夾角127圓得外切四邊形得兩組對邊得與相等1 2 8弦切角定理 弦切角等于它所夾得弧對得圓周角1 29 推論 如果兩個弦切角所夾得弧相等， 那么這兩個弦切角 也相等13 0相

15、交弦定理段長得積相等圓內(nèi)得兩條相交弦，被交點(diǎn)分成得兩條線13 1推論 如果弦與直徑垂直相交， 那么弦得一半就是它分直徑所成得兩條線段得比例中項(xiàng)13 2切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓得切線與割線，切線長就是 這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)得兩條線段長得比例中項(xiàng)1 33 推論 從圓外一點(diǎn)引圓得兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓得交點(diǎn)得兩條線段長得積相等134 如果兩個圓相切 ,那么切點(diǎn)一定在連心線上1 3 5兩圓外離d>R+r 兩圓外切 d =R+r 兩圓相交Rr<d<R+r (R>r)兩圓內(nèi)切 d = R-r(R> r )兩圓內(nèi)含d < R-r(R > r) 1 3 6定理

16、 相交兩圓得連心線垂直平分兩圓得公共弦13 7定理把圓分成口( n > 3): 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得得多邊形就是這個圓得內(nèi)接正 n 邊 形經(jīng)過各分點(diǎn)作圓得切線，以相鄰切線得交點(diǎn)為頂點(diǎn)得多 邊形就是這個圓得外切正 n 邊形1 3 8 定理 任何正多邊形都有一個外接圓與一個內(nèi)切圓，這兩 個圓就是同心圓139正n邊形得每個內(nèi)角都等于(n- 2) X180 ° /n14 0定理 正 n 邊形得半徑與邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全 等得直角三角形141正n邊形得面積Sn= pn rn /2 p表示正n邊形得周長142正三角形面積V 3a/4 a表示邊長 143 如果在一個頂點(diǎn)周圍有

17、k 個正 n 邊形得角，由于這些角得 與應(yīng)為 3 6 0° ,因此 kX(n 2 )18 0 °/n =3 6 0° 化為(n-2 )(k-2)=41 44弧長計算公式：L= n兀R/18014 5扇形面積公式:S扇形=n兀R八2/3 6 0 =L R/214 6內(nèi)公切線長=d (R-r )外公切線長=d ( R+ r)實(shí)用工具：常用數(shù)學(xué)公式乘法與因式分a -b =(a + b )( a b ) a3b =(a-b) ( a2+ a b+b(a± b) 2=2±b 3a3+b ' =( a +b)( a '-ab + b2)2)

18、a 2 ± 2ab+b 2(a ± b)3 = a '± 3a2 b +3ab(a ±b± c)= a +b 2+ c2± 2ab± 2a c+2 bc三角不等式|a+b| a | + |bab|<|a|+|b| a| < b<=-b < a<b|a I < a <1 a|a- b| > I a| |b一元二次方程 aX 2+b X + c = 0 得解 X= -b± V (b -4 a c) 2 a根與系數(shù)得關(guān)系Xi+X2= - b/ a Xi X X2 =

19、c / a 注:韋達(dá)定理 判別式 ：b 24ac=0 注: 方程有兩個相等得實(shí)根b24ac0 注:方程有兩個不等得實(shí)根b ' - 4a c 0注:方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根三角函數(shù)公式 兩角與公式sin(A+ B) =sin Acos B +c os A s inBB )=si n AcosB-sin B cosAsi n( A-cos(A+B) =c osAcosB si n Asi n Bc os(A-B)=co s AcosB + sinA sin Bta n (A+ B )= (tanA+ta n B) /( 1 t a nAtanB) tan (A B)=(ta n A-ta

20、nB ) /(1+t a nA t a nB)ctg( A +B)= (c tgActg B1 )/( ctgB+ c tgA)t g (A B) =(c tgA c tgB+ 1 )/ (c tg B- c t g A)倍角公式t an2A=2tanA /(1-tan 2 A)c t g2A=( c tg 2 A 1)/2 ctgac os 2 a=cos 2 asin2 a = 2 co s 2 a 1=1 2 s i n2a角公式sin (A/2 )= V(1-c os A)/2 )= - V( 1 co sA) /2 )sin (A/2 )c o s (A / 2) = V (1 +c

21、osA) / 2 )=V (1+c o s A) /2)c os(A/ 2)tan (A/2)=V(1 -cos A)/(1+c osA)tan(A/2)=- V(1 c osA)/(1+co s A)ctg (A/2)= V(1+c osA)/ (1 cosA) tg (A/ 2)= V(1+ co sA)/( 1 cosA ) 與差化積2sinAco sB= si n(A+B)+ sis in (A-s in B = si n(A+B )n( AB)B)2co s A2cosA co sB= c osnB =cos(A+B) cA+ B )-sinos (A-B )(A B)2sinAsi

22、(A+ B )/2)co s ( (A-B)/22)s inA+sin B =2sin(o sA+cos B = 2c os( A+B )/2)si n ( A -B )ta n A+tanB=s i n( A+B )/c os Acos B tanA tan B=sin( AB)/c osAco sB ctgA+ctgB si n (A + B) /sin A si nB -ctgA+c t g Bs in(A+B) /si n AsinB某些數(shù)列前 n 項(xiàng)與1+ 2 +3+4+5 +6+7+8+ 9+ +n= n( n + 1)/ 2+3+ 5 +7+9+11+3+1 5 +(2n1 )=n22+4+6+8+ 10 + 1 2 +1 4 + + (2 n) =n( n +1)1 2 + 22 + 3 2 + 43 + +n1 3+ 2 3 + 3 3 + 4 3+ +n2=n(n+1)(2n+ 1) - 63=(1 +2 + 3+ 4+n) 2= n(n+ 1) 2/41 X 2+2 X 3+ 3X 4+4 X5 + 5X 6+6 X7 + + n (n+1=n(n+1)( n+ 2 )/3正弦定理 a/sinA=b/si n